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所属成套资源：【热点模型】备战2024年高考物理二轮复习热点模型精讲
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专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能-【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型
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这是一份专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能-【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型，文件包含专题06圆周运动模型中临界问题和功与能原卷版docx、专题06圆周运动模型中临界问题和功与能解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
一、以核心和主干知识为重点。构建知识结构体系，确定每一个专题的内容，在教学中突出知识的内在联系与综合。
二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1944" 1．圆周运动的三种临界情况 PAGEREF _Tc1944 \h 1
\l "_Tc16297" 2．常见的圆周运动及临界条件 PAGEREF _Tc16297 \h 1
\l "_Tc29339" 3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 PAGEREF _Tc29339 \h 2
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。
(2)接触面分离临界：FN＝0。
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得①
对应C点的速度有机械能守恒
得②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得③
小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律④
(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律。⑤
(3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为则、
(4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑦
(3)从A点以初速度释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑧
【模型演练1】（2023上·安徽·高三校联考期中）“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：
（1）手机滑落瞬间的速度大小；
（2）手机落地点距离中心转轴的距离。
【模型演练2】（2023上·黑龙江佳木斯·高三校联考期中）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路
eq \x(分析物体受力情况，画出受力示意图，确定向心力来源)→eq \x(利用平行四边形定则、正交分解法等表示出径向合力)
→eq \x(根据牛顿第二定律及向心力公式列方程)
【模型演练3】(2023·北京市海淀区一模)如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是( )
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示，质量为 m的小物块开始静止在一半径为 R的球壳内，它和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球恰好能到达竖直面内的最高点
B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为
D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
3．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力
4．（2023上·山东德州·高三统考期中）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．若圆环光滑，则角速度
B．若圆环光滑，则角速度
C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等
D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于
5．（2023上·重庆梁平·高三统考阶段练习）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．铁球在A点的速度一定大于或等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
6.（多选）（2024·四川成都·校考一模）如图所示，倾角为的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为。斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为，小球与小孔之间的绳长为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为
D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
7.（多选）．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为，，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，，以下说法正确的是（ ）
A．B的摩擦力先达到最大
B．当时，绳子出现张力
C．当时，A、B两物体出现相对滑动
D．当时，A、B两物体出现相对滑动
8.（多选）（2024·湖南株洲·统考一模）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
9．（多选）（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
C．X星球的质量
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期
10.（多选）（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上方，A、C点关于OB对称，。可看成质点的物块自A点以初速度沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则物块在A点初速度可能为
B．若，则物块在A点初速度可能为
C．若，则物块在A点初速度可能为
D．若，则物块在A点初速度可能为
11．（多选）（2023上·湖南·高三校联考期中）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C为其最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（ ）
A．小球到达C点时速度为0
