2024年北京市门头沟区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，则该几何体是（ ）
A. 正方体B. 长方体C. 四棱锥D. 三棱柱
2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即米，将化成科学计数法为（ ）
A. B. C. D.
3. 下图是手机一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正七边形
5. 数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（ ）
A. 点A左侧B. 点A点B之间（不含点A点B）
C. 点B点C之间（不含点B点C）D. 点C右侧
6. 如图，，平分，，的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有m张奖券，其中含奖项奖券有n张，每名已购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有名顾客已经抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果分式值为零，那么实数m的取值是______．
10. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则______．
11. 在实数范围内进行因式分解：______．
12. 如图，是直径，弦于点，，如果则的半径长为______．
13. 某函数图象满足过点，且当时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的表达式______．
14. 如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为______．
15. 某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下：，，，，，，，，，，如果，，该组数据的中位数是85，则______．
16. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有______人．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解分式方程
19. 已知：，求的值．
20. 如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．

21. 已知：如图，在中，过点D作于E，点F在边上，，连接和．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果平分，，，求的长．
22. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点．
（1）求k的值；
（2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）；
①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”；
②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围．
23. 啦啦操是一项展现青春活力的运动项目，北京市多所学校都选择以啦啦操为载体，让更多的学生在训练的过程中收获了健康与快乐．某校啦啦操学员共16名，测量并获取了所有学员的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．16名学生的身高：
b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）教练将学员分组进行PK赛，如果一组学员的身高的方差越小，则认为该舞台呈现效果越好，据此推断：下列两组学员中，舞台呈现效果更好的是______（填“A组”或“B组”）；
（3）该啦啦操队要选五名学生，已确定三名学员参赛，她们的身高分别为：160，160，164，她们的身高的方差为．在选另外两名学员时，首先要求所选的两名学员与已确定的三名学员所组成的五名学员的身高的方差小于，其次要求所选的两名学员与已确定的三名学员所组成的五名学员的身高的平均数尽可能的大，则选出的另外两名学员的身高分别为______和______．
24. 如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，，连接并延长交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
25. 医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；

（2）如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位）
（3）据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的经过点，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B的纵坐标为时，求a的值；
（3）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27. 在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N．
（1）如图1，当点E与点A重合时，______；
（2）如图2，当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
28. 对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）．
例如，的级衍生函数为：当时，；当时，．
（1）如果的级衍生函数为，
①当时，______；
②当时，______．
（2）如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标；
（3）如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围．153
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164
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164
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169
169
平均数
中位数
众数
161.94
m
n
A组学员的身高
157
158
159
160
161
B组学员身高
161
164
164
164
167
x
0
0.20
0.40
1.00
1.53
2.26
2.52
3.38
4.53
5.44
…
0
068
1.36
3.40
3.21
2.77
2.65
2.31
1.92
1.65
…
0
0.18
0.36
9.00
5.03
2.26
1.70
0.66
0.19
0.07
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