人教版七年级数学下册专题15解一元一次不等式组及其解决实际问题(原卷版+解析)(7大考点)

这是一份人教版七年级数学下册专题15解一元一次不等式组及其解决实际问题(原卷版+解析)(7大考点)，共41页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27126" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27126 \h 1
\l "_Tc2687" 【考点一 一元一次不等式组的定义】 PAGEREF _Tc2687 \h 1
\l "_Tc20482" 【考点二 求一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc20482 \h 2
\l "_Tc19923" 【考点三 求一元一次不等式组的整数解】 PAGEREF _Tc19923 \h 5
\l "_Tc24134" 【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc24134 \h 7
\l "_Tc28778" 【考点五 不等式组和方程结合的问题】 PAGEREF _Tc28778 \h 9
\l "_Tc3063" 【考点六 列一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc3063 \h 11
\l "_Tc11791" 【考点七 一元一次不等式组的应用】 PAGEREF _Tc11791 \h 13
\l "_Tc27003" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27003 \h 17
【典型例题】
【考点一 一元一次不等式组的定义】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点二 求一元一次不等式组的解集】
例题：（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）解不等式组，把它的解集在是数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
【变式训练】
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
2．（2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．
3．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
(1)；
(2)；
【考点三 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2023·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）不等式组的整数解为___________．
【变式训练】
1．（2023春·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）不等式组的最小整数解是________．
2．（2023春·北京西城·九年级北京铁路二中校考阶段练习）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考一模）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南周口·统考一模）不等式组无解，则的值可能是 _____．
3．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是______．
【考点五 不等式组和方程结合的问题】
例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．5B．2C．4D．6
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是
A．B．
C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为____
【考点七 一元一次不等式组的应用】
例题：（2023春·广东佛山·八年级期中）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．
(1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于元的资金购买、两种型号的垃圾箱共个，且型号垃圾箱个数不多于型垃圾箱个数的倍，则该小区购买、两种型号垃圾箱的方案有哪些？该小区最少需花费多少钱？
【变式训练】
1．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨．
(1)求台型设备、台型设备日处理能力各为多少吨？
(2)根据实际情况，需购买、两种型号的垃圾处理设备共台．要求型设备不多于型设备的倍，且购回的设备日处理能力不低于吨．请你利用不等式的知识为该景区设计购买、设备的方案．
2．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南驻马店·校考二模）不等式组的正整数解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023·河南焦作·统考一模）不等式组的解集为 ___________．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）方程组有正整数解，则整数的值为_____．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是______．
9．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）“输入一个数，然后经过如图的运算，到判断结果是否大于为止”叫做一次操作，若经过两次操作就停止，则的取值范围是______．
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
三、解答题
11．（2023年北京市西城区中考一模数学试卷）解不等式组：
12．（2023年山东省烟台地区中考一模数学试题）求不等式组的整数解．
13．（2023·山东淄博·统考一模）解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
14．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，．
(1)求常数，的值；
(2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围．
17．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）某商店决定购进A，B两种纪含品，已知购进A种纪念品1件，B种纪念品2件，需要20元；购进A种纪念品4件，B种纪念品1件，需要45元．
(1)每件A种纪念品的进价为___元，每件B种纪念品的进价为___；
(2)若商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有几种进货方案？
(3)已知一件A种纪念品可获利5元，一件B种纪念品可获利3元，若纪念品能全部卖出，试问在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案可获利最多，最多为多少？
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围

型
型
价格（万无台）
12
10
月污水处理能力（吨月）
200
160
专题15 解一元一次不等式组及其解决实际问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27126" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27126 \h 1
\l "_Tc2687" 【考点一 一元一次不等式组的定义】 PAGEREF _Tc2687 \h 1
\l "_Tc20482" 【考点二 求一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc20482 \h 2
\l "_Tc19923" 【考点三 求一元一次不等式组的整数解】 PAGEREF _Tc19923 \h 5
\l "_Tc24134" 【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc24134 \h 7
