人教版八年级数学下学期期中易错精选50题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下学期期中易错精选50题(原卷版+解析)，共85页。

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28657" 【第十六章 二次根式典型例题】 PAGEREF _Tc28657 \h 1
\l "_Tc31552" 【易错点一 二次根式有意义的条件易错】 PAGEREF _Tc31552 \h 1
\l "_Tc28489" 【易错点二 二次根式运算易错】 PAGEREF _Tc28489 \h 3
\l "_Tc11903" 【易错点三 二次根式中分母有理化运算易错】 PAGEREF _Tc11903 \h 7
\l "_Tc18271" 【第十七章 勾股定理典型例题】 PAGEREF _Tc18271 \h 11
\l "_Tc16361" 【易错点一 勾股定理及逆定理与实际问题易错】 PAGEREF _Tc16361 \h 12
\l "_Tc30907" 【易错点二 勾股定理中方程思想问题易错】 PAGEREF _Tc30907 \h 21
\l "_Tc25377" 【易错点三 勾股定理与面积、网格问题易错】 PAGEREF _Tc25377 \h 26
\l "_Tc12490" 【易错点四 利用勾股定理求最短路径问题易错】 PAGEREF _Tc12490 \h 31
\l "_Tc32493" 【第十八章 平行四边形典型例题】 PAGEREF _Tc32493 \h 39
\l "_Tc5662" 【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】 PAGEREF _Tc5662 \h 39
\l "_Tc5871" 【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】 PAGEREF _Tc5871 \h 43
\l "_Tc8125" 【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】 PAGEREF _Tc8125 \h 49
\l "_Tc2111" 【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】 PAGEREF _Tc2111 \h 53
【第十六章 二次根式典型例题】
【易错点一 二次根式有意义的条件易错】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）（1）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ________；
（2）若有意义，则x的取值范围是 _________．
【变式训练】
1．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
2．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．
3．（2023春·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考阶段练习）若代数式有意义，则x的取值范围式__________．
4．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）代数式中，字母m的取值范围是___________；
5．（2023年湖北省咸宁市五校联考九年级下学期3月质量检测数学试题）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【易错点二 二次根式运算易错】
例题：（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【变式训练】
1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）计算．
(1) (2)
2．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）计算：
(1)； (2)．
3．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）计算：
(1) (2)
4．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期末）计算：
(1)
(2)
(3)
5．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）计算题
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【易错点三 二次根式中分母有理化运算易错】
例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考阶段练习）观察下列运算：
由，得；由，得；由，得；…
(1)通过观察得___________；
(2)利用（1）中你发现的规律计算：．
【变式训练】
1．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：
(1)化简： ___________；
(2)比较与的大小关系；
(3)计算：．
2．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
(1)请用以上两种方法化简：；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
3．（2023春·安徽六安·八年级校考阶段练习）【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数．
【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数．
即，．
类似的，，，，．
【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：
(1)_________________，________________；（为正整数）
(2)若，则＝________________；
(3)计算：．
【第十七章 勾股定理典型例题】
【易错点一 勾股定理及逆定理与实际问题易错】
例题：（2023秋·海南儋州·八年级校考期末）如图，将长为米长的梯子斜靠在墙上，的长度为米．
(1)求梯子上端到墙底端E的距离；
(2)如果梯子顶端A沿墙下滑米，（即米）则梯脚B往外移多少米？
【变式训练】
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在距张大爷家房屋17米处有一棵大树．在一次强风中，这颗大树从距地面8米处折断倒下，量得倒下部分的长是17米．请你通过计算，判断这棵大树倒下时是否会砸到张大爷的房子．
3．（2023春·八年级课时练习）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？
6．（2023春·全国·八年级专题练习）某村有两条笔直公路和相交于点O，，在公路路边有学校A，与点O距离长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路上匀速行驶．
(1)学校A到公路的最短距离是多少米？
(2)请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；
(3)如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？
7．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）在一条东西走向的河一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，由于山路塌方，C到B的路无法通行，只能到更远的A处取水，为了该村民方便用水政府决定在河边D处新建一个自来水供水站（A、D、B在同一条直线上），测得千米，千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
9．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，（、、在同一直线上），为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求公路的长．
【易错点二 勾股定理中方程思想问题易错】
例题：（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速 度移动，设运动的时间为．
（1）求边的长__________.
