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苏科版八年级数学下册举一反三系列专题8.2二元一次方程组的应用【十大题型】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册举一反三系列专题8.2二元一次方程组的应用【十大题型】(原卷版+解析)，共43页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30831" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc30831 \h 1
\l "_Tc24903" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc24903 \h 2
\l "_Tc15368" 【题型3 销售、利润问题】 PAGEREF _Tc15368 \h 3
\l "_Tc5080" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc5080 \h 4
\l "_Tc7260" 【题型5 年龄问题】 PAGEREF _Tc7260 \h 4
\l "_Tc14951" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Tc14951 \h 5
\l "_Tc17201" 【题型7 和、差、倍、分问题】 PAGEREF _Tc17201 \h 6
\l "_Tc8960" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc8960 \h 7
\l "_Tc27711" 【题型9 图表信息问题】 PAGEREF _Tc27711 \h 8
\l "_Tc4336" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Tc4336 \h 10
【题型1 行程问题】
【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为 千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
【题型2 工程问题】
【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．
（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？
（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m的值．
【题型3 销售、利润问题】
【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018年某歌手地表最强巡回演唱会于11月17日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？
【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．
（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？
（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？
【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．
(1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？
(2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？
【变式3-3】（2022·广西南宁·七年级期中）为响应国家“足球进收园”的号召，满足学校对足求的需求．某商家第一次购进了38个A类足球和20个B类足球进行销售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．
(1)求商家购进一个A类足球和一个B类足球各需多少元？
(2)若一个A类足球的售价为110元．两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利铜，则B类足球的总售价为多少元？
(3)为了回馈客户，商家决定进行打折销售，若商家第二次又以原进价购进A、B两类足球，购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，而B类足球打折销售，若第二次两类足球全部销售完毕，要使得第二次销售获得利润1688元，则B类足球是打几折销售的？
【题型4 数字问题】
【例4】（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数．
【变式4-1】（2018·福建龙岩·七年级期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
【变式4-3】（2022·全国·九年级专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36．
（1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；
（2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值．
【题型5 年龄问题】
【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【变式5-1】（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【变式5-2】（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【题型6 分配问题】
【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．
(1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？
【变式6-1】（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？
【变式6-2】（2022·全国·七年级）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图甲．（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．
①两种裁法共生产A型板材_________张，B型板材_______张；
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？
【变式6-3】（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．
(1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．
(2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？
【题型7 和、差、倍、分问题】
【例7】（2022·吉林·东北师大附中七年级阶段练习）某校七、八年级学生共600人，学校组织学生参观科技博物馆和伪皇宫的活动，参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．分别求参观科技博物馆和伪皇宫的学生的人数．
【变式7-1】（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【变式7-2】（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
【变式7-3】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98，乙种树木的单价是每棵80元，购买甲、乙两种树木的总费用是6160元．
(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？
(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了2a125，请求出a的值．
【题型8 几何问题】
【例8】（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【变式8-1】（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题：
某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【变式8-2】（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
【变式8-3】（2022·福建·南安市实验中学七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：
(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积．
【题型9 图表信息问题】
【例9】（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【变式9-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表：
（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？
（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元，问两节目各表演多少天？
【题型10 方案问题】
【例10】（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【变式10-1】（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【变式10-2】（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．
(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？
(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．
【变式10-3】（2022·湖南常德·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
主要演员（人）
次要演员（人）
总费用（元/天）
爵士舞
4
5
1300
民族舞
2
3
700
专题8.2 二元一次方程组的应用【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30831" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc30831 \h 1
\l "_Tc24903" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc24903 \h 3
\l "_Tc15368" 【题型3 销售、利润问题】 PAGEREF _Tc15368 \h 7
\l "_Tc5080" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc5080 \h 10
\l "_Tc7260" 【题型5 年龄问题】 PAGEREF _Tc7260 \h 13
\l "_Tc14951" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Tc14951 \h 15
\l "_Tc17201" 【题型7 和、差、倍、分问题】 PAGEREF _Tc17201 \h 19
\l "_Tc8960" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc8960 \h 22
\l "_Tc27711" 【题型9 图表信息问题】 PAGEREF _Tc27711 \h 25
\l "_Tc4336" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Tc4336 \h 29
【题型1 行程问题】
【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
【答案】甲每小时走4千米，乙每小时走5千米
【分析】设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，
根据题意，得0.5+2x+2y=20x+y=20−11．
整理，得2.5x+2y=20x+y=9．
解得x=4y=5．
答：甲每小时走4千米，乙每小时走5千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．
【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，
由题意，得：2.5x×4−4x=y4x+300=y，
解得：x=150y=900，
∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分；
答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
【答案】5千米
【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解．
【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，
由题意可得12x=y12−310(x+20)=y+1，
解得x=10y=5，
答：小北需要骑行5千米到达学校．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为 千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2ab+1）；（3）36.
【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需2ba+1小时到达B地，乙还需2ab+1小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+2ba+1 ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+2ab+1）小时．
故答案为：（2+2ba+1）；（2+2ab+1）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝185小时．
依题意，得： S=2(a+b)2S=185(a+1+b+1)，
令x＝a+b，则原方程变形为S=2x2S=185(x+2)，
解得：x=18S=36．
答：AB两地的距离为36千米．
【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型2 工程问题】
【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
【答案】甲、乙两组每天个各生产700、800个产品
【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又各自生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组各自生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个等量关系列方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得：
1+7x=7y300+5x+200=5y
解得：x=700y=800
答：甲、乙两组每天个各生产700、800个产品．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．
【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；
（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；
（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．
（1）
设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得：8x+8y=35206x+12y=3480，
解得：x=300y=140．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）
300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）
选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．
【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人
【分析】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；
【详解】解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．
依题意，得：{x+2y=400,2x+3y=700.
解之得：{x=200,y=100.
答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．
（2）设甲工程队最多可以调走m人．
依题意，得：
8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．
解之得：m=8．
答：甲工程队最多可以调走8人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键.