\l "_Tc28778" 【考点五 不等式组和方程结合的问题】 PAGEREF _Tc28778 \h 9
\l "_Tc3063" 【考点六 列一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc3063 \h 11
\l "_Tc11791" 【考点七 一元一次不等式组的应用】 PAGEREF _Tc11791 \h 13
\l "_Tc27003" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27003 \h 17
【典型例题】
【考点一 一元一次不等式组的定义】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是1，对各选项判断再计算个数即可
【详解】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，所含未知数相同，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组．③含有一个未知数，但是未知数的最高次数是2；⑤含有两个未知数，所以③⑤不是一元一次不等式组
故选B
【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的定义
【考点二 求一元一次不等式组的解集】
例题：（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）解不等式组，把它的解集在是数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】，在数轴上表示见解析，0，1，2，3
【分析】求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，确定出非负整数解即可．
【详解】解：
由①解得：，
由②解得：，
所以，不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示出来如下：
故不等式组的非负整数解为：0，1，2，3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和不等式组的整数解等知识点的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集．
【变式训练】
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等，得：，
解不等式，得：，
所以不等式组解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】，在数轴上表示不等式组的解集见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
将解集在数轴上表示如解图：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
(1)；
(2)；
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】（1），
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
（2），
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
【点睛】题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
【考点三 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2023·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）不等式组的整数解为___________．
【答案】0，1
【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后从解集中选择整数解即可解答．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为:
所以不等式组的整数解为：．
故答案为．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，正确求得不等式组的解集是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）不等式组的最小整数解是________．
【答案】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最小整数解即可．
【详解】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为，
则不等式组的最小整数解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
2．（2023春·北京西城·九年级北京铁路二中校考阶段练习）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【答案】原不等式组的解集为，不等式组的非负整数解为0，1．
【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，即得出不等式组的解集，再在解集中找出非负整数即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握解不等式组的方法和步骤是解题关键．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∵x的一元一次不等式组有解，
∴
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考一模）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先解不等式组，利用表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得的范围．
【详解】解∶∵，
∴，
不等式组有4个整数解，
不等式组的整数解是3，4，5，6，
．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了．
2．（2023·河南周口·统考一模）不等式组无解，则的值可能是 _____．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据不等式组解集情况即可得到参数的取值范围，进而得到答案．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
∴的值可能是2（答案不唯一），
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查利用不等式组解集求参数值，熟练掌握一元一次不等式组解集求法是解决问题的关键．
3．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据每一个不等式的解集，结合口诀：同大取大可得答案．
【详解】解：∵的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点五 不等式组和方程结合的问题】
例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得，
∵方程组的中x，y满足，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．5B．2C．4D．6
【答案】C
【分析】先求出3﹣2x＝3（k﹣2）的解为x，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到k＞﹣1，则﹣1＜k≤3，再由整数k和是整数进行求解即可．
【详解】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x，
∵方程的解为非负整数，
∴0，
∴，
把整理得：，
由不等式组无解，得到k＞﹣1，
∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，
∵是整数，
∴k＝1，3，
综上，k＝1，3，
则符合条件的整数k的值的和为4．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．
【详解】解：解方程组得：，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，
∴≥，
解得：a≥-，
∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，
∴，
