专题2.2 与三角形相关的范围问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题2.2 与三角形相关的范围问题
一．方法综述
与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解．
二．解题策略
类型一 转化为函数（三角函数或二次函数）解决
【例1】（2020·湖北高考模拟）已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵锐角外接圆的半径为2，，
∴即，∴，又为锐角，∴，
由正弦定理得，
∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝
∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2+24sin（B）+2，
∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．故选B．
【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值.
【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．
【答案】
【解析】【分析】设，，，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到 ，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值．
【详解】在中，设，，
在中，，，由余弦定理，可得，
由，当且仅当时取等号，即有，由于 则，
利用余弦定理可得：，化简得：，
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则 ，
在中，由正弦定理可得：，即：，则，
由于
，即
所以的面积


当时，取最大值1，所以的面积的最大值为
【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出，再证明，再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解.
【详解】由题得，
由基本不等式得
又因为，所以
所以,
所以，
所以，
.此时，故答案为1
【举一反三】
1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，
，，则周长的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
所以的周长为，
又，，，∴．故选B．
2.（2020河南省焦作市高三）如图所示，点M，N分别在菱形ABCD的边AD，CD上，AB=2，∠ABC=43∠MBN=2π3，则ΔBMN的面积的最小值为______．
【答案】12−63
【解析】
在菱形ABCD中，∠ABC=43∠MBN=2π3，所以∠MBN=π2，在ΔMAB中，∠MAB=π3，设∠MBA=α,α∈0,π6,则∠AMB=2π3−α,且AB=2，由正弦定理ABsin∠AMB=MBsinπ3得MB=3sin2π3-α ，在ΔNBC中，∠NBC=π6−α ,则∠BNC=π2+α,由正弦定理BNsinπ3=BCsinπ2+α ，得BN=3sinπ2+α=3csα ，在RTΔMBN中，
SΔMBN=12BM·BN=12×3×3sin2π3-αcsα =32132cs2α+12sinαcsα=321341+cs2α+14sin2α =31sin2α+π3+32
因为α∈0,π6，所以2α+π3∈π3，2π3，即sin2α+π3 ∈32,1 ，所以sin2α+π3+32 ∈3,1+32，所以SΔBMN∈12−63,3
故答案为：12−63
3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：由,,可知为直角三角形，设设∠BAD=，则，，从而，求二次函数的最值即可.
详解：
由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=，AB=2r，则，，
在中，，即，
∴，
∴
令t=，则
当，即时，的最大值为
类型二 结合不等式（基本不等式）求解问题
【例1】（2020·安徽高考模拟）在中，内角，，的对应边分别为，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为，由余弦定理及基本不等式可得，
，
所以，当且仅当：：=﹕：时等号成立，所以的最大值是.又因为，所以，所以，所以的最大值为．
【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出；根据，结合两角和差正切公式可得到；利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出，从而利用基本不等式求解出最小值.
【详解】由正弦定理可得：
得：
，即
又
令，得：
为锐角三角形
得：，即
当且仅当，即时取等号
【例3】（2020湘赣十四校联考）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且30λcs(B+C)+9cs2A+16λ2+5≤0恒成立，则λ的取值范围是
【答案】78,528
【解析】 ⇒2a2−bccsA=b2 ⇒csA=2a2−b22bc
又csA=b2+c2−a22bc ⇒b2+c2−a22bc=2a2−b22bc ⇒a2=2b2+c23
∴csA=4b2+2c23−b22bc=b2+2c26bc
又，当且仅当b=2c时取等号
∴csA≥23 ⇒csA∈23,1
30λcsB+C+9cs2A+16λ2+5≤0 ⇒−30λcsA+92cs2A−1+16λ2+5≤0
⇒18cs2A−30λcsA+16λ2−4≤0
设，即当x∈23,1时，18x2−30λx+16λ2−4≤0恒成立
设fx=18x2−30λx+16λ2−4
则可知Δ=(30λ)2−4×1816λ2−4≥0f23=18×29−30λ×23+16λ2−4≤0f1=18−30λ+16λ2−4≤0 ⇒λ2≤870≤λ≤52878≤λ≤1
可得：λ∈78,528
【举一反三】
1、（2019江西省上饶）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB−bcsA=12c，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为（ ）
A．π2 B．π6 C．π3 D．π4
【答案】A
【解析】由正弦定理得sinAcsB−csAsinB=12sinC=12sinB+A，化简得tanA=3tanB.tanA−B=tanA−tanB1+tanA⋅tanB=2tanB1+3tan2B =21tanB+3tanB≤221tanB⋅3tanB=33，当且仅当1tanB=3tanB时等号成立，由于A>B故B为锐角，故tanB=33,tanA=3，所以A=π3,B=π6,C=π3.故选A.
2、（2019安徽省六安市模拟）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a−cb=csCcsB，b=4，则ΔABC的面积的最大值为（ ）
A．43B．23C．2D．3
【答案】A
【解析】∵在△ABC中，2a−cb=csCcsB，，
∴，
∴，
约掉可得＝12，即B＝π3，
由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accsB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac≤43故选：A．
3．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.
所以的最大值为,故填
点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点
三．强化训练
1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2asinC=3c，a=1，则ΔABC周长的最大值为（ ）
A．3+1 B．2+1 C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意，由正弦定理得，即sinA=32，由于三角形为锐角三角形，故A=π3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，故三角形的周长为1+23sinB+23sinC =1+23sinB+23sin2π3−B =1+2sinB+π6，故当B=π3，即三角式为等边三角形时，
取得最大值为1+2=3，故选C.