B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A点的初速度为
D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则
12．（多选）（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段 BC 组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小
C．小球的初速度
D．若小球初速度增大，小球有可能从B点脱离轨道
13.（2023上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问：
（1）物品从A处运动到B处的时间t多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
14．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的茶杯（视为质点）放在水平餐桌的转盘上，茶杯到转轴的距离为r，转盘匀速转动，每秒钟转n周，茶杯与转盘保持相对静止。求：
（1）茶杯所受的摩擦力大小f；
（2）每转半周茶杯的动量变化量大小。
15.（2024·四川自贡·统考一模）如图，在竖直平面内，固定有半径R1=1m和半径R2=0.3m的光滑圆形轨道，他们轨道弧长分别占圆周的和，圆轨道与水平轨道分别相切于B点和D点，且平滑连接。某时刻，让质量为m1=0.1kg，不带电的绝缘小滑块P从A点静止释放，经圆轨道滑至B点，从B点进入水平轨道，与静止在C点的带电小滑块Q发生弹性碰撞，滑块Q的质量为m2=0.1kg，电荷量为q=+1C。整个过程中滑块Q的电荷量始终保持不变，滑块P、Q均可视为质点，与水平轨道BC间的动摩擦因数均为μ=0.1，BC间距x=2m，CD段光滑。滑块Q从D点进入光滑轨道DMN时，此时加入水平向右范围足够大的匀强电场，场强大小。已知重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小滑块P刚到滑道最低点B时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P与小滑块Q碰撞后Q的速度大小为多少？
（3）通过计算判断当Q进入光滑绝缘半圆轨道DMN后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N点的速度大小；若会，试求Q离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
16．（2023上·内蒙古呼和浩特·高三呼和浩特市回民中学校考阶段练习）如图所示，质量为的小球通过长度为的轻绳悬挂于固定点，现将其拉到某一高处点让绷直并由静止释放，当小球摆动到点正下方点时，绳恰好断掉，之后小球恰好垂直落到斜面上，已知斜面倾角为三点在同一竖直线上，绳能承受的最大拉力为，不计空气阻力，重力加速度为求：
（1）小球到达点时的速度及释放点距离点的高度h；
（2）小球落到上的位置与的距离s
17．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）有一款弹球游戏的装置如图所示。平台离地面的高为R，一半径为R、下端有一小缺口的竖直光滑圆轨道固定在平台上，圆轨道的最低点与平台边缘重合。地面上的弹射装置将质量为m的小球A以一定的速度斜射出，到最高点恰好射入平台，与放在圆轨道最低点的半径等大的小球B相撞。已知小球A与B碰撞前的速度大小，其中g为重力加速度。忽略空气阻力、小球的大小以及弹射装置的高度。
（1）求弹射装置与平台边缘的水平距离s；
（2）若在B上附着橡皮泥，球和泥总质量为m，两球碰撞后共同运动，求碰撞过程中损失的机械能E；
（3）若小球B的质量为，A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去球A，将小缺口补上，变成完整的圆轨道，要使球B被碰后始终沿圆道运动，求的范围。
18．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）粗糙水平地面与半径的光滑半圆轨道平滑连接，且在同一竖直平面内，是的圆心。质量的小物块在的水平恒力的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。在运动到半圆轨道上的点时撤去恒力。（小物块与水平地面间的动摩擦因数，）求：
（1）若，小物块运动到半圆轨道上的点时，轨道对它的支持力的大小；
（2）若小物块恰好能运动到半圆轨道上的点，则间的距离多大。
19．（2023上·陕西西安·高三校考期中）如图所示，水平粗糙轨道OB与处于竖直平面内的半圆形光滑轨道BC平滑连接，半圆的直径与地面垂直，半圆形光滑轨道半径。一质量的小物块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，小物块恰好通过C点，并落回至A点，小物块与地面间的动摩擦因数，重力加速度。
（1）求A、B两点间的距离；
（2）求弹簧被压缩至A点时的弹性势能；
（3）若改变半圆形光滑轨道的半径，小物块从C点飞出后做平抛运动的水平距离也将改变，则R为多少时，水平距离有最大值？最大值为多少？
20．（2023上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图所示，不可伸长、长为L的轻质细绳一端固定在P点，另一端系一质量为m的小球。现将小球拉至细绳沿水平方向绷紧的状态后，由静止释放，小球在竖直平面内运动，经过某位置Q点，已知P、Q连线与水平面的夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）求小球在位置Q点时细绳对小球拉力T的大小；
（2）若小球在位置Q点时小球竖直分速度最大，求的值。
21．（2023上·陕西商洛·高三校联考期中）一竖直平面内半径为R的光滑圆轨道如图所示，一质量为m的小球（可视为质点）在大小恒定、方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，当小球通过最低点B时，小球的速度大小（g为重力加速度大小），轨道对小球的弹力大小为2mg，求：
（1）外力的大小；
（2）小球运动到最高点时所受的弹力大小。
22．（2023·四川德阳·统考一模）为助力2025年全运会，2023年11月25日—26日，粤港澳大湾区滑板公开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。如图所示为一质量m=50kg的运动员，从离水平地面高h=7m的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无碰撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后落于水平地面的D点。已知圆弧轨道的B点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视为质点，重力加速度大小为10m/s2，sin53°=0.8，cs53°=0.6.求：
（1）运动员运动到B点时，地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。（）
水平面内
动力学方程
临界情况示例
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
恰好发生滑动
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
恰好离开接触面
轻绳模型
最高点：FT＋mg＝meq \f(v2,r)
恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0
轻杆模型
最高点：mg±F＝meq \f(v2,r)
恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动
倾斜转盘上的物体
最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r
最低点Ff－mgsin θ＝mω2r
恰好通过最低点
一、以核心和主干知识为重点。构建知识结构体系，确定每一个专题的内容，在教学中突出知识的内在联系与综合。
二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1944" 1．圆周运动的三种临界情况 PAGEREF _Tc1944 \h 1
\l "_Tc16297" 2．常见的圆周运动及临界条件 PAGEREF _Tc16297 \h 1
\l "_Tc29339" 3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 PAGEREF _Tc29339 \h 2
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。
(2)接触面分离临界：FN＝0。
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得①
对应C点的速度有机械能守恒
得②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得③
小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律④
(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律。⑤
(3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为则、
(4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑦
(3)从A点以初速度释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑧
【模型演练1】（2023上·安徽·高三校联考期中）“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：
（1）手机滑落瞬间的速度大小；
（2）手机落地点距离中心转轴的距离。
【模型演练2】（2023上·黑龙江佳木斯·高三校联考期中）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路
eq \x(分析物体受力情况，画出受力示意图，确定向心力来源)→eq \x(利用平行四边形定则、正交分解法等表示出径向合力)
→eq \x(根据牛顿第二定律及向心力公式列方程)
【模型演练3】(2023·北京市海淀区一模)如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是( )
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示，质量为 m的小物块开始静止在一半径为 R的球壳内，它和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球恰好能到达竖直面内的最高点
B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为
D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
3．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力
4．（2023上·山东德州·高三统考期中）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．若圆环光滑，则角速度
B．若圆环光滑，则角速度
C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等
D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于
5．（2023上·重庆梁平·高三统考阶段练习）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．铁球在A点的速度一定大于或等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
6.（多选）（2024·四川成都·校考一模）如图所示，倾角为的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为。斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为，小球与小孔之间的绳长为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为
D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
7.（多选）．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为，，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，，以下说法正确的是（ ）
A．B的摩擦力先达到最大
B．当时，绳子出现张力
C．当时，A、B两物体出现相对滑动
D．当时，A、B两物体出现相对滑动
8.（多选）（2024·湖南株洲·统考一模）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
9．（多选）（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
C．X星球的质量
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期
10.（多选）（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上方，A、C点关于OB对称，。可看成质点的物块自A点以初速度沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则物块在A点初速度可能为
B．若，则物块在A点初速度可能为
C．若，则物块在A点初速度可能为
D．若，则物块在A点初速度可能为
11．（多选）（2023上·湖南·高三校联考期中）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C为其最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（ ）
A．小球到达C点时速度为0
B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A点的初速度为
D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则
12．（多选）（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段 BC 组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小
C．小球的初速度
D．若小球初速度增大，小球有可能从B点脱离轨道