【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．
（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？
（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m的值．
【答案】（1）A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；（2）m的值为6.25．
【分析】（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，列出方程组解答即可；
（2）根据“每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%”题意列出方程解答即可．
【详解】解：（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，
则a=b+5010a+5b=3500，
解得：a=250b=200；
答：A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；
（2）设该工厂原有A、B两种机器人的数量为a台，
则A种机器人的数量为（1+2m%）a，B种机器人的数量为（1−m%）a，
每小时一台C种机器人组装250(1+15)=300个该款华为手机，
根据题意得：3001+2m%a+2001−m%a=250a+2001−m%a(1+20%)，
设m%=x，
方程整理得：300+600x+200−200x=300+240−240x，即640x=40，
解得：x=0.0625，
∴m=6.25．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程组．
【题型3 销售、利润问题】
【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018年某歌手地表最强巡回演唱会于11月17日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？
【答案】1680元，480元.
【分析】设小颖的票价为x元，小明的票价为y元，根据“小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.”找到等量关系，列出方程组，解方程组即可.
【详解】设小颖的票价为x元，小明的票价为y元，根据题意得：
x−1000+y=20010y−x=3120
解得：x=1680y=480
答：小颖和小明购买的演唱会门票分别为：1680元，480元.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确的找到等量关系是解答关键.
【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．
（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？
（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？
【答案】（1）每箱井冈蜜柚需要80元，每箱井冈板栗需要120元；（2）李先生比预计的付款少付了328元
【分析】（1）、根据“井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元，4箱井冈蜜柚和6箱井冈板栗需要1040元”列二元一次方程组，解之即可得.
（2）根据节省的钱数＝原价×数量﹣打折后的价格×数量，即可求出结论．
【详解】解：（1）设每箱井冈蜜柚需要x元，每箱井冈板栗需要y元，
依题意，得：x+y=2004x+6y=1040，
解得：x=80y=120．
答：每箱井冈蜜柚需要80元，每箱井冈板栗需要120元．
（2）200+1040﹣80×0．6×（4+1）﹣120×0．8×（6+1）＝328（元）．
答：李先生比预计的付款少付了328元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．
(1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？
(2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？
【答案】(1)玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元
(2)小瑞所带的钱还剩下31元
【分析】（1）设每支玫瑰x元，每支百合y元，利用总价=单价×数量，结合小瑞带的钱数不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出；
(2)设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元，所以列方程5x+3y=m−10①5x+5y=m+4② ，用含m的代数式解出x和y，又因为且一共只买8支玫瑰，所以剩下的钱为：m-8x即可求解；
（1）
解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元．
由题意可得5x+3y=51−10,3x+5y=51+4.
解之得x=2.5,y=9.5.
答：玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元．
（2）
解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元
所以有5x+3y=m−10①5x+5y=m+4② ，
解得：x=18m−318y=18m+258 ，
又因为且一共只买8支玫瑰，
所以剩下的钱为：m-8x=m-818m−318 =31 （元）
答：小瑞所带的钱还剩下31元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2022·广西南宁·七年级期中）为响应国家“足球进收园”的号召，满足学校对足求的需求．某商家第一次购进了38个A类足球和20个B类足球进行销售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．
(1)求商家购进一个A类足球和一个B类足球各需多少元？
(2)若一个A类足球的售价为110元．两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利铜，则B类足球的总售价为多少元？
(3)为了回馈客户，商家决定进行打折销售，若商家第二次又以原进价购进A、B两类足球，购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，而B类足球打折销售，若第二次两类足球全部销售完毕，要使得第二次销售获得利润1688元，则B类足球是打几折销售的？
【答案】(1)一个A类足球需90元，一个B类足球需108元
(2)3280
(3)八折
【分析】（1）设商家购进一个A类足球需x元，购进一个B类足球需y元，由题意：某商家第一次进了38个A类足球和20个B类足球进行出售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设B类足球的售价为m元，由题意：一个A类足球的售价为110元，两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利润，列出一元一次方程，解方程即可；
（3）B类足球是打n折销售的，由题意：购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，使得第二次销售获得利润1688元，列出一元一次方程，解方程即可．
(1)
解：设商家购进一个A类足球需x元，购进一个B类足球需y元，
由题意得：38x+20y=5580y=1.2x，
解得：x=90y=108，
答：商家购进一个A类足球需90元，购进一个B类足球需108元；
(2)
解∶ 设B类足球的售价为m元，
由题意得：（110-90）×38+（m-108）×20=1880，
解得：m=164，
则20×164=3280，
答：B类足球的总售价为3280元；
(3)
解∶设B类足球是打n折销售的，
由题意得：（110-90）×38+（164×0.1n-108）×20×2=1688，
解得：n=8，
答：B类足球是打八折销售的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键．
【题型4 数字问题】
【例4】（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数．
【答案】12
【分析】设原数个位数为a，十位数为b，然后根据“个位上的数是十位上的数的2倍”和两数的关系列方程组求出a和b，最后求出原数即可．
【详解】解：设原数个位数为a，十位数为b
则有：a=2b10a+b−9=10b+a ，解得a=2b=1
所以原数为10×1+2=12．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
【变式4-1】（2018·福建龙岩·七年级期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
【答案】m＝3，n＝5，x=11．
【分析】根据表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大ｍ得出12+2m＝18，解方程求出m的值；再由各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，得出（12+m）+3n＝30，解方程求出n的值；进而求得x的值．
【详解】∵各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，
∴12+2m＝18，
解得m＝3．
又∵各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，
∴（12+m）+3n＝30，
将m＝3代入上述方程得 15+3n＝30，
解得n＝5．
此时x＝12﹣2m+n＝12﹣2×3+5＝11．
【点睛】本题考查的是根据题意列二元一次方程组解决数学问题，根据横行和竖列的数值的变化规则，确定相等关系，列出相应的方程是解题的关键．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
【答案】原来两个加数是120和75
【分析】根据题意，设这两个加数为x和y，少写一个零就是相当于除以10，多写一个零就是相当于乘以10，列方程组求解．
【详解】解：设这两个加数为x和y，
其中一个加数后面多写一个零，和是1275，列式：10x+y=1275，
同一个加数后面少写一个零，和是87，列式：x10+y=87，
解方程组10x+y=1275x10+y=87，解得x=120y=75．
答：这两个加数是120和75．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找等量关系去列方程组求解．
【变式4-3】（2022·全国·九年级专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36．
（1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；
（2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值．
【答案】（1）见解析；（2） B 的值为68或59．
【分析】（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，其“诚勤数”为100a+20+b、“立达数”为10a+b+2，作差整理即可得；
（2）设B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），根据““立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半”列出关于a、b的方程，求解可得．
【详解】解：（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，
则A＝10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2，
∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3），
∵a为整数，
∴15a+3是整数，
则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
（2）设B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），
∴B+2＝10m+n+2，
则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10），
∴m+1+n+2﹣10=12（m+n），
整理，得m+n＝14，
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
∴m=8n=6、m=6n=8、m=9n=5、m=5n=9、m=7n=7，
经检验：77、86和95不符合题意，舍去，
∴所求两位数为68或59．
【点睛】本题主要考查了数字问题，根据题意表示出A、B两数的“立达数”、“诚勤数”及其变化是解题的关键．
【题型5 年龄问题】
【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
(1)
设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
x−4+y−13=95y−x=40．
解得：x=36y=76
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
(2)
2022−36+15=2001（年）
2022−76+15=1961（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
【变式5-1】（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得x+y=16x+2+3(y+2)=34+2
解得x=10y=6
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【变式5-2】（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
x−5=15(y−5)x+15=2(y+15)+6
解得x=35y=7
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得：{x+1+y+1=710y+10+x−1=2(10x+10+y+1) ，
解得：{x=1y=4 ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁.
