2024一轮题型分类细讲精练25：二项式定理

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一 二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
【方法技巧】
1.二项式系数的性质
2：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
【核心题型】
题型一：利用项的系数求参数
1．（2023·重庆·统考二模）已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．60C．120D．240
3．（2023·安徽宿州·统考一模）设，若，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
题型二：赋值法在二项式定理的应用
4．（2023·江西赣州·统考一模）已知，则（ ）
A．40B．8C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：利用二项式定理证明整除问题
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，常数项为，则被8除的余数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2022·全国·高三专题练习）设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0B．1C．11D．12
9．（2022·全国·高三专题练习）除以78的余数是（ ）
A．B．1C．D．87
题型四：不等式求系数的最值问题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
11．（2022·浙江·高三专题练习）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________．
12．（2023·上海·高三专题练习）已知，若数列是个单调递增数列，则的最大值为_____
题型五：多项式展开式问题
13．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式，则（ ）
A．－960B．960C．－480D．480
14．（2021·全国·高三专题练习）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（ ）
A．0B．C．D．
15．（2020·全国·高三专题练习）将多项式分解因式得，则（ ）
A．16B．14C．D．
题型六：二项式定理的综合问题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．（2020·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值.
（2）记，，
①求；
②设，求和：.
18．（2020·江苏·统考模拟预测）已知数列满足，且，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为（ ）
A．－20B．30C．－10D．10
20．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（ ）
A．B．
C．数列的前n项和为D．数列的前n项和为
21．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．64D．160
23．（2023·陕西安康·统考二模）已知，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
24．（2023·上海静安·统考一模）在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
25．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（ ）
A．120B．135C．140D．100
26．（2023·全国·高三专题练习）展开式中常数项为（ ）
A．B．C．1D．481
27．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项是（ ）
A．B．C．D．20
二、多选题
28．（2023·山西晋中·统考二模），若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．的展开式中第1012项的系数最大
29．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·云南·统考模拟预测）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大D．所有项的系数和为128
31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
32．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________.
33．（2023·广东·校联考模拟预测）在展开式中，的系数是________．（用数字作答）
34．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）若，则___________.
35．（2023·福建泉州·统考三模）已知，且则____________．对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性与最大值
增减性：当k当k>eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．
最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1