（2）当为直角三角形时，t的值________
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米．
2．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)如果，，求的长．
3．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．
(1)如图1，点C在内，若，求的度数；
(2)如图2，若，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求折痕的长．
(3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，求此时的长．
【易错点三 勾股定理与面积、网格问题易错】
例题：（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021秋·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．C．4D．3
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于D，则的长为______．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为 ______．
5．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．P、A、B均为格点．
（1）_______________；
（2）点B到直线的距离是__________________；
（3）______________．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1中画出一个腰长为10的等腰三角形（三角形的项点在小正方形的格点上）．
(2)在图2中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形（三角形的顶点在小正方形的格点上）．
【易错点四 利用勾股定理求最短路径问题易错】
例题：（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ．
（1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”）
（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ．
【变式训练】
1．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，若圆柱的底面半径是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是__________．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
(1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
4．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；
(1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
5．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【第十八章 平行四边形典型例题】
【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为______．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
2．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】
例题：（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
(1)求证：EDC≌HFE；
(2)连接BE，CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其他顶点均不重合，连接BE、DG．
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：．
(2)如图3，如果，，，求点G到BE的距离．
2．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形，交对角线AC于点M，边AB的延长线交于点N．
（1）当时，求α的度数；
（2）如图2，对角线B'D'交AC于点H，交AN于点G，延长交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．
【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ．
【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】
例题：（2022春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式训练】
1．（2021春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）
2．（2021秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；
(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．
3．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】
(1)在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中点四边形”一定是正方形，因此它一定是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
(2)如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的一条结论：______．
【问题解决】
(3)如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．
求证：四边形是“中方四边形”．
人教版八年级数学下学期期中易错精选50题
考试范围：第一章-第三章的内容，共50小题.
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28657" 【第十六章 二次根式典型例题】 PAGEREF _Tc28657 \h 1
\l "_Tc31552" 【易错点一 二次根式有意义的条件易错】 PAGEREF _Tc31552 \h 1
\l "_Tc28489" 【易错点二 二次根式运算易错】 PAGEREF _Tc28489 \h 3
\l "_Tc11903" 【易错点三 二次根式中分母有理化运算易错】 PAGEREF _Tc11903 \h 7
\l "_Tc18271" 【第十七章 勾股定理典型例题】 PAGEREF _Tc18271 \h 11
\l "_Tc16361" 【易错点一 勾股定理及逆定理与实际问题易错】 PAGEREF _Tc16361 \h 12
\l "_Tc30907" 【易错点二 勾股定理中方程思想问题易错】 PAGEREF _Tc30907 \h 21
\l "_Tc25377" 【易错点三 勾股定理与面积、网格问题易错】 PAGEREF _Tc25377 \h 26
\l "_Tc12490" 【易错点四 利用勾股定理求最短路径问题易错】 PAGEREF _Tc12490 \h 31
\l "_Tc32493" 【第十八章 平行四边形典型例题】 PAGEREF _Tc32493 \h 39
\l "_Tc5662" 【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】 PAGEREF _Tc5662 \h 39
\l "_Tc5871" 【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】 PAGEREF _Tc5871 \h 43
\l "_Tc8125" 【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】 PAGEREF _Tc8125 \h 49
\l "_Tc2111" 【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】 PAGEREF _Tc2111 \h 53
【第十六章 二次根式典型例题】
【易错点一 二次根式有意义的条件易错】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）（1）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ________；
（2）若有意义，则x的取值范围是 _________．
【答案】 且 且
【分析】（1）根据式子有意义的条件，构建不等式求解；
（2）根据式子有意义的条件，构建不等式求解．
【详解】解：（1）代数式有意义，
解得
实数的取值范围是且，
故答案为：且．
（2）有意义，
解得
的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次根式有无意义的条件的应用，解题的关键是熟练掌握分式以及二次根式有无意义的条件．
【变式训练】
1．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于的不等式，解出即可得出答案．
【详解】
解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．
2．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．
【答案】A
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
3．（2023春·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考阶段练习）若代数式有意义，则x的取值范围式__________．
【答案】##
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
4．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）代数式中，字母m的取值范围是___________；
【答案】##