【题型6 分配问题】
【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．
(1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？
【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时
(2)分配到A生产线2吨，分配到B生产线3吨
(3)m与n的关系为2m=n，当m+n=6吨时，m为2吨，n为4吨
【分析】（1）把a=b=1代入4a+1和2b+3，即可求解；
（2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线y吨，根据“把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，”列出方程组，即可求解；
（3）根据“加工时间相同，”可得42+m+1=23+n+3，从而得到2m=n，再由m+n=6，即可求解．
（1）解：当a=b=1时， 4a+1=5，2b+3=5；即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时．
（2）解∶设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线y吨，根据题意得：x+y=54x+1=2y+3，解得x=2y=3，即分配到A生产线2吨，则分配到B生产线3吨；
（3）解：根据题意得：42+m+1=23+n+3，整理得：2m=n，∵m+n=6，∴m=2，n=4，答：m与n的关系为2m=n，当m+n=6吨时，m为2吨，n为4吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式6-1】（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？
【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．
【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可．
【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，
根据题意，得x+y=156×(10x)=15y，
解这个方程组，得x=3y=12，
经检验，方程组的解符合题意．
所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键．
【变式6-2】（2022·全国·七年级）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图甲．（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．
①两种裁法共生产A型板材_________张，B型板材_______张；
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？
【答案】(1)60、40；
(2)①64，38；②最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个．
【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，求解，即可得出结论．
(1)
解：由题意得：{2a+b+10=170a+2b+30=170，
解得：{a=60b=40 ，
即图甲中a与b的值分别为60，40；
(2)
①由图示裁法一产生A型板材为：2×30=60，裁法二产生A型板材为：1×4=4，
∴两种裁法共产生A型板材为：60+4=64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30=30，裁法二产生B型板材为：2×4=8
所以两种裁法共产生B型板材为：30+8=38（张），
故答案为：64，38；
②根据题意竖式无盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，则A型板材需要(4x+3y)个，B型极材要(x+2y)个，
4x+3y=64x+2y=38．
解得：{x=145y=885，
∵x、y是自然数，
∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完，
∵x+y=1025，
∴最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
【变式6-3】（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．
(1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．
(2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？
【答案】(1)40个，60个
(2)分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板
【分析】（1）设做成的A型盒有x个，B型盒子有y个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出二元一次方程组；
（2）设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张，列出等式进行求解即可．
（1）解：设能做成的竖式纸盒有x个，横式纸盒子有y个，根据题意得：{x+2y=1604x+3y=340,解方程得{x=40y=60答：设能做成的竖式纸盒有40个，横式纸盒子有60个．
（2）解：设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张．由题意得100a3=700(78−a)7解方程得a＝18，则78－a＝60答：分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程或方程组进行求解．
【题型7 和、差、倍、分问题】
【例7】（2022·吉林·东北师大附中七年级阶段练习）某校七、八年级学生共600人，学校组织学生参观科技博物馆和伪皇宫的活动，参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．分别求参观科技博物馆和伪皇宫的学生的人数．
【答案】参观科技博物馆人数为420人，参观伪皇宫的学生人数是180人
【分析】设参观科技博物馆人数为x人，参观伪皇宫的学生人数是y人，根据学生共600人、参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．列方程组求解即可．
【详解】解：设参观科技博物馆人数为x人，参观伪皇宫的学生人数是y人，
由题意，得x+y=600x=2y+60，
解得x=420y=180，
答：参观科技博物馆人数为420人，参观伪皇宫的学生人数是180人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组），再求解．
【变式7-1】（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】港珠澳大桥的桥梁长度49km，隧道长度6km
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km，由桥梁和隧道全长共55km，得x+y=55，桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，得y=9x−5，然后列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km，根据题意得：
由题意列方程组得：x+y=55y=9x−5，
解得：x=6y=49，
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49km和6km．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
【变式7-2】（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
【答案】去年总收入为200万元，总支出为150万元
【分析】设去年总收入为x万元，总支出为y万元，根据利润=收入−支出即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设去年总收入为x万元，总支出为y万元
根据题意得：x−y=501+10%x−1−20%y=100
解得x=200y=150
答：去年总收入为200万元，总支出为150万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据利润=收入−支出列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98，乙种树木的单价是每棵80元，购买甲、乙两种树木的总费用是6160元．
(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？
(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了2a125，请求出a的值．
【答案】(1)甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了32棵
(2)a的值为5
【分析】( 1 )根据题意可得等量关系∶①甲、乙两种树木共72棵；②共用去资金6160元，根据等量关系列出方程，再解即可；
(2)用a表示出甲种树木单价，求出乙种树木单价为72元，再根据总费用比第一 次多了0，列出一元-次方程，解方程即可．
(1)
解：设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，由题意得：
x+y=7298×80x+80y=6160，
解得∶x=40y=32，
答∶甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了32棵；
(2)
解：由题意得∶甲种树木单价为98×80×(1−a50)=(90−95a) (元)，乙种树木单价为80×(1−110)=72 (元)，
由题意得∶(90−95a)×40×(1+15)+72×32×(1+a25)=6160(1+2a125)
解得∶ a=5，
答∶a的值为5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是∶ （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【题型8 几何问题】
【例8】（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【答案】小长方形的面积为135cm2．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．
【详解】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为2x+ycm或2y+3cm，
那么可得出方程组为：5x=3y2x+y=2y+3，
解得：x=9y=15，
则小长方形的面积为：9×15＝135cm2，
答：小长方形的面积为135cm2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【变式8-1】（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题：
某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【答案】每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元
【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，则根据长方形的性质可列方程组{2x=5y2(2x+x+2y)=76, 再解方程组即可得到答案．
【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米
依题意得2x=5y22x+x+2y=76
解得{x=10y=4
所以210×2x×(x+2y)=75600（元）．
答：每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据长方形的性质列出方程组是解本题的关键．
【变式8-2】（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
【答案】82
【详解】解：设小长方形长为x，宽为y。
依题意，得x+4y=22x+2y=7+3y
解此方程组，得x=10y=3
所以S阴影＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。
答：图中阴影部分的面积为82。
【变式8-3】（2022·福建·南安市实验中学七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：
(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)大正方形边长12cm，小正方形边长4 cm
(2)8513
【分析】（1）设大正方形和小正方形的边长分别是xcm和ycm，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为acm，根据题意列方程得到a=43，根据正方形的面积公式即可得到结论．
（1）
设大正方形边长x cm，小正方形边长y cm，
依题意得x+2y=20x−2y=4，
解得x=12y=4，
答：大正方形和小正方形的边长分别是12cm和4cm；
（2）
设有重叠的小正方形边长a cm，
