2023-2024学年广东省江门市新会区广雅中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会区广雅中学九年级（下）月考数学试卷（4月份），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在数轴上表示下列四个数中，离原点最近的是（ ）
A．﹣2B．1.3C．﹣0.4D．0.6
2．（3分）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（ ）度．
A．45B．60C．75D．105
3．（3分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为（ ）
A．2.5×105B．2.5×10﹣5C．2.5×106D．2.5×10﹣6
4．（3分）计算（﹣2x2）3的结果是（ ）
A．﹣6x5B．6x5C．8x6D．﹣8x6
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．16D．8
6．（3分）点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣或m＞1B．﹣
C．m＜1D．m＞﹣
7．（3分）在2023年江门市体育中考中，某校九年级毕业生的成绩统计如下：
那么该校九年级毕业生体育中考成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．58，59B．58.5，60C．59，60D．59.5，60
8．（3分）如图，⊙O的半径OA=7.5，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC=3：2，则DE的长为（ ）
A．7.5B．9C．10D．12
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则tan∠CAD的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y=ax+b的“滋生函数”．若一次函数y=ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0B．1C．+1D．3﹣
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）当m 时，方程＝无解．
14．（3分）如图，点A在反比例函数y1＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，且AB平行于y轴，C为y轴上一点，连接AC，BC，若△ABC的面积是7，则k的值为 ．
15．（3分）如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF= ．
三、解答题（共72分）
17．（10分）计算：（）﹣1+|3tan30°﹣1|﹣（π﹣3）0．
18．（10分）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）恰好看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少？
（10分）新会陈皮闻名全国，陈皮因具有燥湿化痰、健脾开胃等功效而大受欢迎，某超市用5000元购进一批甲种陈皮和用6000元购进乙种陈皮的千克数相同，已知每千克乙种陈皮价格比每千克甲种陈皮的价格多80元．求甲、乙两种陈皮每千克的进货价格．
20．（10分）乐乐同学去爸爸的自行车工厂参观，如图（1）所示是一辆自行车的实物图，如图（2），车架档AC与CD的长分别为42cm、42cm,且它们互相垂直，∠CAB=60°，AD∥BC，求车链横档AB的长．（结果保留根号）
21．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中AB=3，AC⊥AB，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，与BD交于点G，连接DF．
（1）求证：四边形ACDF是矩形．
（2）若平行四边形ABCD的面积是18，求CG的长．
22．（12分）文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
（2）如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
23．（12分）如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，点B的纵坐标为-2，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接DB、DE，已知S△ADF＝4，AC＝3OF．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠BCE，使∠BCE=∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE=2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．
ⅰ）试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；
ⅱ）若CD＝4，tan∠BCE＝，求线段FG的长．
（14分）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD=CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
2023-2024学年广东省江门市新会区广雅中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．【答案】C
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|2.3|＝1.8，|0.6|＝5.6，
又∵2＞5.3＞0.8＞0.4，
∴离原点最近的是﹣7.4，
故选：C．
2．【答案】C
【解答】解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠6＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：0.000 0025＝2.7×10﹣6，
故选：D．
4．【答案】D
【解答】解：（﹣2x2）8＝﹣8x6．
故选：D．
5．【答案】C
【解答】解：∵E是AC中点，且EF∥BC，
∴
∴AF＝BF，且AE＝CE
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∴BC＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝16．
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：∵点P（m﹣1，2m+3）在第二象限，
∴，
解不等式①得，m＜5，
解不等式②得，m＞﹣，
所以，不等式组的解集是﹣．
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：共有9+4+7+1+1+3＝18（人），60分出现的次数最多，
第9和10两个数的平均数为＝59.7，
故选：D．
8．【答案】D
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝8：2，
∴OD＝OB＝OA＝7.4，OC＝，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CE＝DE，
∴CD＝＝＝6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：D．
9．【答案】B
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
由勾股定理得，AB＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝5，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+52＝（8﹣x）5，
解得x＝3，
即CD的长为3，
∴在Rt△ACD中，
tan∠CAD＝＝＝．
故选：B．
10．【答案】A
【解答】解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+2，
∴ax2﹣3x+a+3＝ax2+（a+b）x+b，即，
解得，
∵t是关于x的方程x6+bx+a﹣b＝0的根，
∴t2﹣t﹣5＝0，
∴t3﹣4t2+1＝t（t+2）﹣2t2+8＝﹣t2+t+1＝﹣5+1＝0．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【答案】2（x﹣1）2．
【解答】解：2x2﹣6x+2＝2（x8﹣2x+1）＝4（x﹣1）2
故答案为6（x﹣1）2．
12．【答案】k＞﹣3且k≠1．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）＝4k+12＞0，
∴k＞﹣3，
∵k﹣8≠0，
∴k＞﹣3且k≠7，
故答案为：k＞﹣3且k≠1．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程化为整式方程得，x﹣1＝m
因为无解即有增根，
