专题8.2 创新型问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题8.2 创新型问题
【方法综述】
创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
（Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
【解题策略】
类型一 实际应用问题
【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a、b、c（a＞b＞c且a、b、c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是
A．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果.
【详解】
根据题中所给的五人的得分，可知，
所以有，又因为，且，
所以的值为或，
又因为乙投弹获得了第一名，且得分为分，所以不合题意，
所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名，
因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，
所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.
【例2】（2020·北京清华附中高考模拟）如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从乘缆车到，在处停留1分钟后，再从匀速步行到．已知缆车从到要8分钟，长为1260米，若，．为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是_____．
【答案】
【解析】分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.
详解：在△ABC中解三角形：
已知，，，则：，
由正弦定理可得：，
由余弦定理有：，
解得：，
若，则，不能组成三角形，舍去，
据此可得：.
乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m，还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,由题意得,解得,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,
乙步行的速度应控制在范围内.
点睛：解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【举一反三】
1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：
① ② ③ ④
其中正确的式子的序号是（ ）
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④
【答案】B
2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b(a≥b)，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a=____；b=____.
【答案】70 40
【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得 a+b＝110 ③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b＝1290 ④，
解③④得：a＝70人，b＝40人，
故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
类型二 创新性问题
【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：将带入，化简得，显然不行，故集合A不满足关于运算对称，将带入，即，整理得，显然不行，故集合B不满足关于运算对称，将带入，即，化简得，故集合C满足关于运算对称，故只有一个集合满足关于运算对称，故选B.
【例4】（2020·全国高考模拟（理））对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，
且时，都有；③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为条件②，所以与同号，不符合②，不是“偏对称函数”；对于；，满足①②，构造函数，，在 上递增，当，且时，都有，，满足条件 ③，是“偏对称函数”；对于， ，满足条件①②，画出函数的图象以及在原点处的切线， 关于 轴对称直线，如图，由图可知满足条件③，所以知是“偏对称函数”；
函数为偶函数，，不符合③，函数不是，
“偏对称函数”，故选C.
【方法点睛】本题考查函数的图象与性质以及导数的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“偏对称函数”达到考查函数的图象与性质以及导数的应用的目的.
【举一反三】
1.（2020四川省攀枝花市高三第二次统一考试）定义在[t,+∞)上的函数f(x)，g(x)单调递增，f(t)=g(t)=M，若对任意k>M，存在x1,x2(x1A．①③B．②④C．①④D．②③
【答案】B
【解析】
对于①，可得f(x)=x2，g(x)=2x−1在[1,+∞)是递增函数，f(1)=g(1)=1，若g(x)=2x−1是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”；则∀k>1,存在x1,x2(x1对于②，若g(x)=lnx+m是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”，此时f(1)=g(1)=1，解得
m=1，当m=1时，f(x)=x2，g(x)=lnx+1在[1,+∞)是递增函数，若是“追逐函数”
则x12=lnx2+1=k⇒x1=k,x2=ek−1，即k设函数ℎ(x)=x−e2x−2,ℎ'(x)=1−2e2x−2<0
即x对于③f(x)=x2，g(x)=2−1x在[1,+∞)是递增函数，f(1)=g(1)=1，若g(x)=2−1x是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”；则∀k>1,存在x1,x2(x1对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：
f(x)=x2，gx=2x−1在[1,+∞)是递增函数，f(1)=g(1)=1，若gx=2x−1是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”；则∀k>1,存在x1,x2(x1即x12=2x2−1=k⇒x1=k,x2=k+12此时k取ℎ(x)=x−(x+1)24(x>1),ℎ'(x)=1−x+12<0
即x<(x+1)24，故存在存在x1故选B
【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．
2.（2020兰州高三联考）若数列{an}满足：对任意的n∈N∗且n≥3，总存在i,j∈N∗，使得an=ai+aj (i≠j,iA．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
令an=2n，则an=a1+an−1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；
令an=n2，则a1=1，a2=4，a3=9，所以a3≠a1+a2，所以数列{n2}不是“T数列”；
令an=3n，则a1=3，a2=9，a3=27，所以a3≠a1+a2，所以数列{3n}不是“T数列”；
令an=(1−52)n−1，则an= (1−52)n−1=(1−52)n−2+(1−52)n−3=an−1+an−2(n≥3)，所以数列{(1−52)n−1}是“T数列”．
综上，“T数列”的个数为2．
本题选择C选项.
3．（2020·河南高考模拟）在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意；
（2）对任意；
（3）对任意.
