人教版七年级数学下册专题05平方根、立方根(原卷版+解析)(重点突围)

这是一份人教版七年级数学下册专题05平方根、立方根(原卷版+解析)(重点突围)，共32页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4172" 【典型例题】 PAGEREF _Tc4172 \h 1
\l "_Tc13518" 【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 PAGEREF _Tc13518 \h 1
\l "_Tc20672" 【考点二 利用算术平方根的非负性解题】 PAGEREF _Tc20672 \h 2
\l "_Tc17845" 【考点三 求代数式的平方根】 PAGEREF _Tc17845 \h 4
\l "_Tc7402" 【考点四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 PAGEREF _Tc7402 \h 6
\l "_Tc958" 【考点五 与算术平方根有关的规律探索题】 PAGEREF _Tc958 \h 7
\l "_Tc7640" 【考点六 利用平方根、立方根解方程】 PAGEREF _Tc7640 \h 10
\l "_Tc26624" 【过关检测】 PAGEREF _Tc26624 \h 12
【典型例题】
【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（2022·湖北随州·七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·桦南县第四中学七年级阶段练习）的平方根是__________，的算术平方根是__________．
2．（2021·四川成都·八年级期中）25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．
【考点二 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．
【变式训练】
1．（2021·甘肃陇南·七年级期末）若，则ab=________．
2．（2022·江苏·八年级）已知实数，满足，则代数式的值为 __．
【考点三 求代数式的平方根】
例题：（2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
2．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．
【考点四 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例题：（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【变式训练】
1．（2020·吉林·长春外国语学校八年级期中）的小数部分是__________.
2．（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【考点五 与算术平方根有关的规律探索题】
例题：（2020·青海海东·七年级期中）你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算：；
(3)若，，用含a，b的式子表示．
【变式训练】
1．（2021·河南焦作·七年级期中）计算：
＝___，＝___，＝___，
___，___．
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
2．（2021·全国·八年级单元测试）(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
【考点六 利用平方根、立方根解方程】
例题：（2022·江苏泰州·八年级期末）求出下列x的值：
(1)4x2-9=0
(2)8（x+1）3=125
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）求的值：
(1)；
(2)．
2．（2022·河南洛阳·七年级期中）解方程：
(1)3x2﹣27＝0；
(2)（x﹣1）2
(3)8（x﹣1）3
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·八年级校考阶段练习）实数4的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
2．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．的立方根是
C．没有平方根D．2是4的一个平方根
3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
4．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·贵州贵阳·八年级校考期中）若，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．D．
6．（2023秋·河南新乡·八年级统考期中）的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
二、填空题
7．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）_____，_____．
8．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）25的算术平方根是___，的平方根是____，的平方根是____．
9．（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）若，求的平方根是___________．
10．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）若实数x、y满足，则的立方根是______．
11．（2021春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）定义新运算：对于任意实数，，都有，则______．
12．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第1行 1
第2行 2
第3行 3
第4行 4
…… ……
根据数阵的规律，第8行倒数第二个数是___________．
三、解答题
13．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）解方程：
(1) (2)
14．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）求下列各式中的x
(1) (2)
15．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，求的平方根．
16．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
17．（2021春·河南洛阳·七年级校考期中）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．
18．（2023春·七年级课时练习）（1）填空：__________；__________；
（2）猜想：__________；
（3）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．
19．（2020秋·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）观察下列有规律的一组等式：
，即；，即．
(1)猜想：______，______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．
20．（2022春·广东江门·七年级校考期中）阅读下列解题过程，
；；；…
(1)______，______；
(2)观察上面的解题过程，则：
①______（n为自然数）；
②利用这一规律计算：．
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
专题05 平方根、立方根
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4172" 【典型例题】 PAGEREF _Tc4172 \h 1
\l "_Tc13518" 【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 PAGEREF _Tc13518 \h 1
\l "_Tc20672" 【考点二 利用算术平方根的非负性解题】 PAGEREF _Tc20672 \h 2
\l "_Tc17845" 【考点三 求代数式的平方根】 PAGEREF _Tc17845 \h 4
\l "_Tc7402" 【考点四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 PAGEREF _Tc7402 \h 6
\l "_Tc958" 【考点五 与算术平方根有关的规律探索题】 PAGEREF _Tc958 \h 7
\l "_Tc7640" 【考点六 利用平方根、立方根解方程】 PAGEREF _Tc7640 \h 10
\l "_Tc26624" 【过关检测】 PAGEREF _Tc26624 \h 12
【典型例题】
【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（2022·湖北随州·七年级期末）1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．
【答案】 ±1 2 3
【解析】
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：1的平方根为，8的立方根为2，9的算术平方根为3．
故答案为：；2；3．
【点睛】
本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·桦南县第四中学七年级阶段练习）的平方根是__________，的算术平方根是__________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
先将计算出来，再求平方根；先计算，再求的算术平方根．
【详解】
解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【点睛】
本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
2．（2021·四川成都·八年级期中）25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．
【答案】 2 -3
【解析】
【分析】