依题意得34−a+4=12，
解得a=43，
∴阴影面积=122−4×42+3×432=8513.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
【题型9 图表信息问题】
【例9】（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得8x+16y＝14407x+15y＝1314，
解得：x=72y=54，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得，9×72+17×54×m10=1252.8，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
（1）
设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）
设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得40x+20y=1800050x+10y=42(x+y)
解得x=400y=100
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
【变式9-2】（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期中）某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
(1)求a，b的值；
(2)九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数．
【答案】(1)a的值为800，b的值为600
(2)初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生
【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可．
（2）利用九年级的捐款额5000列方程求人数．
(1)
解：由题意得：
2a+4b=40003a+3b=4200，
解得：a=800b=600，
∴a的值为800，b的值为600；
(2)
解：设初三年级学生捐助x名贫困中学生，捐助y名贫困小学生．
由题意得：800x+600y=5000，
得：4x+3y=25，
∵x、y均为非负整数，
∴x=1，y=7或x=4，y=3，
答：初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生；
或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式9-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表：
（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？
（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元，问两节目各表演多少天？
【答案】（1）主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；（2）爵士舞表演2天，民族舞表演3天
【分析】（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，根据表格中的总费用列出方程组，解之即可；
（2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，根据主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元列出方程组，解之即可．
【详解】解：（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，
由题意可得：4x+5y=13002x+3y=700，
解得：x=200y=100，
∴主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；
（2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，
由题意可得：200×4a+2b=2800100×5a+3b=1900，
解得：a=2b=3，
∴爵士舞表演2天，民族舞表演3天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程组．
【题型10 方案问题】
【例10】（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨
(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）
设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得3x+2y=905x+4y=160
解得x=20y=15．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）
设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
20m+15n=190，即m=38−3n4，
又因为m,n均为正整数，
所以m=8n=2或m=5n=6或m=2n=10，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
【变式10-1】（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
（1）
解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得：2x+3y=18003x+4y=2500 解得：x=300y=400
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）
接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴a=31−4b3．
又∵a，b均为非负整数，
∴a=9b=1或a=5b=4 或a=1b=7，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）
解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
【变式10-2】（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．
(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？
(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．
【答案】(1)3辆大货车与5辆小货车一次可以运货19吨
(2)租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车
【分析】（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入3x+5y中即可得出结论；
（2）设租a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据（1）求得的结果可列二元一次方程3a+2b=17， 然后在讨论其整数解即可．
(1)
解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：2x+3y=125x+6y=27，
解得：x=3y=2，
∴3x+5y=3×3+5×2=19（吨）．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货19吨．
(2)
设租a辆甲种货车，b辆乙种货车，依题意得：
3a+2b=17，
∵欲租用这两种货车运送，
∴a、b都是整数，
∴a=1b=7，a=3b=4，a=5b=1，
答：租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出方程组或方程．
【变式10-3】（2022·湖南常德·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子
(2)三种，见解析
【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出等式，根据a、b均为正整数，找出符合条件的值即可．
（1）
解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
5x+2y=192x+5y=16，
解得x=3y=2，
即：每头牛3两银子，每头羊2两银子；
（2）
设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
3a+2b=24，即：b=24−3a2，
∵a、b均为正整数，
∴a为2的倍数，
当a=2时，b=24−3×22=9，
当a=4时，b=24−3×42=6，
当a=6时，b=24−3×62=3，
当a为大于8的正整数时，b为负数，不合题意，
所以该方程的解为a=2b=9或a=4b=6或a=6b=3，
即：共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，9头羊；
方案二：购买4头牛，6头羊；
方案三：购买6头牛，3头羊．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确地根据题意找出等量关系列出方程求解是解题的关键．购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
捐款数额/元
资助贫困中学生人数/名
资助贫困小学生人数/名
七年级
4000
2
4
八年级
4200
3
3
九年级
5000
主要演员（人）
次要演员（人）
总费用（元/天）
爵士舞
4
5
1300
民族舞
2
3
700
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30831" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc30831 \h 1
\l "_Tc24903" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc24903 \h 2
\l "_Tc15368" 【题型3 销售、利润问题】 PAGEREF _Tc15368 \h 3
\l "_Tc5080" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc5080 \h 4
\l "_Tc7260" 【题型5 年龄问题】 PAGEREF _Tc7260 \h 4
\l "_Tc14951" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Tc14951 \h 5
\l "_Tc17201" 【题型7 和、差、倍、分问题】 PAGEREF _Tc17201 \h 6
\l "_Tc8960" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc8960 \h 7
\l "_Tc27711" 【题型9 图表信息问题】 PAGEREF _Tc27711 \h 8
\l "_Tc4336" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Tc4336 \h 10
【题型1 行程问题】
【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为 千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
【题型2 工程问题】
【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．
（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？
（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m的值．
【题型3 销售、利润问题】
【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018年某歌手地表最强巡回演唱会于11月17日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？
【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．
（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？
（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？
【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．
(1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？
(2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？
【变式3-3】（2022·广西南宁·七年级期中）为响应国家“足球进收园”的号召，满足学校对足求的需求．某商家第一次购进了38个A类足球和20个B类足球进行销售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．
(1)求商家购进一个A类足球和一个B类足球各需多少元？
(2)若一个A类足球的售价为110元．两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利铜，则B类足球的总售价为多少元？