关于函数的性质，有如下说法：
①函数的最小值为3；
②函数为奇函数；
③函数的单调递增区间为.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】试题分析：在（3）中，令c=0，可得a∗b=ab+a+b，则f(x)=(2x)∗12x=1+2x+12x，易知函数f(x)是非奇非偶函数，故②错；又x范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又f'(x)=2−12x2，由f'(x)>0可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.
【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中∗运算.利用新定义将∗运算转化为常规运算f(x)=(2x)∗12x=1+2x+12x.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.
【强化训练】
一、选择题
1．（2020北京市顺义区模拟）已知集合M={(x,y) | y=f(x)}，若对于∀ (x1,y1)∈M，∃ (x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：
M1={(x,y) | y=x2+1}； M2={(x,y) | y=lnx}；
M3={(x,y) | y=ex−e}； M4={(x,y) | y=sinx+1}．
其中是“互垂点集”的集合为
A．M1,M2B．M2,M3C．M1 , M4D．M3,M4
【答案】D
【解析】
设Ax1,y1，A为fx上任意一点
M1：当A0,1时，需存在Bx2,y2使得：0×x2+1×y2=0，即y2=0，此时B无解，可知M1不是“互垂点集”，可排除A和C选项；
M2：当A1,0时，需存在Bx2,y2使得：1×x2+0×y2=0，即x2=0，无意义，可知M2不是“互垂点集”，可排除B选项；
本题正确选项：D
2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(aA．(34,1) B．(34,32) C．(1,32) D．(32,+∞)
【答案】B
【解析】
f'(x)=x2−x，由题意x2−x=13m3−12m2+m−mm在[0,m]上有两个不等实根，方程即为x2−x−(13m2−12m)=0，令g(x)=x2−x−(13m2−12m) =(x−12)2−(13m2−12m+14)，则m>12g(0)=−(13m2−12m)>0g(12)=−(13m2−12m+14)<0g(m)=m2−m−(13m2−12m)>0，解得343．（2020·福建高考模拟）定义np1+p2+…+pn为n个正数的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1，又bn=an+14，则1b1b2+1b2b3+…+1b10b11=( )
A．111 B．910 C．1011 D．1112
【答案】C
【解析】
试题分析：设数列{an}的前n项和为Sn，则由题意可得nSn=12n+1，Sn=n(2n+1)=2n2+n，
∴an=Sn−Sn−1=2n2+n−[2(n−1)2+n−1]=4n−1(n≥2)，a1=S1=3,∴an=4n−1,bn=an+14=n，
∴1bnbn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴1b1b2+1b2b3+…+1b10b11=1-12+12-13+…+110-111=1-111=1011．
4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数fx在其图象上存在不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2，其坐标满足条件：x1x2+y1y2−x12+y12·x22+y22的最大值为0，则称fx为“柯西函数”，则下列函数：①fx=x+1xx>0；②fx=lnx0其中为“柯西函数”的个数为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
由柯西不等式得对任意的实数x1，x2，y1,y2都有x1x2+y1y2−x12+y12·x22+y22≤0，
当且仅当x1x2=y1y2时取等，此时y1−0x1−0=y2−0x2−0即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.
①fx=x+1xx>0,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，x+1x=kx，所以（k−1)x2=1,∴x=1k−1（x＞0），此时仅有一个交点，所以fx=x+1xx>0不是柯西函数；
②fx=lnx0③；④fx=x2−4．显然都是柯西函数.
故选：B
5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）
A．3972B．3974C．3991D．3993
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．
【详解】第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，
第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，
第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个，
第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，
第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，
…
∴第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，
经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，
而2019，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，
∴2019＝45＝3993．故选D．
6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.
【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则.
.
令，解得，故可制作完整的正方形的个数最多为个. 应选B.
7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果.
【详解】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，
含5，3，1的也有上述4个，共24个，
=.故选C.
8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=12,BF=14．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )
A．4B．3C．8D．6
【答案】D
【解析】
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，第一次碰撞点为F，
在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，
G在DA上，且DG=14，
第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH=12，
第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM=14，
第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN=14，
第六次回到E点，AE=12．
故需要碰撞6次即可．
故选：D．
9．（2020淄博五中一诊）设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数：①f(x)=0；②f(x)=x2；③f(x)=xx2+x+1；④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f(x1)−f(x2)|≤2|x1−x2|.其中是“倍约束函数”的序号是( )
A．①②④B．③④C．①④D．①③④
【答案】D
【解析】
对于①，m是任意正数时都有0≤mx，fx=0是倍约束函数，故①正确；
对于②，fx=x2，fx=x2≤mx，即x≤m，不存在这样的m对一切实数x均成立，故②错误；
对于③，要使fx≤mx成立，即xx2+x+1≤mx，当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥1x2+x+1max，因为x2+x+1≥34，所以m≥43故③正确．
对于④，fx是定义在实数集R上的奇函数，故fx是偶函数，因而由fx1−fx2≤2x1−x2得到，fx≤2x成立，存在m≥2>0，使fx≤mx对一切实数x均成立，符合题意，故x正确．
本题正确选项：D
10．（湖南省岳阳市2019届高三二模）已知M=αfα=0,N=βgβ=0，若存在α∈M,β∈N，使α−βA．1e2,4eB．1e,4e2C．4e2,2eD．1e3,2e2
【答案】B
【解析】由题意可知f2=0，且fx在R上单调递减，
所以函数fx只有一个零点2.