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．（2023年湖北省咸宁市五校联考九年级下学期3月质量检测数学试题）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件判断即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键．
【易错点二 二次根式运算易错】
例题：（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再算加减法；
（2）先计算乘除法并化简，再算加减；
（3）先将括号展开，化简绝对值，计算零指数幂，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
【变式训练】
1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）计算．
(1) (2)
【答案】(1)3
(2)0
【分析】（1）用二次根式的性质计算；
（2）先化简二次根式，然后计算．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，会利用二次根式性质进行减法和乘法运算是解题的关键．
2．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂的性质，以及二次根式混合运算法则是解题关键．
3．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根，有理数的乘方，实数的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解．
【详解】（1）解：，
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
4．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）化简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可；
（2）运用完全平方和公式、平方差公式去括号，然后按照实数的运算法则进行计算即可；
（3）按照负整数指数幂、去绝对值符号、0次幂以及化简二次根式进行化简，然后按照实数的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）
（3）．
【点睛】本题考查了完全平方和公式、平方差公式、负整数指数幂、去绝对值符号、0次幂以及化简二次根式进行化简；解题的关键是熟练掌握公式、二次根式的化简以及实数的运算法则．
5．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）计算题
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简二次根式，再统一为乘法运算进行计算即可；
（2）先化简各项，再进行加减法运算即可；
（3）各项先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）利用分母有理化和平方差公式计算，最后再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
【易错点三 二次根式中分母有理化运算易错】
例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考阶段练习）观察下列运算：
由，得；由，得；由，得；…
(1)通过观察得___________；
(2)利用（1）中你发现的规律计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察题目所给的式子得到规律即可得到答案；
（2）根据对原式进行裂项，得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：；
；
；
……
∴可以得到规律，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行分母有理化，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解．
【变式训练】
1．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：
(1)化简： ___________；
(2)比较与的大小关系；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干进行分母有理化即可化简；
（2）先将其倒数利用分母有理化进行化简比较大小，再根据倒数的性质，即可比较原数大小；
（3）先对括号内进行分母有理化，再计算乘法，最后计算加减即可得到答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键．
2．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
(1)请用以上两种方法化简：；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，方法见详解；
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
（2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
（3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案；
【详解】（1）解：方法一：；
方法二：；
（2）解：由题意可得，
，
；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．
3．（2023春·安徽六安·八年级校考阶段练习）【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数．
【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数．
即，．
类似的，，，，．
【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：
(1)_________________，________________；（为正整数）
(2)若，则＝________________；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)9
【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据（1）的方法，可知，解方程即可求出m的值；
（3）根据（1）的方法进行计算，裂项相消即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键．
【第十七章 勾股定理典型例题】
【易错点一 勾股定理及逆定理与实际问题易错】
例题：（2023秋·海南儋州·八年级校考期末）如图，将长为米长的梯子斜靠在墙上，的长度为米．
(1)求梯子上端到墙底端E的距离；
(2)如果梯子顶端A沿墙下滑米，（即米）则梯脚B往外移多少米？
【答案】(1)梯子上端到墙底端E的距离为米；
(2)梯脚B将外移米．
【分析】（1）直接利用勾股定理即可求出的长；
（2）利用勾股定理求得的长，再利用，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得：米，米，
∵在中，，，
∴（米）；
答：梯子上端到墙底端E的距离为米；
（2）解：由题意得：（米），
∵在中，，
，
∴（米），
∴（米），
答：梯脚B将外移米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，正确应用勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
【答案】17米
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得 ，，，在中利用勾股定理可求出．
【详解】解：如图所示
设旗杆高度为 ，则 ，，，
在中，
解得：，
答：旗杆的高度为m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在距张大爷家房屋17米处有一棵大树．在一次强风中，这颗大树从距地面8米处折断倒下，量得倒下部分的长是17米．请你通过计算，判断这棵大树倒下时是否会砸到张大爷的房子．
【答案】，所以不会砸到．
【分析】利用勾股定理求出的长度，再和的长度比较大小即可．
【详解】解：解：在中
∵
∴
所以不会砸到 ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是求出的长度．
3．（2023春·八年级课时练习）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)海里
(2)救助船先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小汽车没超速，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算，段的速度，再与比较即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
即B，C间的距离为．
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵，
而，
而，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？
【答案】(1)6小时
(2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．
【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案；
（2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，
得，
（小时）；
答：台风中心经过6小时从B点移到D点；
（2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）．
又台风到点D的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）某村有两条笔直公路和相交于点O，，在公路路边有学校A，与点O距离长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路上匀速行驶．
(1)学校A到公路的最短距离是多少米？