(3)为了回馈客户，商家决定进行打折销售，若商家第二次又以原进价购进A、B两类足球，购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，而B类足球打折销售，若第二次两类足球全部销售完毕，要使得第二次销售获得利润1688元，则B类足球是打几折销售的？
【题型4 数字问题】
【例4】（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数．
【变式4-1】（2018·福建龙岩·七年级期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
【变式4-3】（2022·全国·九年级专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36．
（1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；
（2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值．
【题型5 年龄问题】
【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【变式5-1】（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【变式5-2】（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【题型6 分配问题】
【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．
(1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？
【变式6-1】（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？
【变式6-2】（2022·全国·七年级）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图甲．（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．
①两种裁法共生产A型板材_________张，B型板材_______张；
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？
【变式6-3】（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．
(1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．
(2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？
【题型7 和、差、倍、分问题】
【例7】（2022·吉林·东北师大附中七年级阶段练习）某校七、八年级学生共600人，学校组织学生参观科技博物馆和伪皇宫的活动，参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．分别求参观科技博物馆和伪皇宫的学生的人数．
【变式7-1】（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【变式7-2】（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
【变式7-3】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98，乙种树木的单价是每棵80元，购买甲、乙两种树木的总费用是6160元．
(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？
(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了2a125，请求出a的值．
【题型8 几何问题】
【例8】（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【变式8-1】（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题：
某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【变式8-2】（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
【变式8-3】（2022·福建·南安市实验中学七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：
(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积．
【题型9 图表信息问题】
【例9】（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【变式9-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表：
（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？
（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元，问两节目各表演多少天？
【题型10 方案问题】
【例10】（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【变式10-1】（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【变式10-2】（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．
(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？
(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．
【变式10-3】（2022·湖南常德·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
主要演员（人）
次要演员（人）
总费用（元/天）
爵士舞
4
5
1300
民族舞
2
3
700
专题8.2 二元一次方程组的应用【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30831" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc30831 \h 1
\l "_Tc24903" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc24903 \h 3
\l "_Tc15368" 【题型3 销售、利润问题】 PAGEREF _Tc15368 \h 7
\l "_Tc5080" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc5080 \h 10
\l "_Tc7260" 【题型5 年龄问题】 PAGEREF _Tc7260 \h 13
\l "_Tc14951" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Tc14951 \h 15
\l "_Tc17201" 【题型7 和、差、倍、分问题】 PAGEREF _Tc17201 \h 19
\l "_Tc8960" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc8960 \h 22
\l "_Tc27711" 【题型9 图表信息问题】 PAGEREF _Tc27711 \h 25
\l "_Tc4336" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Tc4336 \h 29
【题型1 行程问题】
【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
【答案】甲每小时走4千米，乙每小时走5千米
【分析】设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，
根据题意，得0.5+2x+2y=20x+y=20−11．
整理，得2.5x+2y=20x+y=9．
解得x=4y=5．
答：甲每小时走4千米，乙每小时走5千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．
【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，
由题意，得：2.5x×4−4x=y4x+300=y，
解得：x=150y=900，
∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分；
答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？
【答案】5千米
【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解．
【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，
由题意可得12x=y12−310(x+20)=y+1，
解得x=10y=5，
答：小北需要骑行5千米到达学校．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为 千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2ab+1）；（3）36.
【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需2ba+1小时到达B地，乙还需2ab+1小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+2ba+1 ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+2ab+1）小时．
故答案为：（2+2ba+1）；（2+2ab+1）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝185小时．
依题意，得： S=2(a+b)2S=185(a+1+b+1)，
令x＝a+b，则原方程变形为S=2x2S=185(x+2)，
解得：x=18S=36．
答：AB两地的距离为36千米．
【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型2 工程问题】
【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
【答案】甲、乙两组每天个各生产700、800个产品
【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又各自生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组各自生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个等量关系列方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得：
1+7x=7y300+5x+200=5y
解得：x=700y=800
答：甲、乙两组每天个各生产700、800个产品．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．
【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；
（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；
（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．
（1）
设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得：8x+8y=35206x+12y=3480，
解得：x=300y=140．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）
300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）
选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．
【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人
【分析】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；
【详解】解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．
依题意，得：{x+2y=400,2x+3y=700.
解之得：{x=200,y=100.
答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．
（2）设甲工程队最多可以调走m人．
依题意，得：
8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．
解之得：m=8．
答：甲工程队最多可以调走8人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键.