2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a=4，，则ΔABC面积的最大值是 （ ）
A．43 B．23 C．83 D．4
【答案】A
【解析】由题意可知，由正弦定理得，
又由在ΔABC中，sinB>0，即，即tanA=3，
因为0在ΔABC中，由余弦定理可知a2=b2+c2−2bccsA，且a=4，
即，当且仅当b=c时，等号成立，
即bc≤16，所以ΔABC的最大面积为S=12bcsinA=12×16sinπ3=43，故选A.
3．（2020·山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若，
，,
， ，
,由正弦定理得，即
，则b的取值范围为,故选C.
4．（2019·安徽高考模拟）已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：
因为：，所以，
在三角形ADC中，，
在三角形BDC中，，
，，
．设 结合二次函数的性质得到：．
5．（2020·安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.又，
∴，
∴.
又∵在锐角中, ,∴，当且仅当时取等号，∴，故选A.
6、（2020山西省高考模拟）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若△ABC的面积为34(a2+c2−b2)，周长为6，则b的最小值是（ ）
A．2B．3C．3D．433
【答案】A
【解析】因为△ABC的面积为34a2+c2−b2，所以12acsinB=34a2+b2−c2
整理得sinB=3a2+c2−b22ac，即，tanB=3 ，
因为0又因为周长为6，所以a+b+c=6 ，即a+c=6−b
b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac
=a+c2−3ac≥a+c2−3a+c22=14a+c2=146−b2
所以b2+4b−12≥0 ，b≥2 ，所以b的最小值是2，故选A
7、（2020陕西省汉中市质检）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若角A,B,C成等差数列，且直线ax+cy=4平分圆x2+y2−2x−2y−3=0的周长，则ΔABC面积的最大值为（ ）
A．3−3 B．2 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为角A,B,C成等差数列,所以B=π3，又直线ax+cy=4平分圆x2+y2−2x−2y−3=0的周长，所以直线过圆心(1,1)，即a+c=4，三角形面积S=12acsinB=34ac，根据均值不等式ac≤(a+c2)2=4，当且仅当a=c=2时等号成立，可知ΔABC面积的最大值为S=34×4=3，故选D.
8.（2020湖南省湘潭市模拟）a,b,c分别为锐角ΔABC内角A,B,C的对边，函数f(x)=x2+c2−a2−ab有唯一零点，则ba的取值范围是（ ）
A．(1,3)B．(32,2)C．(32,3)D．(1,2)
【答案】D
【解析】由题意，函数f(x)为偶函数且有唯一零点，则f(0)=0，所以c2=a2+ab.
由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC=a2+ab，整理得b2−2abcsC=ab，
即b−2acsC=a，所以ba=1+2csC，
由正弦定理，得，即，
所以，所以，
所以C−A=A或C−A+A=π（舍），故C=2A，
结合锐角ΔABC，3A+B=π，则0<π−3A<π2，0<2A<π2，所以π6由ba=1+2csC，又因为π3即ba的取值范围是(1,2)，故选D.
9．（2020·山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y＝x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．
【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．
则直线l方程为，即，
可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，
在△OAB中，，
当且仅当2＝2时取等号．
由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，
则△OAB外接圆面积，故选：C．
10．（2019·湖北高考模拟）在锐角中，角，，对应的边分别是、、，向量，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为△ABC是锐角三角形，所以
由正弦定理，可得：
本题选择B选项.
11．（2020·山西高考模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且，的面积为，则周长的最小值为______.
【答案】6
【解析】由，
得，即，
因为，所以，所以，
所以.由，得，（当且仅当时，“”成立），则，可得，故.
12．（2020·甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角中，，则的取值范围是
【答案】
【解析】在锐角中，，由正弦定理可得，
===
在锐角中有，，可求得
结合余弦函数的图像与性质可得．
13．（2020·广东高考模拟）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
14．（2020·湖南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出的范围.
【详解】
又
又，当且仅当时取等号


设，即当时，恒成立
设
则可知 ，可得：
15．（2020·湖北高考模拟）已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是
【答案】
【解析】在中，由，，，则，
要使得三角形有两个，则满足，即，
解得，即实数的取值范围是.
16．（2020·河南高考模拟）在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知得到，再由余弦定理得，再利用函数在上单调递增求出的取值范围.
【详解】因为，，所以，
即，所以，从而，
则，
因为，
所以当时，；当时，，
又在上单调递增，故的取值范围为.
17．（2020·江苏高考模拟）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
【答案】
【解析】【分析】先根据，，成等差数列求出再求出再得到，最后利用基本不等式求其最小值.
【详解】由题得,
所以,
所以
因为
所以
故答案为
18．（2020·湖南高考模拟）在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若c=2b，ΔABC的面积为1，则a的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．
【详解】设A=θ，则：a2=b2+c2−2bccsθ=b2+4b2−4b2csθ=(5−4csθ)b2
由于S△ABC=12⋅2b⋅b⋅sinθ=b2sinθ=1，
所以：b2=1sinθ．则：a2=5−4csθsinθ，
设y=5−4csθsinθ，所以：y'=4sin2θ−csθ(5−4csθ)sin2θ=4−5csθsin2θ，
因为当csθ<45时，y'<0，当csθ>45时，y'>0，
所以当4−5csθ=0时，y的最小值为3，故a的最小值为3。