(2)请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；
(3)如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？
【答案】(1)600米；
(2)能，理由见解析
(3)4分钟，
【分析】（1）直接过A作于点C，根据直角三角形的性质求出的长，即为学校A到公路的最短距离；
（2）根据(1)中的的长，比较与1000米的大小，即可判断学校能否被宣传声音影响到；
（3）利用勾股定理求得在上距离A点1000米到离开A点1000米的之间的距离，再除以宣讲车的速度即为影响学校的时间．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点C，则即为最短距离，
，，
，
在中，，
又米，
米，
即学校A到公路的最短距离是600米；
（2）解：学校能被宣传声音影响到，
理由如下：
，
∴学校能被宣传声音影响到；
（3）解：如图，影响路段的长为线段的长，
在中，，
又米，米，
（米），
又，，
(米)，
∵宣讲车的速度是400米/分钟，
∴学校总共能影响时间(分钟)
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理，作出直角三角形是关键．
7．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）在一条东西走向的河一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，由于山路塌方，C到B的路无法通行，只能到更远的A处取水，为了该村民方便用水政府决定在河边D处新建一个自来水供水站（A、D、B在同一条直线上），测得千米，千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，见解析
(2)3.9千米
【分析】（1）应用勾股定理的逆定理，即可判断，即可说明问题；
（2）由勾股定理，即可计算．
【详解】（1）是从村庄C到河边最近的路．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是从村庄C到河边最近的路．
（2）∵，
∴（千米），
∴原来的路线的长是3.9千米．
【点睛】本题考查两点的距离，勾股定理及其逆定理，关键是掌握：勾股定理及其逆定理．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【答案】(1)会受到影响
(2)小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．
【详解】（1）解：作于D，
在三角形中，，
∴是直角三角形，即，
，
，
解得∶千米，
所以，城镇C会受到影响．
（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时千米，
到F处结束影响，此时千米，
，千米，
受影响的时间为（小时）
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
9．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，（、、在同一直线上），为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求公路的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，
理由如下：在中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形且；
（2）设，则，
在中，
由勾股定理得 ，
即，解得，
答：公路的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是理解并掌握勾股定理及其逆定理．
【易错点二 勾股定理中方程思想问题易错】
例题：（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速 度移动，设运动的时间为．
（1）求边的长__________.
（2）当为直角三角形时，t的值________
【答案】 2或
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）在中，，，，
由勾股定理得；
（2）由题意知：．
①当时，如图，点与点重合，，
；
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，的值为2或．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米．
【答案】10
【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：设千米，则千米，
∵B、C两村到P站的距离相等，
∴．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为10．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键．
2．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是
【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线即可；
（2）设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）如图，点即为所求作的点．
（2）解：由作图得为的垂直平分线，
，
设，则
，
在中，
，
解得：，
答：的长是．
【点睛】本题考查了尺规作图中垂直平分线的作法和垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握垂直平分线的作法是解题的关键．
3．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．
(1)如图1，点C在内，若，求的度数；
(2)如图2，若，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求折痕的长．
(3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，求此时的长．
【答案】(1)
(2)2
(3)或10
【分析】（1）根据平角的定义得到，根据折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可；
（2）先证明，再由三角形内角和定理得到，则，如图，过点N作于点D，在中，求出，在中，则；
（3）分点N在线段上，点N在线段的延长线上，两种情况利用勾股定理讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴；
（2）解：由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点N作于点D，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
∴折痕的长为2；
（3）解：①若折叠后，直线于点E，
∵，
∴，
若点N在线段上，如上图所示，
由折叠的性质可知：，
∴，
在中，，根据勾股定理，得，
∴，
解得；
②若点N在线段的延长线上，如下图所示，
由折叠可知：，
∴，
在中，，根据勾股定理，得，
∴，
解得．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
【易错点三 勾股定理与面积、网格问题易错】
例题：（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理得，再由圆面积公式得，，，即可得出结论．
【详解】解：在中，，
，
，，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理及圆的面积公式是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．C．4D．3
【答案】D
【分析】根据勾股定理表示出BC的长，再根据三角形的面积为3，求出BC，即可求出点A到边BC的距离．
【详解】解：设单位方格的边长为a，
，的面积等于3，
，
解得（负值舍去），
，
点A到边BC的距离为．
故答案为：D．
【点睛】此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式．
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接，
由勾股定理得，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
3．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于D，则的长为______．
【答案】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和用勾股定理求出的长，然后利用面积公式即可计算出的长．
【详解】解：由题意可得，
的面积是：，
由勾股定理得，
∵是的高，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为 ______．
【答案】98
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此求解即可．
【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，
则正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积，
又∵，，
∴正方形A、B、C、D、E的面积和．
即正方形A，B，C，D、E的面积的和为．
故答案为：98．
【点睛】本题考查了勾股定理．注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
5．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．P、A、B均为格点．
（1）_______________；
（2）点B到直线的距离是__________________；
（3）______________．
【答案】
【分析】（1）用勾股定理求解即可；
（2）延长得格点C，连接，，证，则点B到直线的距离是线段的长，再由勾股定理求出的长即可；
（3）由（2）问图可证是等腰直角三角形，从而得，即可由求解．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）延长得格点C，连接，， 如图，
由图可得：，，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴，