【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．
（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？
（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m的值．
【答案】（1）A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；（2）m的值为6.25．
【分析】（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，列出方程组解答即可；
（2）根据“每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%”题意列出方程解答即可．
【详解】解：（1）设A种机器人每小时组装a个该款华为手机，B种机器人每小时组装b个该款华为手机，
则a=b+5010a+5b=3500，
解得：a=250b=200；
答：A种机器人每小时组装250个该款华为手机，B种机器人每小时组装200个该款华为手机；
（2）设该工厂原有A、B两种机器人的数量为a台，
则A种机器人的数量为（1+2m%）a，B种机器人的数量为（1−m%）a，
每小时一台C种机器人组装250(1+15)=300个该款华为手机，
根据题意得：3001+2m%a+2001−m%a=250a+2001−m%a(1+20%)，
设m%=x，
方程整理得：300+600x+200−200x=300+240−240x，即640x=40，
解得：x=0.0625，
∴m=6.25．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程组．
【题型3 销售、利润问题】
【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018年某歌手地表最强巡回演唱会于11月17日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？
【答案】1680元，480元.
【分析】设小颖的票价为x元，小明的票价为y元，根据“小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.”找到等量关系，列出方程组，解方程组即可.
【详解】设小颖的票价为x元，小明的票价为y元，根据题意得：
x−1000+y=20010y−x=3120
解得：x=1680y=480
答：小颖和小明购买的演唱会门票分别为：1680元，480元.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确的找到等量关系是解答关键.
【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．
（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？
（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？
【答案】（1）每箱井冈蜜柚需要80元，每箱井冈板栗需要120元；（2）李先生比预计的付款少付了328元
【分析】（1）、根据“井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元，4箱井冈蜜柚和6箱井冈板栗需要1040元”列二元一次方程组，解之即可得.
（2）根据节省的钱数＝原价×数量﹣打折后的价格×数量，即可求出结论．
【详解】解：（1）设每箱井冈蜜柚需要x元，每箱井冈板栗需要y元，
依题意，得：x+y=2004x+6y=1040，
解得：x=80y=120．
答：每箱井冈蜜柚需要80元，每箱井冈板栗需要120元．
（2）200+1040﹣80×0．6×（4+1）﹣120×0．8×（6+1）＝328（元）．
答：李先生比预计的付款少付了328元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．
(1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？
(2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？
【答案】(1)玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元
(2)小瑞所带的钱还剩下31元
【分析】（1）设每支玫瑰x元，每支百合y元，利用总价=单价×数量，结合小瑞带的钱数不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出；
(2)设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元，所以列方程5x+3y=m−10①5x+5y=m+4② ，用含m的代数式解出x和y，又因为且一共只买8支玫瑰，所以剩下的钱为：m-8x即可求解；
（1）
解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元．
由题意可得5x+3y=51−10,3x+5y=51+4.
解之得x=2.5,y=9.5.
答：玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元．
（2）
解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元
所以有5x+3y=m−10①5x+5y=m+4② ，
解得：x=18m−318y=18m+258 ，
又因为且一共只买8支玫瑰，
所以剩下的钱为：m-8x=m-818m−318 =31 （元）
答：小瑞所带的钱还剩下31元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2022·广西南宁·七年级期中）为响应国家“足球进收园”的号召，满足学校对足求的需求．某商家第一次购进了38个A类足球和20个B类足球进行销售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．
(1)求商家购进一个A类足球和一个B类足球各需多少元？
(2)若一个A类足球的售价为110元．两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利铜，则B类足球的总售价为多少元？
(3)为了回馈客户，商家决定进行打折销售，若商家第二次又以原进价购进A、B两类足球，购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，而B类足球打折销售，若第二次两类足球全部销售完毕，要使得第二次销售获得利润1688元，则B类足球是打几折销售的？
【答案】(1)一个A类足球需90元，一个B类足球需108元
(2)3280
(3)八折
【分析】（1）设商家购进一个A类足球需x元，购进一个B类足球需y元，由题意：某商家第一次进了38个A类足球和20个B类足球进行出售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设B类足球的售价为m元，由题意：一个A类足球的售价为110元，两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利润，列出一元一次方程，解方程即可；
（3）B类足球是打n折销售的，由题意：购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，使得第二次销售获得利润1688元，列出一元一次方程，解方程即可．
(1)
解：设商家购进一个A类足球需x元，购进一个B类足球需y元，
由题意得：38x+20y=5580y=1.2x，
解得：x=90y=108，
答：商家购进一个A类足球需90元，购进一个B类足球需108元；
(2)
解∶ 设B类足球的售价为m元，
由题意得：（110-90）×38+（m-108）×20=1880，
解得：m=164，
则20×164=3280，
答：B类足球的总售价为3280元；
(3)
解∶设B类足球是打n折销售的，
由题意得：（110-90）×38+（164×0.1n-108）×20×2=1688，
解得：n=8，
答：B类足球是打八折销售的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键．
【题型4 数字问题】
【例4】（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数．
【答案】12
【分析】设原数个位数为a，十位数为b，然后根据“个位上的数是十位上的数的2倍”和两数的关系列方程组求出a和b，最后求出原数即可．
【详解】解：设原数个位数为a，十位数为b
则有：a=2b10a+b−9=10b+a ，解得a=2b=1
所以原数为10×1+2=12．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
【变式4-1】（2018·福建龙岩·七年级期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
【答案】m＝3，n＝5，x=11．
【分析】根据表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大ｍ得出12+2m＝18，解方程求出m的值；再由各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，得出（12+m）+3n＝30，解方程求出n的值；进而求得x的值．
【详解】∵各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，
∴12+2m＝18，
解得m＝3．
又∵各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，
∴（12+m）+3n＝30，
将m＝3代入上述方程得 15+3n＝30，
解得n＝5．
此时x＝12﹣2m+n＝12﹣2×3+5＝11．
【点睛】本题考查的是根据题意列二元一次方程组解决数学问题，根据横行和竖列的数值的变化规则，确定相等关系，列出相应的方程是解题的关键．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
【答案】原来两个加数是120和75
【分析】根据题意，设这两个加数为x和y，少写一个零就是相当于除以10，多写一个零就是相当于乘以10，列方程组求解．
【详解】解：设这两个加数为x和y，
其中一个加数后面多写一个零，和是1275，列式：10x+y=1275，
同一个加数后面少写一个零，和是87，列式：x10+y=87，
解方程组10x+y=1275x10+y=87，解得x=120y=75．
答：这两个加数是120和75．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找等量关系去列方程组求解．
【变式4-3】（2022·全国·九年级专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36．
（1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；
（2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值．
【答案】（1）见解析；（2） B 的值为68或59．
【分析】（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，其“诚勤数”为100a+20+b、“立达数”为10a+b+2，作差整理即可得；
（2）设B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），根据““立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半”列出关于a、b的方程，求解可得．
【详解】解：（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，
则A＝10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2，
∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3），
∵a为整数，
∴15a+3是整数，
则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
（2）设B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），
∴B+2＝10m+n+2，
则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10），
∴m+1+n+2﹣10=12（m+n），
整理，得m+n＝14，
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
∴m=8n=6、m=6n=8、m=9n=5、m=5n=9、m=7n=7，
经检验：77、86和95不符合题意，舍去，
∴所求两位数为68或59．
【点睛】本题主要考查了数字问题，根据题意表示出A、B两数的“立达数”、“诚勤数”及其变化是解题的关键．
【题型5 年龄问题】
【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
(1)
设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
x−4+y−13=95y−x=40．
解得：x=36y=76
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
(2)
2022−36+15=2001（年）
2022−76+15=1961（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
【变式5-1】（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得x+y=16x+2+3(y+2)=34+2
解得x=10y=6
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【变式5-2】（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
x−5=15(y−5)x+15=2(y+15)+6
解得x=35y=7
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得：{x+1+y+1=710y+10+x−1=2(10x+10+y+1) ，
解得：{x=1y=4 ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁.