即2−β<1，得1<β<3.
函数gx=x2−aex在区间1,3上存在零点，
由x2−aex=0，得a=x2ex.
令ℎx=x2ex,x∈1,3，ℎ'x=2x−x2ex=x2−xex，
所以ℎx在区间1,2上单调递增，在区间2,3上单调递减，
ℎ1=1e,ℎ2=4e2,ℎ3=9e3>1e，
所以只需a∈1e,4e2即有零点，
故选B.
11．（2020哈尔滨师大附中二模）定义区间[a,b]，(a,b)，(a,b]，[a,b)的长度为b−a.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m（其中m∈(0,e]，e为自然对数的底数），那么称这个函数为“m函数”.下列四个命题：
①函数不是“m函数”；
②函数g(x)=lnx−ex是“m函数”，且mem=1；
③函数是“m函数”；
④函数φ(x)=lnxex是“m函数”，且mlnm=1.
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】分析命题①： 定义域为(0,+∞)，f'(x)=ex+1x，
∵x>0∴f'(x)>0，∴函数在(0,+∞)上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数不是“m函数”，故命题①是真命题.
分析命题②：g(x)=lnx−ex，定义域为(0,+∞)， g'(x)=1x−ex=1−xexx
当g'(x)>0时，函数g(x)是增函数，∵x>0 ∴1−xex>0 ∴1x>ex
构造两个函数，u(x)=1x,v(x)=ex，图象如下图所示：
通过图象可知当x∈(0,m)，u(x)>v(x)而v(1)=e>u(1)=1，即m∈(0,1)， u(m)=v(m)，所以当x∈(0,m)时，函数g(x)是增函数，增区间的长度为m，又因为m∈(0,1)显然有m∈(0,e]成立，所以函数g(x)是“m函数”，∵ u(m)=v(m) ∴ 1m=em即mem=1成立，故命题②是真命题.
分析命题③： 函数定义域为(0,+∞)，ℎ'(x)=ex(lnx+1x)
显然x>1时，ℎ'(x)>0，此时函数ℎ(x)是单调递增函数，增区间为(1,+∞)，而区间(1,+∞)没有长度，故函数不是“m函数”，故命题③是假命题.
分析命题④：函数φ(x)=lnxex 定义域(0,+∞)，φ'(x)=1−xlnxxex
当φ'(x)>0时，φ(x)是增函数，故只需1−xlnx>0成立，φ(x)是增函数，
也就是1x>lnx成立，φ(x)是增函数，构造二个函数， 如下图所示：
通过图象可知：当x∈(0,m)时，u(x)>w(x)，而u(e)=1elnx时，函数φ(x)是增函数，显然区间(0,m)长度为m，而m所以函数φ(x)=lnxex是“m函数”，又u(m)=w(m)，即mlnm=1.故命题④是真命题.
综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B.
二、填空题
12.（2020安徽省宣城市二调）数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn=a1+2a2+...+2n−1ann ，现已知{an}的“优值”Hn=2n，则Sn=_________.
【答案】n(n+3)2
【解析】解：由Hn=a1+2a2+...+2n−1ann＝2n，
得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②
①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，
所以Sn=2+n+1n2=nn+32 .
13．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为
【答案】
【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:
切点为,与圆柱面相交于,此时可知即为椭圆的长轴,在直角三角形 中, ,又因为,所以,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即,则求得,,故选A.
点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴的值,需要先利用切线性质求出,再利用相似求出长,即为,短轴长为底面半径,故比较容易求出,根据椭圆中的关系式,得出值,进而求出离心率.
14.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f(x+T)=f(x)+T恒成立，则称f(x)为线周期函数，T为f(x)的线周期.若为线周期函数，则k的值为______.