∴x﹣3＝2，
∴x＝3，
当x＝3时，m＝5﹣1＝2．
故答案为：＝3
14．【答案】2．
【解答】解：∵点A在反比例函数y1＝﹣（x＜0）的图象上，
设A（m，﹣），
∵AB平行于y轴，点B在反比例函数y8＝（x＜0）的图象上，
∴B（m，），
∴AB＝﹣﹣＝﹣，
∴（﹣m）•（﹣，
解得k＝2，
故答案为：2．
15．【答案】﹣9．
【解答】解：连接OD，则OD＝OB＝3，
由折叠得OB＝DB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠OBD＝60°，
∴∠OBC＝∠DBC＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝BC，
∴BC＝2OC，
在Rt△BCO中，OC7+OB2＝BC2，
∴OC5+（3）5＝4OC2，
∴OC＝3，
∴S△OBC＝S△DBC＝×7×3＝，
∵S扇形AOB＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△OBC﹣S△DBC＝﹣9．
故答案为：﹣9．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴EF＝CE，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴，
∵AE＝＝＝10，
∴
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝＝＝，
方法二、连接BF，
∵将△ABE沿AE折叠，
∴AB＝AF，BE＝EF，
∴AE垂直平分BF，
∴BO＝OF，
又∵BE＝EC，
∴AE∥CF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴sin∠ECF＝sin∠AEB＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2+﹣2﹣1
＝．
18．【答案】这座方城每面城墙的长是4里．
【解答】解：设这座方城每面城墙的长是x里，
∵点E，点D分别是城墙的中点，
∴CE＝x里x里，
由题意得：∠BEC＝∠CDA＝90°，BE∥CD，
∴∠B＝∠DCA，
∴△CEB∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝4或x＝﹣4，
∴这座方城每面城墙的长是2里．
19．【答案】甲种陈皮每千克的进货价格为400元，乙种陈皮每千克的进货价格为480元．
【解答】解：设甲种陈皮每千克的进货价格为x元，则乙种陈皮每千克的进货价格为（x+80）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是所列方程的解，
∴x+80＝400+80＝480（元）．
答：甲种陈皮每千克的进货价格为400元，乙种陈皮每千克的进货价格为480元．
20．【答案】车链横档AB的长为（42﹣42）cm．
【解答】解：过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝45°，
∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
设CF＝x cm，
∴AF＝AC﹣CF＝（42﹣x）cm，
在Rt△BCF中，BF＝CF•tan45°＝x（cm），
在Rt△ABF中，∠BAC＝60°，
∴BF＝AF•tan60°＝（42﹣x）cm，
∴x＝（42﹣x），
解得：x＝63﹣21，
∴BF＝（63﹣21）cm，
在Rt△ABF中，AB＝＝﹣42）cm，
∴车链横档AB的长为（42﹣42）cm．
21．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AF∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∵，
∴△AEF≌△DEC（ASA），
∴AF＝CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAF＝90°，
∴四边形ACDF是矩形；
（2）如图，
∵S平行四边形ABCD＝AB×AC＝18，AB＝3，
∴AC＝6，
∴，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝FD＝AC＝2，CD＝AF＝BF﹣AB＝3，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
∵AF∥CD，
∴∠CDG＝∠FBG，∠DCG＝∠BFG，
∴△CDG∽△FBG，
∴，即，
解得，
∴CG的长为．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的6个选项，a，b，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
23．【答案】（1）次函数表达式为y＝x+1；
（2）x＜﹣6或0＜x＜4．
【解答】解：（1）在y＝﹣kx+1中，令x＝0，
∴点F（2，1），
∴OF＝1，
∴AC＝8OF＝3，
∴点D（0，4），
∵A的纵坐标为3，点A在反比例函数上，
∴点A（，2），
∴S△ADF＝＝××（4﹣1）＝4，
解得m＝12，
∴点A（2，3），
将点B的纵坐标代入上式得，﹣2＝，
解得x＝﹣7，
∴B（﹣6，﹣2），
将点B的坐标代入y＝﹣kx+7得，﹣2＝6k+7，
解得k＝﹣，
∴一次函数表达式为y＝x+1；
（2）由（1）知，点A，4），﹣2），
观察函数图象知，反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x＜﹣6或5＜x＜4；
24．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵CD⊥AB，
∴∠OBC+∠BCD＝90°，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：i）线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，
理由如下：
如图5，过O作OH⊥CF于点H，
∴CF＝2CH，
∵∠FCE＝2∠ABC＝8∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，
∴∠OCH＝∠OCD，
∵OC为公共边，
∴△COH≌△COD（AAS），
∴CH＝CD，
∴CF＝2CD；
ii）∵∠BCD＝∠BCE，tan∠BCE＝，
∴tan∠BCD＝．
∵CD＝3，
∴BD＝CD•tan∠1＝2，
∴BC＝＝2，
由i）得：CF＝2CD＝8，
设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣4，
 在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD6，
∴x2＝（x﹣2）3+42，
解得：x＝3，即OB＝5，
∵OC⊥GE，
∴∠OCF+∠FCG＝90°，
∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，
∴∠GCF＝∠COB，
∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，
∴∠GFC＝∠ABC，
∴△GFC∽△CBO，
∴，
∴＝，
∴FG＝．
25．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）y＝x2﹣x+2；
（3）存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．
【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+3与x轴、C两点，
∴A（4，0），7），
由对称得∠ACD＝∠ACB，
∵B（4，2），
∴四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠ACD＝∠OAC，
∴AD＝CD；
（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝2，∠AED＝∠B＝90°，
∴CD＝AD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+52＝（4﹣m）2，
∴m＝，
∴D（，0），
设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax3+bx+c，
把B（4，2），4），7）代入得：
，
解得：．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x3﹣x+2；
（3）解：存在，
过点E作EM⊥x轴于M，
∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，
∴S△AED＝AE•DE＝，
∴×2×＝）EM，
∴EM＝，
设△PBC中BC边上的高为h，
∵S△PBC＝S△OAE，
∴×OA•EM＝，
∴××4×＝，
∴h＝5，
∵C（0，2），8），
∴点P的纵坐标为0或4，
①y＝7时，x2﹣x+3＝0，
解得：x1＝，x2＝；
②y＝4时，x2﹣x+2＝7，
解得：x3＝，x4＝（舍去），
∴存在，点P的坐标为（，0）或（．成绩（分）
60
59
58
57
56
55
得分人数（人）
9
4
2
1
1
1