根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：25的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是-3．
故答案为：；2；-3．
【点睛】
本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根．
【考点二 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得、的值，相加即可．
【详解】
解：，而，，
，，
解得，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握两个非负数的和为0，这两个非负数均为0．
【变式训练】
1．（2021·甘肃陇南·七年级期末）若，则ab=________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入ab计算即可．
【详解】
解：∵，
∴a+1=0，b-2021=0，
∴a=-1，b=2021，
∴ab=(-1)2021=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．
2．（2022·江苏·八年级）已知实数，满足，则代数式的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：，
，，
解得：，，
则原式．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点三 求代数式的平方根】
例题：（2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
(1)
解：∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
(2)
解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
【点睛】
此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意已知式子的算数平方根和平方根求出式子的值，继而可求出，，并求出的整数部分，然后把、、的值代入即可得出本题答案．
【详解】
解：根据题意可得
，解得；
，把代入可得；
因为是的整数部分，所以；
把，，代入得
；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了已知式子的算数平根和平方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识．
2．（2020·四川·安岳县石羊初级中学八年级期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【答案】±．
【解析】
【分析】
分别根据2b+1的平方根是±3，3a+2b-1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出2b+3a的值，求出其平方根即可．
【详解】
解：由题意可知：
2b+1=（±3）2=9，
∴b=4，
3a+2b-1=42=16，
∴3a+8-1=16，
∴a=3，
∴2b+3a=8+9=17，
∴2b+3a的平方根±．
【点睛】
本题考查的是平方根和算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n-0，解得m=-1，n=2；由k是64的方根，得出k=8，再代入m、n、k的值求得m-n+k的值，求其平方根即可．
【详解】
∵与互为相反数，
∴+＝0，
又∵≥0，≥0，
∴m+1=0，2-n-0，
∴m=-1，n=2，
∵k是64的平方根，
∴k=8；
当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为；
当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；
综合上述可得：m-n+k的平方根为．
【点睛】
考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．
【考点四 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例题：（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【答案】．
【解析】
【分析】
先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.
【详解】
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．
故答案为．
【点睛】
此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.
【变式训练】
1．（2020·吉林·长春外国语学校八年级期中）的小数部分是__________.
【答案】-3
【解析】
【详解】
∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3，小数部分是-3.
故答案为：-3.
2．（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
【解析】
【详解】
试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
【考点五 与算术平方根有关的规律探索题】
例题：（2020·青海海东·七年级期中）你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算：；
(3)若，，用含a，b的式子表示．
【答案】(1)6；6；20；20；规律见解析；
(2)9
(3)
【解析】
【分析】
（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：（a≥0，b≥0），据此判断即可．
（2）根据进行解答即可．
（3）根据，，可得，据此解答即可．
(1)
∵，，，，
∴总结出的规律是：（a≥0，b≥0）．
故答案为：6；6；20；20
(2)
；
(3)
∵，，
∴，
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
【变式训练】
1．（2021·河南焦作·七年级期中）计算：
＝___，＝___，＝___，
___，___．
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
【答案】5，0.5，0，5，；（1）不一定， ＝；（2）－3.14
【解析】
【分析】
原式各项计算即可求得；
（1）根据计算结果观察可发现规律；
（2）原式利用得出规律计算即可得到结果．
【详解】
解：，，，
，
故答案为：5 , 0.5 , 0 , 5 , ；
（1）不一定等于a，
＝
（2）
【点睛】
本题考查了算数平方根，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级单元测试）(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；②.
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出的值，然后得到整数x，即可得到答案.
【详解】
解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴，；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，；
故答案为：，；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．
【考点六 利用平方根、立方根解方程】
例题：（2022·江苏泰州·八年级期末）求出下列x的值：
(1)4x2-9=0
(2)8（x+1）3=125
【答案】(1)x1，x2
(2)x＝1.5
【解析】
【分析】
（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；
（2）根据立方根的定义，开立方求出x．
(1)
解：4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2，
x1，x2；
(2)
8（x+1）3＝125，
（x+1）3，
x+1，
x＝1.5．
【点睛】
本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）求的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过系数化为1、开平方进行求解；
（2）通过系数化为1、开立方进行求解．
(1)
系数化为1，得，
开平方，得，
解得或；
(2)
系数化为1，得，
开立方，得，
解得．
【点睛】
此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．
2．（2022·河南洛阳·七年级期中）解方程：
(1)3x2﹣27＝0；
(2)（x﹣1）2
(3)8（x﹣1）3
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的定义解方程;
（2）根据平方根的定义解方程；
（3）根据立方根的定义解方程
(1)
或
(2)
（x﹣1）2
或
(3)
8（x﹣1）3
【点睛】
本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·八年级校考阶段练习）实数4的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】实数4的算术平方根是．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
2．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．的立方根是
C．没有平方根D．2是4的一个平方根
【答案】D
【分析】根据平方根的性质即可作出判断．
【详解】解：A．4的平方根是，故A选项错误；
B．，1的立方根是1，故B选项错误；
C．，2有平方根，故C选项错误；
D．2是4的一个平方根，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根的相关知识，求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数，时，有两个平方根；时，只有一个平方根；时，没有平方根．
3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】C
