江西省南昌市2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省南昌市2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量，，则( )
A.2B.4C.6D.8
2．设复数z满足，则( )
A.B.C.1D.
3．已知集合,，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
5．在三棱锥中，平面，，，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是( )
A.AF，BE是异面直线，
B.AF，BE是相交直线；
C.AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直
D.AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上有一点A，与双曲线的左支交于B，线段的中点为M，且满足，若，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，，，使得平面，，均与平面ABC垂直，再将球O放到上面使得，，三个点在球O的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
甲校样本
乙校样本
（参考公式及数据:）.
则下列判断中正确的是( )
A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C.根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D.根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
10．已知，则下列说法中正确的是( )
A.在R上可能单调递减
B.若在R上单调递增，则
C.是的一个对称中心
D.所有的对称中心在同一条直线上
11．已知，M为上一点，且满足.动点C满足，D为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是( )
A.若，则D为线段BC的中点
B.当时，的面积为
C.点D到A，B的距离之和的最大值为5
D.的正切值的最大值为
三、填空题
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_____________.
13．一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）. 已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，C，D，E题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为________.
14．如图,有一张较大的矩形纸片，O，分别为AB,CD的中点,点P在上,.将矩形按图示方式折叠,使直线AB(被折起的部分)P点,记AB上与P点重合的点为M,折痕为l.过点M再折一条与BC平行的折痕m,并与折痕l交于点Q,按上述方法多次折叠,Q点的轨迹形成曲线E.曲线E在Q点处的切线与AB交于点N,则的面积的最小值为_________________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，且满足，，，.
(1)当时，求;
(2)若，设，求的通项公式.
16．一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X（单位：Ω）服从正态分布.
（1）生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到0.001）
（2）根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由.（参考数据：若，则，，.）
17．已知椭圆经过点，P为椭圆C的右顶点,O为坐标原点,的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点作直线l与椭圆C交于A,B,A关于原点O的对称点为C,若,求直线AB的斜率.
18．已知且.
(1)当时，求证：在上单调递增;
(2)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆O的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成二面角为，图一中，点P是椭圆上的动点，点P在底面上的投影为点，下图中，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径的同一侧.
（1）当时，求的长度；
（2）(i)当时，若图二中，点，，…，将半圆均分成7等份，求；
(ii)证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得，.
故选：B.
2．答案：B
解析：由题意可得，
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：不等式解得，则；
不等式解得，则.
，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．答案：B
解析：当时，不等式可化为，
所以，可得；
当时，不等式可化为，
所以，且,
所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
5．答案：A
解析：显然根据异面直线判定方法:经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE与平面ACD内不经过E点的直线AF是异面直线.
下面证明BE与AF垂直：
证明:因为平面，平面BCD，
所以,
因为，F分别为CD的中点，连接BF，
所以，
因为，平面，
所以平面，
如图：取AF的中点Q，连接BQ，EQ，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为，
所以
又因为Q为AF的中点，所以，
因为，平面BEQ，
所以平面BEQ，
又因为平面BEQ，所以.
故选：A.
6．答案：D
解析：由已知知：，
化简得
.令，则，，
所以
.
故选：D
7．答案：D
解析：由题意可知线段的中点为M，且满足，则,
故为等腰三角形，
又，则为正三角形，
根据双曲线定义知，
设，则，
在中，由余弦定理知，
故选：D
8．答案：C
解析：如图：连接、、，
取、、中点D，E，F，连接、、，
由已知侧棱长为6的正三棱锥，
即，又因为，
所以，
因为平面，，均与平面垂直，
设，，三点所在的圆为圆Q，底面的中心为，
则，又因为奖杯总高度为，
设球半径为R，球心O到圆Q面的距离为d，
则，即，
如图，易知，
因为，
所以是边长为2的等边三角形，
设的外接圆半径为r，
则，
则在直角中，，
即，解得，
所以.
故选：C.
9．答案：AD
解析：对A，甲校男学生喜爱足球运动的比例，乙校男学生喜爱足球运动的比例，
即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；
对B，甲校女学生喜爱足球运动的比例，乙校女学生喜爱足球运动的比例，
即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；
对C，甲校中，
所以根据甲校样本没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；
对D，乙校中，
所以根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确；
故选：AD
10．答案：BCD
解析：，则，
对A：当时，恒成立，单调递增，
当或时，不恒成立，不可能单调递减，
综上，在R上不可能单调递减，故A错误；
对B：若在R上单调递增，则恒成立，
所以，故B正确；
对C：因为，
所以关于对称，故C正确；
因为
，，
所以关于，对称，
所以所有的对称中心在直线上，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对A，若，则，从而. 再由知.