解得-2≤a＜1，
∴≤a＜1，
∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入即可．
【详解】解：位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到2棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为．
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．
【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得：
，
故选A．
【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为____
【答案】
【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得．
【详解】设有间宿舍，则学生有人，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键．
【考点七 一元一次不等式组的应用】
例题：（2023春·广东佛山·八年级期中）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．
(1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于元的资金购买、两种型号的垃圾箱共个，且型号垃圾箱个数不多于型垃圾箱个数的倍，则该小区购买、两种型号垃圾箱的方案有哪些？该小区最少需花费多少钱？
【答案】(1)每个型垃圾箱为元和每个型垃圾箱为元
(2)有种购买方案，方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱；方案：购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱；方案：购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱，最少需花费为元
【分析】（1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型垃圾箱个，则购买A型垃圾箱个，根据根据购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元列出不等式组，求出的范围，根据题意分析即可得出答案．
【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
根据题意得：，
解得：，
答：每个型垃圾箱为元和每个型垃圾箱为元．
（2）设购买型垃圾箱个，则购买A型垃圾箱个，
根据题意得：，
解得：，
为正数，可以为，，，
有种购买方案：
方案：，购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱；
方案：，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱；
方案：，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱．
型垃圾箱比型垃圾箱便宜，所以多买型垃圾箱，少买型垃圾箱的方案最省钱，
方案1花费元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
【变式训练】
1．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨．
(1)求台型设备、台型设备日处理能力各为多少吨？
(2)根据实际情况，需购买、两种型号的垃圾处理设备共台．要求型设备不多于型设备的倍，且购回的设备日处理能力不低于吨．请你利用不等式的知识为该景区设计购买、设备的方案．
【答案】(1)台型设备、台型设备日处理能力各为、吨
(2)共有种，方案：购买型设备为台，则购买型设备为台；方案：购买型设备为台，则购买型设备为台
【分析】（1）设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买型设备为台，则购买型设备为台，根据题意列出一元一次不等式组，进而求正整数解即可求解．
【详解】（1）解：设台型设备、台型设备日处理能力各为、吨
由题意得：
解得
答：台型设备、台型设备日处理能力各为、吨．
（2）解：设购买型设备为台，则购买型设备为台．
由题意得：
解得
，
为正整数，
或，
该景区购买方案共有种，
方案1：购买型设备为台，则购买型设备为台；
方案2：购买型设备为台，则购买型设备为台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
2．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
(2)一共有3种方案：①用大货车6辆，用小货车6辆；②用大货车7辆，用小货车5辆；③用大货车8辆，用小货车4辆；当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，根据 题意列得二元一次方程组解答即可；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，根据运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元列出不等式组解出结果，计算最少费用．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，则
，解得，
答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，由题意得，
，
解得，
∵a是整数，
∴，
共有3种方案：
①用大货车6辆，用小货车6辆，费用为（元）；
②用大货车7辆，用小货车5辆，费用为（元）；
③用大货车8辆，用小货车4辆，费用为（元）；
∵，
∴当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点在第二象限，，求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】此题考查了已知点所在的象限求参数，正确掌握各象限内点的坐标符号：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，是解题的关键．
2．（2023·河南驻马店·校考二模）不等式组的正整数解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分别求两个不等式的解集，然后可得不等式组的解集，最后判断正整数解的个数即可．
【详解】解：，
解得，，
，
解得，，
∴不等式组的解集为，其中正整数解为1，2共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于正确的解不等式组．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有个整数解得出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组有且仅有个整数解是，，，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
4．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴，
解得，
解关于x的一元一次方程，得，
∵方程有正整数解，
∴，
则，
∴，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半、总价单价购买数量结合购买资金不超过3200元，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买足球个，
由题意，得，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
二、填空题
6．（2023·河南焦作·统考一模）不等式组的解集为 ___________．
【答案】
【分析】分别解出不等式组中的两个不等式的解，然后找其公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）方程组有正整数解，则整数的值为_____．
【答案】，
【分析】先用的代数式表示、，根据方程组有正数解，求出的取值范围，再根据方程组有正整数解，得出，求出，整数的值就能求出，即可得到满足，为正整数的的值．
【详解】解：，
①②，得，
把代入②，得，
方程组有正数解，
，，
解得：，
的整数为，，，0，1，2，
分别代入，，
使，为正整数解的的值为，