【题型6 分配问题】
【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．
(1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？
【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时
(2)分配到A生产线2吨，分配到B生产线3吨
(3)m与n的关系为2m=n，当m+n=6吨时，m为2吨，n为4吨
【分析】（1）把a=b=1代入4a+1和2b+3，即可求解；
（2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线y吨，根据“把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，”列出方程组，即可求解；
（3）根据“加工时间相同，”可得42+m+1=23+n+3，从而得到2m=n，再由m+n=6，即可求解．
（1）解：当a=b=1时， 4a+1=5，2b+3=5；即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时．
（2）解∶设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线y吨，根据题意得：x+y=54x+1=2y+3，解得x=2y=3，即分配到A生产线2吨，则分配到B生产线3吨；
（3）解：根据题意得：42+m+1=23+n+3，整理得：2m=n，∵m+n=6，∴m=2，n=4，答：m与n的关系为2m=n，当m+n=6吨时，m为2吨，n为4吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式6-1】（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？
【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．
【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可．
【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，
根据题意，得x+y=156×(10x)=15y，
解这个方程组，得x=3y=12，
经检验，方程组的解符合题意．
所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键．
【变式6-2】（2022·全国·七年级）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图甲．（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．
①两种裁法共生产A型板材_________张，B型板材_______张；
②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？
【答案】(1)60、40；
(2)①64，38；②最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个．
【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，求解，即可得出结论．
(1)
解：由题意得：{2a+b+10=170a+2b+30=170，
解得：{a=60b=40 ，
即图甲中a与b的值分别为60，40；
(2)
①由图示裁法一产生A型板材为：2×30=60，裁法二产生A型板材为：1×4=4，
∴两种裁法共产生A型板材为：60+4=64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30=30，裁法二产生B型板材为：2×4=8
所以两种裁法共产生B型板材为：30+8=38（张），
故答案为：64，38；
②根据题意竖式无盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，则A型板材需要(4x+3y)个，B型极材要(x+2y)个，
4x+3y=64x+2y=38．
解得：{x=145y=885，
∵x、y是自然数，
∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完，
∵x+y=1025，
∴最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
【变式6-3】（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．
(1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．
(2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？
【答案】(1)40个，60个
(2)分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板
【分析】（1）设做成的A型盒有x个，B型盒子有y个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出二元一次方程组；
（2）设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张，列出等式进行求解即可．
（1）解：设能做成的竖式纸盒有x个，横式纸盒子有y个，根据题意得：{x+2y=1604x+3y=340,解方程得{x=40y=60答：设能做成的竖式纸盒有40个，横式纸盒子有60个．
（2）解：设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张．由题意得100a3=700(78−a)7解方程得a＝18，则78－a＝60答：分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程或方程组进行求解．
【题型7 和、差、倍、分问题】
【例7】（2022·吉林·东北师大附中七年级阶段练习）某校七、八年级学生共600人，学校组织学生参观科技博物馆和伪皇宫的活动，参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．分别求参观科技博物馆和伪皇宫的学生的人数．
【答案】参观科技博物馆人数为420人，参观伪皇宫的学生人数是180人
【分析】设参观科技博物馆人数为x人，参观伪皇宫的学生人数是y人，根据学生共600人、参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．列方程组求解即可．
【详解】解：设参观科技博物馆人数为x人，参观伪皇宫的学生人数是y人，
由题意，得x+y=600x=2y+60，
解得x=420y=180，
答：参观科技博物馆人数为420人，参观伪皇宫的学生人数是180人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组），再求解．
【变式7-1】（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】港珠澳大桥的桥梁长度49km，隧道长度6km
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km，由桥梁和隧道全长共55km，得x+y=55，桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，得y=9x−5，然后列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km，根据题意得：
由题意列方程组得：x+y=55y=9x−5，
解得：x=6y=49，
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49km和6km．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
【变式7-2】（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
【答案】去年总收入为200万元，总支出为150万元
【分析】设去年总收入为x万元，总支出为y万元，根据利润=收入−支出即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设去年总收入为x万元，总支出为y万元
根据题意得：x−y=501+10%x−1−20%y=100
解得x=200y=150
答：去年总收入为200万元，总支出为150万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据利润=收入−支出列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98，乙种树木的单价是每棵80元，购买甲、乙两种树木的总费用是6160元．
(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？
(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了2a125，请求出a的值．
【答案】(1)甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了32棵
(2)a的值为5
【分析】( 1 )根据题意可得等量关系∶①甲、乙两种树木共72棵；②共用去资金6160元，根据等量关系列出方程，再解即可；
(2)用a表示出甲种树木单价，求出乙种树木单价为72元，再根据总费用比第一 次多了0，列出一元-次方程，解方程即可．
(1)
解：设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，由题意得：
x+y=7298×80x+80y=6160，
解得∶x=40y=32，
答∶甲种树木购买了40棵，乙种树木购买了32棵；
(2)
解：由题意得∶甲种树木单价为98×80×(1−a50)=(90−95a) (元)，乙种树木单价为80×(1−110)=72 (元)，
由题意得∶(90−95a)×40×(1+15)+72×32×(1+a25)=6160(1+2a125)
解得∶ a=5，
答∶a的值为5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是∶ （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【题型8 几何问题】
【例8】（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【答案】小长方形的面积为135cm2．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．
【详解】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为2x+ycm或2y+3cm，
那么可得出方程组为：5x=3y2x+y=2y+3，
解得：x=9y=15，
则小长方形的面积为：9×15＝135cm2，
答：小长方形的面积为135cm2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【变式8-1】（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题：
某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【答案】每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元
【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，则根据长方形的性质可列方程组{2x=5y2(2x+x+2y)=76, 再解方程组即可得到答案．
