山东省聊城市2024届高三下学期等级模拟卷（三）数学试卷(含答案)

这是一份山东省聊城市2024届高三下学期等级模拟卷（三）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点，则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
2．设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
3．“，且”是“，且”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( )
A.B.
C.D.
5．设函数的图象与函数的图象关于x轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为( )
A.8B.6C.4D.2
6．已知，且，则( )
A.B.C.D.
7．设正项数列的前n项和满足表示从n个不同元素中任取m个元素的组合数，则( )
A.512B.1024C.5120D.10240
8．设函数定义域为R，导数为，若当时，，且对于任意的实数x，，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设方程的两根，，在复平面内对应的点分别是，，则( )
A.的实部为1B. ，关于x轴对称
C.D.
10．在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X.另一随机变量，则( )
A.B.，
C.D.随k的增大先增大后减小
11．已知圆锥SO（O为底面圆心）的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，P是底面圆周上的一个动点，直线a，b满足，，，设直线SP与a所成的角为，直线SP与b所成的角为，则( )
A.的取值范围为B.该圆锥内切球的表面积为
C.的取值范围为D.
三、填空题
12．已知集合，，且，则实数a的值为______．
13．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有______种.
14．已知双曲线的一个焦点为F，O为坐标原点，点A，B在双曲线上运动，以A，B为直径的圆过点O，且恒成立，则C的离心率的取值范围为______．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若D在边BC上，且，，，求的周长.
16．如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别是棱AC，，的中点，点P满足，其中，.
（1）当时，求证：平面；
（2）当时，是否存在点P使得平面ACP与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点P的位置，若不存在，请说明理由.
17．已知函数，.
（1）若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数a的值；
（2）设函数，讨论的单调性.
18．今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况：
由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59.
（1）根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差；
（2）计算相关系数r，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）；
（3）该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润Y（单位：元）情况如下表：
已知，，成等比数列.
设该公司销售两台电视机所获得的利润为X（单位：元），当的概率取得最大值时，求利润X的分布列和数学期望.
参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.相关数据.
19．已知圆和点，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）点D在直线上运动，过点D动直线l与曲线C相交于点M，N.
（ⅰ）若线段MN上一点E，满足，求证：当D的坐标为时，点E在定直线上；
（ⅱ）过点M作x轴的垂线，垂足为G，设直线GN，GD的斜率分别为，，当直线l过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，抛物线的焦点F到其准线的距离为2，
即，则抛物线，焦点，
当直线l平行于x轴时，，，
当直线l不平行于x轴时，
设直线，，，，
联立方程组，得，，
则，
又，所以的最小值为4.
故选：B
2．答案：A
解析：因为函数在定义域上单调递增，
故，
又，
所以.
故选：A
3．答案：B
解析：若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；
当，，满足，且，但是，故充分性不成立，
所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.
故选：B
4．答案：D
解析：由题意设所求的圆方程为，
则，即，解得，
所以圆C的方程为.
故选：D
5．答案：C
解析：由题意得，则.
函数的图象由函数图形向右平移1个单位得到.
由函数的图象与的图象关于点对称，在定义域内有4个交点.
所以函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为
故选：C.
6．答案：A
解析：因为，所以，
所以，
则，即，
由，则，由，得，故，
所以，则，故.
故选：A
7．答案：C
解析：由，当时，，解得，
当时，，则，
整理，
又数列为正项数列，则，所以，即，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
因为，
所以.
故选：C
8．答案：B
解析：因为，
设，
则，
即为R上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
9．答案：BCD
解析：由实系数一元二次方程求根公式知：
方程的两根为，，
则，所以的实部为0，故A错误；
，，在复平面内对应的点分别是，，
他们关于x轴对称，故B正确；
由，，得，，
即，故C正确；
由，得
，
故D正确.