13.（2023上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问：
（1）物品从A处运动到B处的时间t多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
14．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的茶杯（视为质点）放在水平餐桌的转盘上，茶杯到转轴的距离为r，转盘匀速转动，每秒钟转n周，茶杯与转盘保持相对静止。求：
（1）茶杯所受的摩擦力大小f；
（2）每转半周茶杯的动量变化量大小。
15.（2024·四川自贡·统考一模）如图，在竖直平面内，固定有半径R1=1m和半径R2=0.3m的光滑圆形轨道，他们轨道弧长分别占圆周的和，圆轨道与水平轨道分别相切于B点和D点，且平滑连接。某时刻，让质量为m1=0.1kg，不带电的绝缘小滑块P从A点静止释放，经圆轨道滑至B点，从B点进入水平轨道，与静止在C点的带电小滑块Q发生弹性碰撞，滑块Q的质量为m2=0.1kg，电荷量为q=+1C。整个过程中滑块Q的电荷量始终保持不变，滑块P、Q均可视为质点，与水平轨道BC间的动摩擦因数均为μ=0.1，BC间距x=2m，CD段光滑。滑块Q从D点进入光滑轨道DMN时，此时加入水平向右范围足够大的匀强电场，场强大小。已知重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小滑块P刚到滑道最低点B时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P与小滑块Q碰撞后Q的速度大小为多少？
（3）通过计算判断当Q进入光滑绝缘半圆轨道DMN后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N点的速度大小；若会，试求Q离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
16．（2023上·内蒙古呼和浩特·高三呼和浩特市回民中学校考阶段练习）如图所示，质量为的小球通过长度为的轻绳悬挂于固定点，现将其拉到某一高处点让绷直并由静止释放，当小球摆动到点正下方点时，绳恰好断掉，之后小球恰好垂直落到斜面上，已知斜面倾角为三点在同一竖直线上，绳能承受的最大拉力为，不计空气阻力，重力加速度为求：
（1）小球到达点时的速度及释放点距离点的高度h；
（2）小球落到上的位置与的距离s
17．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）有一款弹球游戏的装置如图所示。平台离地面的高为R，一半径为R、下端有一小缺口的竖直光滑圆轨道固定在平台上，圆轨道的最低点与平台边缘重合。地面上的弹射装置将质量为m的小球A以一定的速度斜射出，到最高点恰好射入平台，与放在圆轨道最低点的半径等大的小球B相撞。已知小球A与B碰撞前的速度大小，其中g为重力加速度。忽略空气阻力、小球的大小以及弹射装置的高度。
（1）求弹射装置与平台边缘的水平距离s；
（2）若在B上附着橡皮泥，球和泥总质量为m，两球碰撞后共同运动，求碰撞过程中损失的机械能E；
（3）若小球B的质量为，A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去球A，将小缺口补上，变成完整的圆轨道，要使球B被碰后始终沿圆道运动，求的范围。
18．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）粗糙水平地面与半径的光滑半圆轨道平滑连接，且在同一竖直平面内，是的圆心。质量的小物块在的水平恒力的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。在运动到半圆轨道上的点时撤去恒力。（小物块与水平地面间的动摩擦因数，）求：
（1）若，小物块运动到半圆轨道上的点时，轨道对它的支持力的大小；
（2）若小物块恰好能运动到半圆轨道上的点，则间的距离多大。
19．（2023上·陕西西安·高三校考期中）如图所示，水平粗糙轨道OB与处于竖直平面内的半圆形光滑轨道BC平滑连接，半圆的直径与地面垂直，半圆形光滑轨道半径。一质量的小物块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，小物块恰好通过C点，并落回至A点，小物块与地面间的动摩擦因数，重力加速度。
（1）求A、B两点间的距离；
（2）求弹簧被压缩至A点时的弹性势能；
（3）若改变半圆形光滑轨道的半径，小物块从C点飞出后做平抛运动的水平距离也将改变，则R为多少时，水平距离有最大值？最大值为多少？
20．（2023上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图所示，不可伸长、长为L的轻质细绳一端固定在P点，另一端系一质量为m的小球。现将小球拉至细绳沿水平方向绷紧的状态后，由静止释放，小球在竖直平面内运动，经过某位置Q点，已知P、Q连线与水平面的夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）求小球在位置Q点时细绳对小球拉力T的大小；
（2）若小球在位置Q点时小球竖直分速度最大，求的值。
21．（2023上·陕西商洛·高三校联考期中）一竖直平面内半径为R的光滑圆轨道如图所示，一质量为m的小球（可视为质点）在大小恒定、方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，当小球通过最低点B时，小球的速度大小（g为重力加速度大小），轨道对小球的弹力大小为2mg，求：
（1）外力的大小；
（2）小球运动到最高点时所受的弹力大小。
22．（2023·四川德阳·统考一模）为助力2025年全运会，2023年11月25日—26日，粤港澳大湾区滑板公开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。如图所示为一质量m=50kg的运动员，从离水平地面高h=7m的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无碰撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后落于水平地面的D点。已知圆弧轨道的B点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视为质点，重力加速度大小为10m/s2，sin53°=0.8，cs53°=0.6.求：
（1）运动员运动到B点时，地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。（）
水平面内
动力学方程
临界情况示例
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
恰好发生滑动
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
恰好离开接触面
轻绳模型
最高点：FT＋mg＝meq \f(v2,r)
恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0
轻杆模型
最高点：mg±F＝meq \f(v2,r)
恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动
倾斜转盘上的物体
最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r
最低点Ff－mgsin θ＝mω2r
恰好通过最低点
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