人教版第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数课时训练

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18729" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18729 \h 1
\l "_Tc8204" 【考点一 一次函数与三角形的面积问题】 PAGEREF _Tc8204 \h 1
\l "_Tc14264" 【考点二 一次函数与三角形全等问题】 PAGEREF _Tc14264 \h 12
\l "_Tc6184" 【考点三 一次函数与三角形存在问题】 PAGEREF _Tc6184 \h 24
\l "_Tc19246" 【考点四 一次函数中折叠问题】 PAGEREF _Tc19246 \h 38
【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的面积问题】
例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求的面积．
【变式训练】
1．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知直线与直线交于轴上一点，则直线与坐标轴围成的三角形面积为______．
2．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）一次函数的图象由直线向下平移得到，且过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：经过点，与直线：相交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点C为x轴上一点，若的面积为6，求点C的坐标．
4．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）如图，直线与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标，点A的坐标为．点是直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．
(1)求k的值；
(2)在点P运动的过程中，求出的面积S与x的函数关系式．
(3)若的面积为，求此时点P的坐标．
5．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴负半轴于点，连接，，
(1)的面积为_________
(2)求点的坐标和的值
(3)若点为直线上一点，且，直接写出点坐标．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，其中．
(1)求k的值；
(2)若点是第一象限内直线上的一个动点，当点A运动过程中，试求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x取值范围；
(3)点A是直线上的一个动点，当点A运动到什么位置时，的面积是1．
【考点二 一次函数与三角形全等问题】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标．
【变式训练】
1．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．
2．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．
(1)求直线l2的解析式；
(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．

(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【考点三 一次函数与三角形存在问题】
例题：（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，已知直线的解析式为，且与轴相交于点，直线经过点，，直线，相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在点使得的面积等于3，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
2．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·河北沧州·校考一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点．
(1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
4．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由．
5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点四 一次函数中折叠问题】
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点D，E分别在线段、上，连接将沿折叠，点的对应点恰好在轴上，且平分，则点的坐标是______．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______．
3．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．
(1)求直线的解析式．
(2)求的值．
(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知与x轴、y轴分别相交于点A、点B，若将折叠，使点A与点B重合，折痕与x轴交于点C，与交点D．
(1)点B的坐标是______；点A的坐标是______．
(2)求直线的解析式；
(3)在直线上是否存在一点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023春·八年级课时练习）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），点O（0，0）．
(1)当P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′．
①如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，则点A′的坐标为 ；
②如图②，当A′在y轴上时，求P点坐标；
(2)如图③，当P是边OB上的一点（点P不与点O，B重合），沿着PA折叠该纸片，当B落在x轴的对应点为B′，求AP解析式．
专题16 专项题型集训：一次函数与三角形综合问题
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18729" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18729 \h 1
\l "_Tc8204" 【考点一 一次函数与三角形的面积问题】 PAGEREF _Tc8204 \h 1
\l "_Tc14264" 【考点二 一次函数与三角形全等问题】 PAGEREF _Tc14264 \h 12
\l "_Tc6184" 【考点三 一次函数与三角形存在问题】 PAGEREF _Tc6184 \h 24
\l "_Tc19246" 【考点四 一次函数中折叠问题】 PAGEREF _Tc19246 \h 38
【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的面积问题】
例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）利用直线解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，．
∴，解得：，
∴这个一次函数的解析式为：．
（2）解：令，则，解得，
∴，
∵．
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知直线与直线交于轴上一点，则直线与坐标轴围成的三角形面积为______．
【答案】
【分析】根据直线与直线的交点在轴上，求出交点坐标，进而求出b的值，再求出直线与x轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：对于直线，
当时，，
直线交于轴的交点坐标为，
直线与直线交于轴上一点，
交点坐标为，
将代入，得，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
即直线与轴的交点坐标为，
直线与坐标轴围成的三角形面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据两条直线的交点在y轴上，求出b的值．
2．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）一次函数的图象由直线向下平移得到，且过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平移可得，再将代入函数解析式，求出b的值即可．
（2）先求出函数图象与x、y轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）∵一次函数的图象由直线向下平移得到，
∴
∴函数解析式为：
∵过点
∴，
∴
∴所求函数的解析式为：
（2）在中
令，得
即图象与y轴交点为
令，得
即图象与x轴交点为
∴
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；关键在于解出k、b值以及正确运用三角形面积公式求解．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：经过点，与直线：相交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点C为x轴上一点，若的面积为6，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求点B的坐标，设，根据三角形面积公式构建方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点在上，
∴，
解得，
∴，
∵，在上，
∴，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或，
∴点C的坐标为，．
【点睛】本题考查了一次函数与三角形面积的综合，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键．
4．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）如图，直线与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标，点A的坐标为．点是直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．
(1)求k的值；
(2)在点P运动的过程中，求出的面积S与x的函数关系式．
(3)若的面积为，求此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐标为(，)或(，)
【分析】（1）直接把点E的坐标代入直线求出k的值即可；
（2）过点P作于点D，用x表示出的长（注意分情况讨论），根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）把的面积为代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线一次函数解析式中即可得出结论．
【详解】（1）解：把点E的坐标代入直线得，
解得.