故选：BCD
10．答案：CD
解析：由题意，则，，
所以，故选项A错误；
，则，设当时概率最大，
则有，即，
解得，由，所以当时概率最大，
则，
即随k的增大先增大后减小，故D选项正确；
又，则，，，，
所以，，故选项B错误；
，
又，所以，故选项C正确.
故选：CD
11．答案：BC
解析：如图：
圆锥SO中，，，
由题意，所以，
所以，
如图，
作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为R，
易知，圆锥内切球的半径R即等于内切圆的半径.
因为，所以，
所以，故圆锥的内切球表面积，
故选项B正确；
在圆锥底面上使，
由于直线a，b满足，，，不妨令，，符合题意，
以O为坐标原点，OA，OD，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图：
则，，，，，
设，，
所以，，，
由异面直线向量夹角公式知：，，因为，所以，
所以，所以，故选项A错误；
所以，故选项D错误；
，因为，所以，
所以，所以，故选项C正确.
故选：BC
12．答案：3
解析：，则，有或，解得或或，
其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，
所以实数a的值为3.
故答案为：3
13．答案：15
解析：不妨记两本相同的图书为元素1，1，两本不同的音乐书为元素3，4，根据题意，分类讨论：
若分组情况为13，1，4时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分组情况为14，1，3时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分组情况为34，1，1时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
综上，不同的分法共有种.
故答案为：15
14．答案：或
解析：设，，直线:，
因为以A，B为直径的圆过点O，所以，即，
联立，整理得，
且，
，，
则，
所以
整理得，
即由到直线:的距离，
又，
即，
而，
因为，即，
所以，
又，
所以.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，因，所以，
所以，
因，所以，因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，即，
即，解得，或（舍），
由余弦定理，得，所以，
所以的周长为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）存在，点P为的中点
解析：（1）当时，，故点P是的中点，
连接，DP，因为点D是AC的中点，P是的中点，所以，
因为点E，F分别是，的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）存在，点P为的中点.
当时，，即，，所以点P在棱上，
取的中点，连接，DB，则，
在正三棱柱中，平面ABC，是正三角形，所以，
以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，，
从而，，，
，，
设平面的法向量是，
由，即，令，得.
设平面ACP的法向量是，
由，即，令，得.
令，得，
解得，所以存在点P使得平面ACP与平面的夹角的余弦值是，
此时点P为的中点.
17．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由得，设公切线与曲线的切点坐标为，
由已知得，解得，
所以公切线方程为，即，
由，得，
由已知得，解得.
（2）由已知，则，
当时，，令，得，令得，
这时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，令，得，令得，
这时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，令得或，，
①当时，，这时在上单调递减；
②当时，，令，得，
令得或，
这时，在和上单调递减，在上单调递增；
③当时，，令，得，
令得或，
这时，在和上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
18．答案：（1）日期每增加一天，销售额约增加万元，第4天的残差为-0.81
（2）0.907，销售额和日期的相关程度较强
（3）分布列见解析，1200
解析：（1）根据线性回归方程，日期每增加一天，销售额约增加0.84万元，
把代入回归直线方程，得，
因为，所以第4天的残差为-0.81；
（2）由
得，
0.907比较接近于1，故销售额和日期的相关程度较强.
（3）由，，成等比数列，得，且，
设其公比为q，则，所以，
由题意可得X的值分别为800，1000，1200，1400，1600，
则，，，
，，
又，取得最大值的条件即，
此时，
故X分布列为：
期望.
19．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
解析：（1）由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
设曲线的方程为，则，，解得，，
所以，
所以曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）因为直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，
因为在l上，所以，
由，得，
，设，，，
则，，由，得，
化简得，则，
化简得，又因为，所以，
所以点E在定直线上.
（ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为，
从而得，，
由（ⅰ）知，，，，，
所以
，
所以存在实数，使得.
日期x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售额y（万元）
19
19.3
19.6
20
21.2
22.4
23.8
24.6
25
25.4
2
4
6
P
Y
400
600
800
X
800
1000
1200
1400
1600
P