和，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组，根据题意列出不等式求出解集是解题关键．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可．
【详解】解：对于，
由①得：，
由②得：，
∵原不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．
9．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）“输入一个数，然后经过如图的运算，到判断结果是否大于为止”叫做一次操作，若经过两次操作就停止，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据流程图，列出不等式，即可．
【详解】设运行一次的结果为，
∴，
当时，程序运行第二次，
设运行第二次的结果为，
∴，
∵程序须经过两次操作，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是理解程序运行流程，列出不等式方程．
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因为该不等式组的解集为
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
三、解答题
11．（2023年北京市西城区中考一模数学试卷）解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2023年山东省烟台地区中考一模数学试题）求不等式组的整数解．
【答案】5
【分析】分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则确定该不等式组的解集，进而即可得出其整数解．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的整数解为5．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握求不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
13．（2023·山东淄博·统考一模）解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【答案】，数轴表示见解析，整数解为1、2、3
【分析】分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后得出整数解即可．
【详解】解：，
移项合并得，，
系数化为1得，，
∴不等式的解集为，
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
∴不等式的解集为，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示解集如下：
，
∴整数解：1．2．3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识．解题的关键是掌握解不等式组的基本步骤．
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)购买《艾青诗选》的单价为35元，《格列佛游记》的单价为30元；
(2)4种，购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用是1585元
【分析】（1）设购买《艾青诗选》的单价为x元，《格列佛游记》的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可；
（2）设购买《艾青诗选》的数量n本，则购买《格列佛游记》的数量为本，根据题意的两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【详解】（1）设购买《艾青诗选》的单价为x元，《格列佛游记》的单价为y元，
由题意得： ，
解得，
答：购买《艾青诗选》的单价为35元，《格列佛游记》的单价为30元；
（2）设购买《艾青诗选》的数量n本，则购买《格列佛游记》的数量为本，
根据题意得 ，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
所以，共有4种购买方案分别为：
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为17本和33本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为18本和32本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为19本和31本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为20本和30本．
当时，，共花费（元）；
当时，，共花费（元）；
当时，，共花费（元）；
当时，，共花费（元）；
因为，
所以购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用是1585元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，．
(1)求常数，的值；
(2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可．
【详解】（1）由题意得，
解得，；
（2）由题意得，
解得．
∵要使恰有2个整数解，
∴，
解得．
【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
17．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）某商店决定购进A，B两种纪含品，已知购进A种纪念品1件，B种纪念品2件，需要20元；购进A种纪念品4件，B种纪念品1件，需要45元．
(1)每件A种纪念品的进价为___元，每件B种纪念品的进价为___；
(2)若商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有几种进货方案？
(3)已知一件A种纪念品可获利5元，一件B种纪念品可获利3元，若纪念品能全部卖出，试问在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案可获利最多，最多为多少？
【答案】(1)10；5
(2)该商店共有3种进货方案，方案1：购进A种纪念品50件，种纪念品50件；方案2：购进A种纪念品51件，种纪念品49件；方案3：购进A种纪念品52件，种纪念品48件
(3)商店进52件A产品，48件B产品可获利最多，最多为404元
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可分别求出采用各方案可获得的总利润，再比较后即可得出结论．
【详解】（1）设购进A种纪念品每件需元，购进种纪念品每件需元，
依题意得：，
解得：，
即购进A种纪念品每件需10元，购进种纪念品每件需5元，
故答案为：10，5；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，
依题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m可以为50，51，52，
答：该商店共有3种进货方案，
方案1：购进A种纪念品50件，种纪念品50件；
方案2：购进A种纪念品51件，种纪念品49件；
方案3：购进A种纪念品52件，种纪念品48件；
（3）当时，获得的利润为（元）；
当时，获得的利润为（元）；
当时，获得的利润为（元）．
∵，
答：商店进52件A产品，48件B产品可获利最多，最多为404元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，求出采用各方案获得的总利润．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可．
【详解】（1）①，解得；
②，解得；
③，解得；
解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵，在范围内，
∴不等式组“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得；
（3）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得，
综上所述，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．

型
型
价格（万无台）
12
10
月污水处理能力（吨月）
200
160