∴；
（2）过点P作于点D，
∵点是直线上的一个动点，
∴当时，，当时，
∵点A的坐标为，
∴当时，，
当时，，
综上可得：；
（3）∵的面积为，
∴当时，，
解得；
将代入，得，
∴P(，)；
当时，，
解得；
将代入，得，
∴P(，)；
综上可得：点P的坐标为(，)或(，)．
【点睛】题目主要考查一次函数与三角形综合问题，包括确定函数解析式，求函数值及相应点的坐标，理解题意，列出相应函数关系式是解题关键．
5．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴负半轴于点，连接，，
(1)的面积为_________
(2)求点的坐标和的值
(3)若点为直线上一点，且，直接写出点坐标．
【答案】(1)2
(2)
(3)或
【分析】（1）首先根据题意得到的长度和点P到的距离，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）首先求出，然后根据三角形面积公式得到，即可求出点A的坐标；然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出m的值；
（3）首先根据得到，进而求出或，然后将代入直线的解析式求解即可．
【详解】（1）∵
∴，
∵点是第一象限内的点，
∴的面积为；
（2）∵，
∴
∴，即
解得：，
∴点坐标为；
设直线的解析式为，把、代入，
得，解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：；
（3）∵，
∴
解得或，
∴，解得；
或 ，解得；
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式，也考查三角形的面积．解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质，注意掌握数形结合的思想进行解题．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，其中．
(1)求k的值；
(2)若点是第一象限内直线上的一个动点，当点A运动过程中，试求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x取值范围；
(3)点A是直线上的一个动点，当点A运动到什么位置时，的面积是1．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）分两种情况考虑，利用三角形的面积求出求出点A坐标．
【详解】（1）∵，
∴，
∵点B在直线上，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴直线BC解析式为，
∵点是第一象限内的直线上的一个动点，
∴，
∴，
（3）如图，
由（2）知，，
∵的面积是1；
∴，
∴，
当点A在x轴下方时，，
∴，此时，
即；
综上，点A的位置为或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A的坐标．
【考点二 一次函数与三角形全等问题】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标．
【答案】(1)点的坐标为，，；
(2)图见解析，点的坐标为，或，或，．
【分析】（1）将点点，代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线：过点，，
，
．
当时，，
点的坐标为，，
即．
：：，
．
点在轴正半轴，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，、，代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为．
（2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况考虑：
如图①：①当时，
，
．
，
，，
，
点的坐标为，；
②当时，，，
，
点的坐标为，．
如图②当时，，
，
点的坐标为，．
综上所述，点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．
【答案】3或
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当时，即，
解得：．
当时，，
∴．
∴．
∴．
∵，点C在射线上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．
如图1所示，当时，，
∴；
如图2所示，当时，，
∴．
综上所述，的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．
(1)求直线l2的解析式；
(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（3，6），（-6，-3）
【分析】（1）先根据点C（1，m）在直线l1上求出m的值，再根据点C和点B求出直线l2的解析式；
（2） 先分别计算出OA、OD的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案．
（1）
解：∵C（1，m）在直线l1上，
∴，
∴点C的坐标为（1，4），
设直线的l2的解析式为,
∵点C（1，4）和点B（﹣3，0）在直线l2上，
∴，
解方程组得，
∴直线l2的解析式为：；
（2）
解：直线l1上，当时，；当时，
∴，，
当点M在轴下方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，
当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴点M（-6，-3）满足条件，
当时，,
得，
∵，
∴点M（-9，-6）不满足题意，舍去；
当点M在轴上方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，
当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点M（0，-3）不满足题意，舍去；
当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴点M（3，6）满足条件，
∴满足条件的点M的坐标为（3，6），（-6，-3）．
【点睛】本题考查一次函数和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意求出函数的解析式．
4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．

(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)E（，）
(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；
(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.