【分析】利用进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一个数的算术平方根的估值，解题关键是掌握估值方法，即确定它的整数部分．
4．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根的化简即可解答．
【详解】A．，故A选项错误．
B．，故B 选项错误．
C．，故C选项正确．
D．，故D选项错误．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的化简．
5．（2022秋·贵州贵阳·八年级校考期中）若，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，，
∴，
∴，4的算术平方根的值为2，
∴的算术平方根的值为2，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值非负性的应用，算术平方根，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
6．（2023秋·河南新乡·八年级统考期中）的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】首先根据的平方根是，可得，然后根据的立方根是2，可得，据此求出、的值各是多少，即可求出的值是多少．
【详解】解：的平方根是，
①；
的立方根是2，
②；
联立①②解得，，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出、的值各是多少．
二、填空题
7．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）_____，_____．
【答案】 3； ．
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义解答即可．
【详解】解：，
，
故答案为：3；．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根；正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
8．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）25的算术平方根是___，的平方根是____，的平方根是____．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，
的算术平方根为：；
，
的平方根是；
,
的平方根是．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义与平方根的定义，理解定义是解题的关键．
9．（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）若，求的平方根是___________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，，
，
的平方根是．
故答案为：
【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）．
10．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）若实数x、y满足，则的立方根是______．
【答案】3
【分析】根据二次根式被开放数的非负性，即可解出x值，进而求出y值和答案．
【详解】解：∵实数x、y满足，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵27的立方根是3，
∴的立方根是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考察了二次根式被开方数的非负性，求立方根，准确记住二次根式的常用性质是解题关键．
11．（2021春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）定义新运算：对于任意实数，，都有，则______．
【答案】
【分析】根据新定义进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义运算，求一个数的算术平方根，理解新定义是解题的关键．
12．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第1行 1
第2行 2
第3行 3
第4行 4
…… ……
根据数阵的规律，第8行倒数第二个数是___________．
【答案】
【分析】根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论．
【详解】第1行的最后一个数是，
第2行的最后一个数是，
第3行的最后一个数是，
……
第8行最后一个数字为，
∴第8行倒数第二个数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．
三、解答题
13．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两边同时开立方，得到一个一元一次方程，求解即可；
（2）两边同时开平方，得到两个一元一次方程，求解即可；
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
或，
故．
【点睛】题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握定义是解题的关键．
14．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）求下列各式中的x
(1) (2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）把看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）把看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解．
【详解】（1）解：，
则，
∴，
∴或；
（2），
则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
15．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出，进而求出，根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
则，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，根据二次根式的被开方数是非负数求出x是解题的关键．
16．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先根据x的算术平方根为3，求出x的值，再解关于a的一元一次方程即可得到a的值；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，将，代入即可求出，再求出x的平方即可．
【详解】（1）解：因为x的算术平方根为3，
所以，
即，
所以．
（2）解：根据题意得：，
即：，
所以，
所以，
所以这个正数为．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
17．（2021春·河南洛阳·七年级校考期中）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．
【答案】的平方根为，立方根为1
【分析】先根据算术平方根、立方根的概念求出a，b，进而求出，再根据平方根、立方根的定义即可求解．
【详解】解：为的算术平方根，
，
．
为的立方根，
，
．
，
，，
的平方根为，立方根为1．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根和立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
18．（2023春·七年级课时练习）（1）填空：__________；__________；
（2）猜想：__________；
（3）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【答案】（1）5；5；（2）；（3）
【分析】（1）根据算术平方根求解即可；
（2）结合（1）中结果求解即可；
（3）根据数轴得出，且，然后将各式化简合并同类项求解即可．
【详解】解：（1）；；
故答案为：5；5；
（2）当时，；
当时，；
∴，
故答案为：；
（3）由数轴得：，且，
∴，，
∴
．
【点睛】题目主要考查算术平方根的化简及根据数轴判断式子的正负，整式的加减法等，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
19．（2020秋·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）观察下列有规律的一组等式：
，即；，即．
(1)猜想：______，______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．
【答案】(1)
(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析
【分析】（1）根据给定的等式，进行猜想即可；
（2）根据给定的等式可以看出，被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，进行表示即可．
【详解】（1）解：由给定的等式猜想得：；
故答案为：；
（2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，
用一个含（为正整数）的式子可表示为：；
理由如下：
．
【点睛】本题考查算术平方根的性质和数字的规律性探究．熟练掌握算术平方根的概念，从给出的式子中正确的找出规律，是解题的关键．
20．（2022春·广东江门·七年级校考期中）阅读下列解题过程，
；；；…
(1)______，______；
(2)观察上面的解题过程，则：
①______（n为自然数）；
②利用这一规律计算：．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据所给前几个等式的变化规律即可求解；
（2）①根据所给等式的变化规律即可得出结论；②根据所得结论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
，
故答案为：，；
（2）解：①由题意，，
故答案为：；
②
．
【点睛】本题考查数字类规律探究、算术平方根、有理数的乘法运算，找到等式中数字的变化与序号之间的关系是解答的关键．
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100