【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米
依题意得2x=5y22x+x+2y=76
解得{x=10y=4
所以210×2x×(x+2y)=75600（元）．
答：每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据长方形的性质列出方程组是解本题的关键．
【变式8-2】（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
【答案】82
【详解】解：设小长方形长为x，宽为y。
依题意，得x+4y=22x+2y=7+3y
解此方程组，得x=10y=3
所以S阴影＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。
答：图中阴影部分的面积为82。
【变式8-3】（2022·福建·南安市实验中学七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：
(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)大正方形边长12cm，小正方形边长4 cm
(2)8513
【分析】（1）设大正方形和小正方形的边长分别是xcm和ycm，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为acm，根据题意列方程得到a=43，根据正方形的面积公式即可得到结论．
（1）
设大正方形边长x cm，小正方形边长y cm，
依题意得x+2y=20x−2y=4，
解得x=12y=4，
答：大正方形和小正方形的边长分别是12cm和4cm；
（2）
设有重叠的小正方形边长a cm，
依题意得34−a+4=12，
解得a=43，
∴阴影面积=122−4×42+3×432=8513.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
【题型9 图表信息问题】
【例9】（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得8x+16y＝14407x+15y＝1314，
解得：x=72y=54，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得，9×72+17×54×m10=1252.8，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
（1）
设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）
设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得40x+20y=1800050x+10y=42(x+y)
解得x=400y=100
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
【变式9-2】（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期中）某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
(1)求a，b的值；
(2)九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数．
【答案】(1)a的值为800，b的值为600
(2)初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生
【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可．
（2）利用九年级的捐款额5000列方程求人数．
(1)
解：由题意得：
2a+4b=40003a+3b=4200，
解得：a=800b=600，
∴a的值为800，b的值为600；
(2)
解：设初三年级学生捐助x名贫困中学生，捐助y名贫困小学生．
由题意得：800x+600y=5000，
得：4x+3y=25，
∵x、y均为非负整数，
∴x=1，y=7或x=4，y=3，
答：初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生；
或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式9-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表：
（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？
（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元，问两节目各表演多少天？
【答案】（1）主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；（2）爵士舞表演2天，民族舞表演3天
【分析】（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，根据表格中的总费用列出方程组，解之即可；
（2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，根据主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元列出方程组，解之即可．
【详解】解：（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，
由题意可得：4x+5y=13002x+3y=700，
解得：x=200y=100，
∴主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；
（2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，
由题意可得：200×4a+2b=2800100×5a+3b=1900，
解得：a=2b=3，
∴爵士舞表演2天，民族舞表演3天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程组．
【题型10 方案问题】
【例10】（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨
(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）
设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得3x+2y=905x+4y=160
解得x=20y=15．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）
设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
20m+15n=190，即m=38−3n4，
又因为m,n均为正整数，
所以m=8n=2或m=5n=6或m=2n=10，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
【变式10-1】（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
（1）
解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得：2x+3y=18003x+4y=2500 解得：x=300y=400
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）
接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴a=31−4b3．
又∵a，b均为非负整数，
∴a=9b=1或a=5b=4 或a=1b=7，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）
解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
【变式10-2】（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．
(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？
(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．
【答案】(1)3辆大货车与5辆小货车一次可以运货19吨
(2)租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车
【分析】（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入3x+5y中即可得出结论；
（2）设租a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据（1）求得的结果可列二元一次方程3a+2b=17， 然后在讨论其整数解即可．
(1)
解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：2x+3y=125x+6y=27，
解得：x=3y=2，
∴3x+5y=3×3+5×2=19（吨）．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货19吨．
(2)
设租a辆甲种货车，b辆乙种货车，依题意得：
3a+2b=17，
∵欲租用这两种货车运送，
∴a、b都是整数，
∴a=1b=7，a=3b=4，a=5b=1，
答：租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出方程组或方程．
【变式10-3】（2022·湖南常德·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子
(2)三种，见解析
【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出等式，根据a、b均为正整数，找出符合条件的值即可．
（1）
解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
5x+2y=192x+5y=16，
解得x=3y=2，
即：每头牛3两银子，每头羊2两银子；
（2）
设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
3a+2b=24，即：b=24−3a2，
∵a、b均为正整数，
∴a为2的倍数，
当a=2时，b=24−3×22=9，
当a=4时，b=24−3×42=6，
当a=6时，b=24−3×62=3，
当a为大于8的正整数时，b为负数，不合题意，
所以该方程的解为a=2b=9或a=4b=6或a=6b=3，
即：共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，9头羊；
方案二：购买4头牛，6头羊；
方案三：购买6头牛，3头羊．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确地根据题意找出等量关系列出方程求解是解题的关键．购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
捐款数额/元
资助贫困中学生人数/名
资助贫困小学生人数/名
七年级
4000
2
4
八年级
4200
3
3
九年级
5000
主要演员（人）
次要演员（人）
总费用（元/天）
爵士舞
4
5
1300
民族舞
2
3
700
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