∴点B到直线的距离是线段的长，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）知，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握在网格图用勾股定理求线段长是解题的关键．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1中画出一个腰长为10的等腰三角形（三角形的项点在小正方形的格点上）．
(2)在图2中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形（三角形的顶点在小正方形的格点上）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用勾股定理画出使得即可；
（2）利用勾股定理使得，且边上为4 即可．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
∵，
∴是腰长为10的等腰三角形；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵，，
∴为腰长为5且面积为10的等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积，正确理解题意作出图形是解题的关键．
【易错点四 利用勾股定理求最短路径问题易错】
例题：（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ．
（1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”）
（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ．
【答案】 能
【分析】（1）利用勾股定理求出线段的长度与7比较大小即可；
（2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】如图，
长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5
∴
（1）在中，
在中，
∴一根长7的木棒能放人盒子里．
故答案为：能；
（2）①如图1，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：；
②如图2，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：；
③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：．
∴蚂蚁爬行的最短路程是.
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．
【变式训练】
1．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米．
【答案】5
【分析】先将台阶展开，再根据勾股定理求解即可．
【详解】将三级台阶展开，如图所示．
可知（米），（米），
根据两点之间线段最短，可知为最短路径，根据勾股定理得（米）．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了根据两点之间线段最短求最短路径，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，若圆柱的底面半径是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是__________．
【答案】
【分析】将圆柱沿的侧面展开，丝线绕圆柱一周，利用两点之间线段最短基本事实知道展开图中就是丝线的最短长度，用勾股定理求即可．
【详解】沿将侧面展开如图，
有两点之间线段最短，为最短线长,
，，
由勾股定理
．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆柱体的侧面展开图问题，掌握两点之间线段最短，会利用基本事实解决问题，此问题常与勾股定理结合，掌握好勾股定理是解题关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
(1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
【答案】(1)能
(2)dm
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出的长度，再进行比较即可得；
（2）分三种情况将长方体展开，然后进行比较即得结果．
【详解】（1）如图1，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴长为dm的铁棒能放进去；
（2）如图2所示，将前面与右侧面展开，
dm．
如图3所示，将前面与上面展开，
dm，
如图4所示，将下面与右侧面展开，
dm，
∵，
∴爬行的最短路程是dm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用之最短路径问题，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；
(1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
【答案】(1)如方法一的路线最短，最短路线为
(2)筷子的最大长度是
【分析】（1）分别讨论将面和面展开，将面和上底面展开两种情况，再利用勾股定理计算，进而比较即可求解；
（2）当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）方法一：将面和面展开，如图，
∵，，
∴，
由勾股定理得；
方法二：将面和上底面展开，如图，
∵，，
∴，
由勾股定理得；
所以，如方法一的路线最短，最短路线为；
（2）如图，当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴，
所以，筷子的最大长度是．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】(1)见解析；
(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；
（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
【第十八章 平行四边形典型例题】
【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】或3
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出．②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，
在中，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，
，
设，则，
在中，
，

解得： ；
②当点落在边上时，如答图所示．
此时为正方形，
．
故答案为：或；
【点睛】本题考查了勾股定理以及折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或或或
【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；

在菱形 中， ，

作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，

点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则，
；
如图 中，当 时，

，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
2．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
【答案】 2 或
【分析】（1）由折叠得，根据平行线的性质得到，利用三角形内角和得到，进而推出，即可得到答案；
（2）若，则，根据勾股定理求出，设，直角中，根据勾股定理得，求出；若，根据勾股定理求出，设，在直角中，根据勾股定理得，求出．
【详解】（1）由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）如图1，若，则．
由折叠知．在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为﹔
如图2，若，则．
由折叠知．
在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟记正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】
例题：（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
(1)求证：EDC≌HFE；
(2)连接BE，CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②
【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，然后利用定理即可得证；
（2）①由矩形性质可知，再根据全等三角形的性质可得．由旋转得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的性质和旋转的性质可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得．
（1）
证明：∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，，
∴．
在和中，
∴．
（2）
解：①四边形是平行四边形，证明如下：
如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，即．
∵，
∴．
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②∵四边形是菱形，长为2，
∴，
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其他顶点均不重合，连接BE、DG．
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：．