【答案】1
【解析】
若为线周期函数
则满足对任意x∈R，φx+T=φx+T恒成立
即sinx+T+kx+T=sinx+kx+T，
即sinx+T+kT=sinx+T
则sinx+T=sinxkT=T ⇒k=1
本题正确结果：1
15．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点Ax1,y1，Bx2,y2间的折线距离为dA,B=x1−x2+y1−y2，已知点O0,0,Cx,y,d0,C=1，则x2+y2的最小值为___.
【答案】22
【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，
首先证明：x2+y2≥|x|+|y|2，两边平方得到x2+y2≥|x|+|y|22=x2+y2+2|xy|2
变形为x2+y2≥2|xy|，由重要不等式，显然此不等式成立，
故根据不等式的性质得到：x2+y2≥|x|+|y|2=22．
故答案为：22．
16．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.
【答案】9−318
【解析】
以O为坐标原点，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设边缘线OM上一点P(x,y)，则x2+(y−14)2=|y+14|∴x2=y,(0≤y≤14)，
设EF与边缘线OM的切点为N(x0,x02),
因为y=x2，所以y'=2x，故EF所在直线方程为y−x02=2x0(x−x0)，
因此E(0,−x02),F(18x0+x02,14)，其中0从而SΔDEF=12×(14+x02)×(18x0+x02)=14(116x0+x02+x03)
因为S'ΔDEF=14⋅(4x02+1)(12x02−1)16x02=0⇒x0=112
当0112时，S'ΔDEF>0，
即当x0=112时SΔDEF取最小值318，从而五边形ABCEF的面积取最大值12−318.
17．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=14AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列Sn的四个命题：
①数列Sn是等比数列；
②数列Sn是递增数列；
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n ，都有Sn>2018 ；
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2018．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】
由题意，得图1中线段为a，即S1=a；
图2中正六边形边长为a2，则S2=S1+a2×4=S1+2a；
图3中的最小正六边形边长为a4，则S3=S2+a4×4=S2+a；
图4中的最小正六边形边长为a8，则S4=S3+a8×4=S2+a2；
由此类推，Sn−Sn−1=a2n−1，
所以Sn为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；
因为Sn=S1+(S2−S1)+(S3−S2)+⋯+(Sn−Sn−1)=a+2a+a+a2+⋯+a2n−3
=a+2a(1−12n−1)1−12=a+4a(1−12n−1)<5a，
即存在最大的正数a=20185，使得对任意的正整数n，都有Sn<2018，
即④正确；③错误，
综上可知正确的由②④.
18．（2020河南省十所名校联考）若函数y=f(x)的图象存在经过原点的对称轴，则称y=f(x)为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）
①y=ex(x≤0)lnx(0【答案】①②
【解析】
对于①中，y=exx≤0的反函数为：y=lnx0对于②，f−x=csln1−x1+x=cs-ln1+x1−x=csln1+x1−x=fx，所以函数y=csln1+x1−x是偶函数，它关于y轴对称，故②是“旋转对称函数”.
对于③，y=lne3x+1>lne3x=3x，当x→+∞时，y→3x，则函数y=lne3x+1的图像只可能关于直线y=3x对称，又y=lne3x+1>ln1=0，当x→−∞时，y→0，这与函数y=lne3x+1的图像关于直线y=3x对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.
19．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
①；②；③；④
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】②③④
【解析】
由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 半径为1 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同弧长组成，圆心角为 ，半径为 ，因此，因此选②③④
20．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．
【答案】.
【解析】
【分析】根据题意建立函数关系式，再根据基本不等式求最值，确定标杆到大雁塔的距离.
【详解】
由题意得 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，因此当 时，取最大值，即取最大，即标杆到大雁塔的距离为.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
21．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】画出几何图形，运用边的关系转化为求周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故
22．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.
①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.
【答案】不是 是
【解析】
【分析】①由是关于的递增数列，可知不满足定义，由可知正负交替出现，易求出的值；②先对取特殊值确定的取值范围，再根据对任意的正整数都成立，求出的值.
【详解】①由知道是递增数列，故不存在满足定义的
又因为可知正负数值交替出现，故时满足定义
②因为数列是“﹣摆动数列”，故时有
可求得：
又因为使对任意正整数，总有成立，即有成立
则
所以，，…，
同理，，…，
所以，即，解得，即
同理，解得，即
综上，
本题正确结果：不是；是；
【点睛】本题属于新定义型问题，综合考查数列、不等式的知识，难度较大.解决问题的关键是明确新定义的具体含义和要求；解题的难点在于确定的取值时，需要根据定义得到，从而能够得到相邻两项之间的关系，从而能够得到最终结果.
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