专题8.1 与数学文化相关的数学考题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

这是一份专题8.1 与数学文化相关的数学考题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲，文件包含专题81与数学文化相关的数学考题原卷版docx、专题81与数学文化相关的数学考题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题8.1 与数学文化相关的数学考题
【方法综述】
关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，特别是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，并出现了众多的经典试题，因而有必要将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.
【解答策略】
类型一、取材数学游戏
游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念.
【例1】（2020•绵阳模拟）小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择
手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游
戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【举一反三】
1．（2020•天河区二模）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每
局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概
率为（ ）
A．B．C．D．
2、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .
类型二、取材数学名著
如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养.
【例2】（2020•邵阳一模）赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股
圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽．“赵爽弦图”是以弦为边长得到的
正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可类似地构造如
图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形设DF＝2AF＝2，
若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2020•天河区一模）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上
是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表
示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个
数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【举一反三】
1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2．（2020•达州模拟）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图一图二是斗拱实物
图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长
方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹橹的体积为4300cm3，那
么这个斗的体积是（ ）
注：台体体积公式是V＝（S'++S）h．
A．5700cm3B．8100cm3C．10000cm3D．9000cm3
类型三、取材数学名题
数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.
【例4】（2020•郴州一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交
河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先
到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，
若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到
军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【例5】（2020南昌一模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )
A．4072B．2026C．4096D．2048
【举一反三】
1．（2020•岳阳一模）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”
是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足＝t（t＞0且t≠1）为常数，则P
点的轨迹为圆．已知圆O：x2+y2＝1和，若定点B（b，0）（b≠﹣）和常数λ满足：对圆O
上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝ 2 ，△MAB面积的最大值为 ．
2.(2020广西桂林市高三调研)2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列{1n2}的各项的和S=1+122+132+⋯+1n2+⋯，那么下列结论正确的是（ ）
A．12
类型四、取材数学推理
数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法.
【例6】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【举一反三】
1.（2019•葫芦岛二模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开
为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”．在某种玩法中，
用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{an}满足a1＝1，且an＝，
则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．7B．10C．12D．22
2.（2020江门模拟）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（ ）
A．9B．16C．18D．20
类型五、取材数学图形
【例7】一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.
【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，直角三角形较小的锐角为α，则sin2α=（ ）
A．125B．725C．1225D．2425
【举一反三】
1．（2020•佛山一模）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个
正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形
中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形
为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，27立方寸=1升，则商鞅铜方升的容积约为（ ）
A．0.456升B．0.467升C．0.486升D．0.487升
类型六、取材数学文化与现代科学：
数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息.
【例8】（2020•永州二模）北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，
给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，
用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是
四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管
的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余
弦值是（保温带厚度忽略不计）（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】
1.（2020沧州市模拟）中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为a1，衡间距为d2，则次二衡直径为a2=a1+d，次三衡直径为a1+2d，…，执行如下程序框图，则输出的Ti中最大的一个数为（ ）
A．T1B．T2C．T3D．T4
2.（2020漳州模拟）习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为45∘，他沿着倾斜角为10∘的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为55∘，则山高BD约为______米.（结果精确到个位，A,B,C,D在同一铅垂面）.参考数据：1sin10∘≈5.76.
【强化训练】
一、选择题
1．（2020洛阳模拟）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何.其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是（ ）
A．且x=57B．且x=207
C．2y=x+z且x=57D．2y=x+z且x=207
2．（2020•九江一模）半正多面体（semiregularslid）亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相
同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱
锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三
角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为，则该二十四等
边体外接球的表面积为（ ）
A．4πB．6πC．8πD．12π
3．（2020•重庆模拟）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完
美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ）
A．12B．44C．58D．76
4．（2020沧州市高考模拟）中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为a1，衡间距为d2，则次二衡直径为a2=a1+d，次三衡直径为a1+2d，…，执行如下程序框图，则输出的Ti中最大的一个数为（ ）
A．T1B．T2C．T3D．T4
5．（2020•九江一模）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中记载一种
起卦方法称为“大衍筮法”，其做法为：从50根蓍草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太
极．将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份
中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间．将49根里除中间之外的蓍草合在一起，
为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻．若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根
蓍草的概率为（ ）
A．B．C．D．
6.我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ）
A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升
7．（2020铜陵一模） “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100−200910n万元，则n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．（2020黄山质检）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=4，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A．23B．34C．33D．24
9.（2020哈尔滨模拟）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk(k∈N)是函数零点近似解的初始值，过点Pk(xk,f(xk))的切线为y=f'(xk)(x−xk)+f(xk)，切线与x轴交点的横坐标xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f(x)=x2−2，满足x0=2应用上述方法，则x3=（ ）
A．32B．1712C．141100D．577408
10．（2020东北师大附中模拟）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，则（ ）
A．AD=213AC+913ABB．AD=29AC+127AB
C．AD=313AC+613ABD．AD=313AC+913AB
11．（2020济南市模拟）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C:y=x2，直线l为曲线C在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体：

① ② ③ ④
图①是底面直径和高均为1的圆锥；
图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；
图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
12．（2020吕梁市高考模拟）孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为V1,V2,V3，则（ ）
A．V2二、填空题
13.（2020大连模拟）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
（Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个.
14.（2020福建模拟）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xOy平面内，若函数f(x)=1−x2,x∈[−1,0)1−x,x∈[0,1]的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为__________．
15．（2020杭州地区高三）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．
16．（2020长沙市长郡中学一模）太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组x2+y2≤4x≤0x2+y+12≥1或x2+y−12≤1来表示，设x,y是阴影中任意一点，则z=2x+y的最大值为___________.
17．（2020南通市通州区高三）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．
18．（2020•黄山一模）裴波那契数列（Fibnaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波
那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}
满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是
19．（2020•北碚区模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问
题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满
足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC
中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为
20．（2020 •东城区高三期末）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭
圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，
使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：
①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距O1O2＝4，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2；
③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是（ ）