2023-2024学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点(1,1)，且方向向量为v=(1,2)的直线方程是( )
A. 2x−y−1=0B. 2x+y−3=0C. x−2y+1=0D. x+2y−3=0
2.若Δx→0limf(x0+mΔx)−f(x0)Δx=1(m为常数)，则f′(x0)=( )
A. −mB. 1C. mD. 1m
3.关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于y=x对称D. 关于原点中心对称
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为( )
A. 45
B. 35
C. 56
D. 67
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线 3x−y+10086=0的倾斜角为______.
6.椭圆x225+y29=1的长轴的长为______.
7.抛物线x2=2py的准线方程为y=−2，则抛物线的标准方程是______.
8.函数y=e2x−1+x2的导函数为______.
9.若方程x2+y2−4x+6y+1+a=0表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是______.
10.已知直线l1：ax+2y+3=0与直线l2：2x+ay+a+1=0平行，则a=______.
11.若方程x25−m+y2m−3=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是______.
12.在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=π4(ρ∈R)的距离是______.
13.直线x=−ty=1+2t(t为参数，t∈R)和曲线C:x= 2csθy= 6sinθ(θ为参数，θ∈R)交于P、Q两点，则|PQ|=______.
14.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆x29+y2=1上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为______.
15.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(−a,0)、F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线C.已知点P(x0,y0)是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______.(填上你认为所有正确的序号)
①双纽线C关于原点O中心对称；
②双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有两个；
③−a2≤y0≤a2；
④|PO|的最大值为 2a.
16.已知双曲线x264−y257=1左右焦点分别为F1，F2，点P为右支上一动点，圆M与F1P的延长线、F1F2的延长线和线段F2P都相切，则PM⋅PF2|PF2|=______.
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
已知圆C经过点A(2,3)和B(−2,−5)，且圆心在直线l：x−2y−3=0上，求圆C的方程.
18.(本小题9分)
已知抛物线C的方程为y2=4x，求过点(0,2)且与抛物线C只有一个公共点的直线方程.
19.(本小题10分)
设F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，且|AF1|=3|BF1|.
(1)若|AB|=4，且△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cs∠AF2B=35，求椭圆的离心率.
20.(本小题10分)
设函数f(x)=ax−bx，函数f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为4x−3y−6=0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
21.(本小题10分)
已知直线x+y+ 3=0与椭圆E：x2a2+y2=1有且只有一个公共点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形ABCD的面积，求S的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查用点斜式求出直线的方程，属于基础题．
由题意求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程．
【解答】
解：由于直线的方向向量为v=(1,2)，故直线的斜率为21=2，
故直线的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0，
故选：A.
2.【答案】D
【解析】解：Δx→0limf(x0+mΔx)−f(x0)Δx=mΔx→0limf(x0+mΔx)−f(x0)mΔx=mf′(x0)=1，
∴f′(x0)=1m.
故选：D.
根据极限的运算和导数的定义即可得解．
本题考查了导数的定义和极限的运算，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，将方程中y换为−y，则有x2+x(−y)+2(−y)2=4，
则x2−xy+2y2=4，与原方程不同，所以方程x2+xy+2y2=4不关于x轴对称；所以A不正确；
对于B，将方程中x换为−x，则有(−x)2+(−x)y+2y2=4，
则x2−xy+2y2=4，与原方程不同，所以方程x2+xy+2y2=4不关于y轴对称；所以B不正确；
对于C，将方程中x换为y，y换为x，则有y2+yx+2x2=4，
与原方程不相同，所以方程x2+xy+2y2=4不关于y=x轴对称；所以C不正确；
对于D，将方程中x换为−x，y换为−y，则有(−x)2+(−x)(−y)+2y2=4，
则x2+xy+2y2=4，与原方程相同，所以方程x2+xy+2y2=4关于原点中心对称．所以D正确．
故选：D.
根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案．
本题考查曲线方程的应用，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：设EF交OB于N，
以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为x轴建立如图所示坐标系，
因为圆锥的高|PO|=|O′N|=2，M是PB中点，且截面垂直于底面，
所以|MN|=12|PO|=1，所以M(1,0)，
又因为底面圆半径|OB|=4，
所以|ON|=12|OB|=2,|EN|= |OE|2−|ON|2=2 3，所以E(2,2 3)，
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，
将M(1,0),E(2,2 3)，代入解得a=1b=2，
则双曲线的两条渐近线方程为y=±bax=±2x，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为|2×21−22|=43，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为 1(43)2+1=35.
故选：B.
以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为x轴建立坐标系，求出M，E坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求余弦值即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
5.【答案】π3
【解析】解：直线 3x−y+10086=0的斜率为 3，
直线倾斜角的范围为[0,π]，
则所求倾斜角为π3.
故答案为：π3.
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
6.【答案】10
【解析】解∵x225+y29=1，∴a=5，
∴长轴的长2a=10.
故答案为：10.
利用椭圆方程即可得到结果．
本题考查椭圆性质的应用，属于基础题．
7.【答案】x2=8y
【解析】解：根据题意，抛物线x2=2py的准线方程y=−p2，
若抛物线x2=2py的准线方程为y=−2，则−p2=−2，解可得p=4，
则抛物线的标准方程是x2=8y.
故答案为：x2=8y.
根据题意，分析可得抛物线x2=2py的准线方程y=−p2，由此可得关于p的方程，解可得p的值，即可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线的几何性质，属于基础题．
8.【答案】2e2x−1+2x
【解析】解：y′=2e2x−1+2x.
故答案为：2e2x−1+2x.
根据复合函数的求导法则即可得．
本题考查复合函数的导数，属于基础题．
9.【答案】(−∞,12)
【解析】解：因为方程x2+y2−4x+6y+1+a=0表示的曲线是一个圆，
所以有(−4)2+62−4(1+a)>0，解得a0，解不等式即可解得实数a的取值范围．
本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
10.【答案】−2
【解析】解：∵直线l1：ax+2y+3=0与直线l2：2x+ay+a+1=0平行，
∴a2=2×2a(a+1)≠3×2，解得a=−2.
故答案为：−2.
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
11.【答案】(−∞,3)
【解析】解：由题意可得，5−m>0m−30，
解得− 61，
此时4(t2+1)2(t2+2)(2t2+1)=4m2(m+1)(2m−1)=4×m22t2+t−1
=4×12+1m−1m2=4×1−(1m−12)2+2+14，
因为m>1，
所以0