(2)如图3，如果，，，求点G到BE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据 “”可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接、，延长交于点，当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到，最后在中，利用等积法可求得点到的距离．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，
由正方形的性质可知，，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，延长交于点，
当时，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵和同底等高，
∴，
设点G到BE的距离为h，，
，即，
解得，
∴点到的距离为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，综合性比较强，对学生综合解题能力要求较高，注意等积法在解题中的应用．
2．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形，交对角线AC于点M，边AB的延长线交于点N．
（1）当时，求α的度数；
（2）如图2，对角线B'D'交AC于点H，交AN于点G，延长交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）α＝15°；（2）为定值，
【分析】（1）先利用SAS判断出△AD'M≌△AB'N（SAS），得出∠D'AM＝∠B'AN＝α，再判断出∠CAD＝30°＝2α，即可得出结论；
（2）先判断出AB'＝AD'＝，再判断出∠AB'G＝∠AD'E＝60°，进而利用ASA判断出△AB'G≌△AD'E，得出B'G＝D'E，AG＝AE，进而判断出△AGH≌△AEH（ASA），得出HE＝HG，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，
∴AB'＝AD'，∠AB'N＝∠AD'M，
又∵，
∴△AD'M≌△AB'N（SAS），
∴∠D'AM＝∠B'AN＝α，
又∵AC为菱形ABCD的对角线，且∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝30°＝∠D'AM+∠D'AD＝2α，
∴α＝15°；
（2）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，
∴∠B'AG＝∠D'AE＝α，
∵菱形ABCD的周长为a，
∴AB'＝AD'＝ ，
又∵∠B'AD'＝∠BAD＝60°，
∴∠AD'C'＝120°，
且∠AD'E＝60°，
∴
∴△AB'G≌△AD'E（ASA），
∴B'G＝D'E，AG＝AE，
又∠GAH＝∠HAE＝30°，
∴△AGH≌△AEH（ASA），
∴HE＝HG，
∵AB'＝AD'，∠B'AD'＝60°，
∴△AB'D'是等边三角形，
∴B'D'＝AB'＝，
∴△EHD'的周长＝HD'+HE+D'E＝HD'+HG+B'G＝B'D'＝，
∴三角形EHD'的周长为定值．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△AB'G≌△AD'E是解本题的关键．
【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
【答案】
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
【详解】解：如图，与相交于点，
在中，，
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
点是的中点，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
【答案】
【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．
【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）①；②36，
【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝10，
在Rt△CDE中，DE＝＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝2；
在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE，
∴，解得：，
∴菱形BFEP的边长为；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，，
，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，
，
∴菱形的面积范围：．
菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键．
【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】
例题：（2022春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，EH//BD，FG=BD，FG//BD，EF=AC，EF//AC，HG=AC，HG//AC，
∴EH=FG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当对角线AC⊥BD时，则∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，故①符合题意；
当对角线BD=AC时，则EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，故②符合题意；
当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分，故③不符合题意；
若四边形EFGH是正方形，
∴EH⊥HG，EH=HG，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴AC与BD互相垂直且相等，故④符合题意；
综上，正确的是①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【变式训练】
1．（2021春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）
【答案】（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（2）或
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF=EH，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形EFGH是菱形，
理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH=AD，
同理，EF∥AD，EF=AD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=BC，
∵AD=BC，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形，
理由如下：∵EH∥BC，
∴∠AEH=∠ABC，
同理，∠BEF=∠BAD，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为正方形，
故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
2．（2021秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；
(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．
【答案】(1)平行四边形．证明见解析
(2)；
(3)矩形的中点四边形是菱形．
【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；
（2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形；
（3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形．
【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下：
如图，连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，
，
，
又四边形是平行四边形
平行四边形是菱形；
故答案为：；
（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．
3．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】
(1)在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中点四边形”一定是正方形，因此它一定是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
(2)如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的一条结论：______．
【问题解决】
(3)如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．
求证：四边形是“中方四边形”．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
（2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
（3）连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论．
【详解】（1）解：概念在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且垂直，
故答案为：④；
（2）解：或，
理由如下：
四边形是“中方四边形”，
是正方形且分别是、、、的中点，
，，，，，，
，，
故答案为：或；
（3）解：如图2，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为，
分别是、、、的中位线，
，，，，，，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
，，
，，
，
是菱形，
∵，
．
，，
，
，
，，
，
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．