【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；
(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；
(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.
(1)
解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，
当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
(2)
解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB== ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.
【考点三 一次函数与三角形存在问题】
例题：（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，已知直线的解析式为，且与轴相交于点，直线经过点，，直线，相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在点使得的面积等于3，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）设点P坐标为，过P作PQ⊥x轴，交于Q，则，求出，根据三角形面积的求法列出方程，解之可得．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是；
（2）在中，令，解得：．
则的坐标是．
根据题意得：，
解得：，
则的坐标是，
则，
∴；
（3）存在，设点P坐标为，过P作轴，交于Q，
则，
∴，
∴，
即，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，掌握把求交点坐标转化为解两个函数的解析式组成的方程组的方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；
(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点的坐标为；
（2）解：代入A、两点可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
设原点到直线的距离为，
则，
解得：，
故原点到直线的距离为；
（3）解：存在，
设点的坐标为，根据题意可知不为直角，
所以当是直角三角形分两种情况：
①当时，此时点的坐标为；
②当，，
故，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．
2．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B的坐标为，点C的坐标为
(2)12
(3)存在，点M的坐标是或或
【分析】（1）在中，令，则；令，则，从而可得答案；
（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点M的坐标为，求解直线的表达式是，由，可得，当点M在线段上时，如图①，则，此时，当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；时，，则点的坐标是．从而可得答案．
【详解】（1）解：在中，令，则；令，则．
故点B的坐标为，点C的坐标为．
（2）∵，，
∴．
（3）存在点M使． 理由如下：
设点M的坐标为，直线的表达式是．
∵，
∴，解得．
∴直线的表达式是．
∵，
∴．
∴．
当点M在线段上时，如图①，则，此时，
∴点M的坐标是．
当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；
时，，则点的坐标是．
综上所述，点M的坐标是或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
3．（2023·河北沧州·校考一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点．
(1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)4
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）把点代入即可求得点D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）由求得A、B的坐标，从而求得的长，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）作点A关于直线l2的对称点，连接交直线 l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小，求出的坐标，然后求得直线的解析式，最后与直线的解析式联立，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）由直线l1的表达式为可知，，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
作点A关于直线的对称点，连接交直线 l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小，
由直线l2为可知，，
由轴对称的性质可知，
∴，
∵，，
∴
设此时的解析式为，则有，
解得，
∴直线的解析式为，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及轴对称最短问题等，解题的关键是熟练掌握待定系数法、学会根据轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
4．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，点或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立两直线解析式，求出点C的坐标，再求出点D的坐标，然后根据进行求解即可；
（3）分当点在点上方时：，当点在点下方时：，两种情况求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，将代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：联立两直线解析式成方程组得，
解得：
∴点的坐标为，
当时，解得，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：由题意得：
∴当点在点上方时：，
当点在点下方时：，
∴或，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述：存在点或符合题意．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求直线围成的图形面积等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可．
【详解】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴，
设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：．
（2）解：联立，解得：，
∴，
∴，
①若点P在右侧，
∵，
∴，
∴，解得，
∴
②若点P在左侧，
∵S△BEP=8，
∴，
∴，解得，
当时，，
∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，交x轴于Q，
同理，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上，存在，或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．
【考点四 一次函数中折叠问题】
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或
【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出；
（2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解；
②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；
③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．
【详解】（1）解：把代入，
，
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：．
（2）①∵直线：令，解得，
∴点的坐标为，
∵
∴，
∵折叠，
∴；
②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，
，