故
,
这得到.
所以，从而D为线段BC的中点，故A正确；
对B，当时，，则，又，
故，故，故B错误；
对C，由于，故，从而，故.
而，故.
这表明，即，化简即为.
所以，故.
由于，故，从而. 再由，知
.
当点A，M，B，D，C在同一条直线上顺次排列，且，，，时，验证知点A，B，C，D，M满足全部条件，且此时有.
所以点D到A，B的距离之和的最大值为5，故C正确；
对D，一方面由于，，故，从而.
所以，即.
所以
，
所以.
由，及，可知.
另一方面，如上图所示，考虑一个边长为4的正三角形，分别设，的中点为F，C，再分别设，的中点为M，D.
则，，，，，.
所以A，B，C，D，M满足全部条件，且此时.
综上，的最大值是，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：2
解析：由知，故存在.再由正弦定理，即可得到.
故答案为：2.
13．答案：
解析：甲抽中前三题按题型概率不同有四种组合：
抽中A，B，剩余一题为C，D，E三题中的任意一题，且全部答对，则概率为：
；
抽中C，D，E，且全部答对，则概率为：
；
抽中A，剩余两题为C，D，E中的任意两题，且全部答对，则概率为：
；
抽中B，剩余两题为C，D，E中的任意两题，且全部答对，则概率为：
.
所以甲前3个题全答对的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：连接PQ，由题PQ与MQ关于l对称，，所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，直线，所以抛物线方程为：，即，则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为，所以抛物线在Q点处切线方程为，
则令，，
所以由题意，且所以，
故对恒成立，
所以时单调递减，又当时，，故时，，时，，
所以时，单调递增；时，单调递减，
所以，则.
所以的面积的最小值为，
故答案为：.
15．答案：(1)100；
(2).
解析：（1）当时，有，
即，所以为等差数列，
因为，，所以，
所以.
（2）由已知，，
所以，即，
且，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
16．答案：(1)0.093
(2)不正常，理由见解析.
解析：（1）电阻阻值X服从正态分布.
所以，.
所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为
，
.
因此这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率；
（2）生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，即，
记，计算可得，
而，即，
因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常.
17．答案：（1）；
（2）AB的斜率为.
解析：(1)因为的面积为,
则有,解得,
又因为在椭圆C上,则,解得,
所以椭圆C的标准方程为;
(2)因为，O为AC的中点,所以,设,
设直线的方程,并与椭圆的方程进行联立,可得,
消去x得,
则有,
因为,则有,则,
即,
,
即,解得,
所以直线AB的斜率为
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）当时，，
则，
令，则，两边取对数得.
设，则，
所以在单调递增，
所以时，即时，，
所以时恒成立，即，
所以在上单调递增.
（2）法一:
，即，两边取对数得:，即.
设，则问题即为：当时，恒成立.
只需时，.
，令得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又因为，则，所以时，单调递减，
所以时，，
所以，即.
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
当时，，时，，
所以的图象与x轴有1个交点，设这个交点为，
因为，所以；
所以当时，，
即当时，不等式，
所以当不等式在恒成立时，.
即实数a的取值范围为.
法二：，即，两边取对数得：，即
设，，令得，
当时，，单调递减.
又因为，所以，在单调递减，
由，则在恒成立，即，
上式等价于，即，
由在单调递减，所以.
即实数a的取值范围为.
19．答案：（1）；
（2）(i)；(ii)证明见解析
解析：（1）
如图，取CD中点M，过M作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点G，交BC延长线于点H，与交于点I，
因，，则，，过M作GH的垂线，交圆M于J、K两点.
过I作交JK于点N，又由圆M，因圆M,则,又因 ,故平面 ,
因平面,故 ，所以为椭圆面与圆M所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
所以.则为等腰直角三角形，.
设，如图作圆M所在平面的俯视图，则，
由，，所以，则有，所以，
所以，当时，;
（2）(i)时，，
所以，，…
所以
(ii)
证明：由（1）知，也即是关于θ的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，
如图，将，，…，，绘制于函数图象上，
并以，（）为边作矩形，则矩形的面积即为，
所以即为这些矩形的面积之和.
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
因此该斜截圆柱的侧面积为，
所以函数与坐标轴围成的面积为，
又因为无论点是否均匀分布在半圆弧上，
这些矩形的面积之和都小于函数与坐标轴围成的面积.
所以，得证.
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
α
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828