，
，
点的坐标为；
③ 如下图，
当时，由翻折得，
，
，
，
，
点的坐标为；
如图，
当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点D，E分别在线段、上，连接将沿折叠，点的对应点恰好在轴上，且平分，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】过点作轴于点，轴于点，交于点，利用角平分线的性质可得，，利用折叠，得到，进而得到，即点的横纵坐标相等，设，代入一次函数解析式，求出值，即可得解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，交于点，
∵平分，
∴，
∵将沿折叠，
∴，
∴，
∴，
即：点的横纵坐标相等，设，
∵点D线段上，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，以及折叠后的两个三角形全等，是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______．
【答案】或或
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可．
【详解】当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
．
由折叠的性质可得，
．
设，则．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
点的坐标为，
，
当时，
∵，
∴点O是的中点，
∴；
当时，则；
当时，设，则，
，解得，
此时；
综上，点的坐标为或或；
故答案为：或或
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，等腰三角形的定义，在中，利用勾股定理找出关于的方程是解题的关键．
3．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标．
【答案】或
【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标．
【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，
∵直线与轴、轴分别相交于点，，
当时，，得：，
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点的坐标是或．
【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标，勾股定理，折叠的性质，运用了分类讨论的思想．熟练运用折叠的性质是解题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式．
【答案】(1)，；
(2)存在，点坐标为；
(3)折痕的解析式为．
【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标；
（2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标；
（3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式．
【详解】（1））在中，令可得，令可求得，
，；
（2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，
则，即点即为满足条件的点，
，
，
在中，当时，可得，
点坐标为；
（3）如图2，
设，则，
，
，
由折叠的性质可得，，，
，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
，，
设直线解析式为，
，解得，
折痕的解析式为．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．
(1)求直线的解析式．
(2)求的值．
(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式；
（2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比；
（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．
【详解】（1）由题知，设，则．
在中，，
即：，
，
∴，
又，
∴．
（2）设，则，
由折叠性质知：．
在中：，
∴，
∴．
∴，
∴，，
∴．
（3），，理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则,，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴)
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则,，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴)
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
综上所述，或
【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知与x轴、y轴分别相交于点A、点B，若将折叠，使点A与点B重合，折痕与x轴交于点C，与交点D．
(1)点B的坐标是______；点A的坐标是______．
(2)求直线的解析式；
(3)在直线上是否存在一点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）设，则，在中，利用勾股定理求出，再利用待定系数法求出直线的解析式即可．
（3）过点O作交直线于M，由，可知，由
直线的解析式为，，推出直线的解析式为，由，解得，可得，根据对称性可知，经过点与直线平行的直线与直线的交点，也满足条件．
【详解】（1）令，则；令，则，
故点A的坐标为，点B的坐标为．
故答案为：，．
（2）设，
∵直线垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为．
（3）过点O作交直线于M，
∵，
∴，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
由，解得，
∴，
根据对称性可知，经过点与直线平行的直线与直线的交点，也满足条件，已知，
设，则有，，
∴，，
∴．
综上所述，满足条件的点P坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题、翻折变换、线段的垂直平分线的性质、等高模型、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加辅助线，构造平行线解决问题，注意一题多解．
7．（2023春·八年级课时练习）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），点O（0，0）．
(1)当P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′．
①如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，则点A′的坐标为 ；
②如图②，当A′在y轴上时，求P点坐标；
(2)如图③，当P是边OB上的一点（点P不与点O，B重合），沿着PA折叠该纸片，当B落在x轴的对应点为B′，求AP解析式．
【答案】(1)①（，1）②P（，）
(2)y＝（2﹣）x+2﹣4
【分析】（1）①利用勾股定理求出BA′，可得结论；
②如图②中，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．利用角平分线的性质定理证明PM＝PN，再利用面积法求出PM，PN，可得结论；
（2）设PB＝PB′＝n，利用勾股定理求出n，再利用待定系数法解决问题即可．
【详解】（1）①如下图所示，
∵A（2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
如图②中，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，
由翻折的性质可知，∠POA＝∠POA′，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM＝PN，
设PM＝PN＝m，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图③中，
由翻折的性质可知，PB＝PB′，
设PB＝PB′＝n，
∵，
在Rt△POB′中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线AP的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线PA的解析式为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．