2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试题原卷版docx、2024年江苏省南京市秦淮区“四校”中考预二模考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 9的平方根等于（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根．根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：，据此解答即可．
【详解】解：9的平方根是：．
故选：C．
2. 2024年，南京中考考生约人，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选C．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：，
故选：C．
4. 已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，
∴，
解得BC：EF=1：，
∵BC=1，
∴EF=．
故选A．
5. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．
【详解】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°，
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，
所以劣弧AC的长度为，
故选：B.

【点睛】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中．
6. 如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，
∵，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_____________．
【答案】x≠2
【解析】
【详解】试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0
即：x≠2
8. 分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式分解，解题关键是提取出公因式，
根据题意可首先提取公因式4，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】解：
故答案为：
9. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．
【答案】1
【解析】
【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x＝代入方程得，
解得m＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________．
【答案】7200
【解析】
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．
【详解】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），
故答案为7200．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
11. 如图，点A、B、C、D在上，，，则_________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和，平行线性质，等腰三角形性质，连接，根据圆周角定理得到，利用平行线性质求出的度数，根据等边对等角，最后根据三角形内角和求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
在中，
，
故答案为：．
12. 如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为___________．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．
试题解析：设点A坐标（x，），
∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，
∴D（x，），
∴过点D的反比例函数的解析式为y=．
∴k的值为．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
13. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列结论：
①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是____．
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，进而根据解析式逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：由图表可以得出当或时，，时，，
解得：
，
，
图象经过原点，故①正确；
＞，
抛物线开口向上，故②错误；
把代入得，，
图象经过点（），故③正确；
抛物线的对称轴是，
＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误；
抛物线与轴有两个交点（）、（）
有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
14. 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，，进而求得，，根据折叠的性质得出，进而在中，根据勾股定理求出即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
在中，，，，
，，，，
，
在中，，
沿折叠得到，当点恰好落在上，
，
又，
，
，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，是边上一点，若，则的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理求线段长，设，在中，由勾股定理得到，过作，如图所示，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，再由等面积法求出线段，在中由勾股定理列方程求解即可得到答案，设出未知数，灵活运用勾股定理求解是解决问题的关键．
【详解】解：设，
在中，，则，
过作，如图所示：
，，
，则，
设，
在中， ，即，解得，则，
，则，解得，
在中，，即，
即，
解得，
则（负值舍去），
，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为__．
【答案】
【解析】
【分析】接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，可得四边形是平行四边形，进而有，，则是等边三角形，．过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．在中，，则的最小值为．
【详解】解：连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，
∵，点P是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．
∴在中，，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，等边三角形的判断及性质，解直角三角形，垂线段最短．正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x＋1）（x−1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
【详解】解：方程两边乘，得.
解得.
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
【点睛】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
18. 解不等式组并写出不等式组的整数解．
【答案】不等式组的解集，整数解为3．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解．
【详解】解：
解不等式①，，
．
解不等式②，，
．
原不等式组的解集为．
不等式组的整数解为：3．
19. 如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
（1）求证：；
（2）连接 作直线求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则；
（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
【小问2详解】
证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
20. 某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210 km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、众数．
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【答案】（1）200，200，205；
（2）选择B型号汽车．理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数和众数的定义，理解折线统计图，掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
【小问1详解】
解：A型号汽车的平均里程为：
，
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为，
∴中位数为：，
出现了六次，
∴众数为．
【小问2详解】
解：选择B型号汽车，理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；
B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
21. 现有一组数：，，0，3，求下列事件的概率：
（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；
（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到从中随机选择两个不同的数，均比0大的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
小问1详解】
解；∵一共有四个数，其中无理数只有，且每个数被选择的概率相同，
∴从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率为；
小问2详解】
解：设，，0，3这四个数分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中随机选择两个不同的数，均比0大的结果数有2种（，），
∴从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率为．
22. 今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．
（1）求甲、乙两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．
【答案】（1）甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．
（2）甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用；
（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可
【小问1详解】
设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得：
解得
答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．
【小问2详解】
设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元．
由题意得：．
∴ w随m的增大而增大．
又，
∴．
∴ 当时，w有最小值为（元）．
答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．
23. 如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．参考数据：，．
【答案】大楼的高度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，过点作，垂足为．设为．解，，进而根据，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：延长交于点，过点作，垂足为．设为．
在中，，
．
在中，．
．
在中，，
．
在中，．
，即．
，解得．

答：大楼的高度为．
24. 在中，，、分别是、的点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；
（1）先证明，，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出，设，，则．得出，即可得证．
【小问1详解】
)证明： ，
．
，，
．
．
【小问2详解】
，
，即．
设，，则．
．
，即．
25. 如图，在四边形中，，E是边上一点，连接，，作的外接圆交于点F，与相切于点A．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，求证：；
（3）若，，，则的半径为 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理等知识 ：
（1）连接，并延长交于点G，连接证明，证明再由切线的性质可得从而证得即可判断四边形是平行四边形；
（2）证明根据相似三角形的性质可得结论；
（3）分别计算，设的半径为，连接,则在中，根据勾股定理列方程求出，从而得出结论
【小问1详解】
证明：连接，并延长交于点G，连接如图，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∵是的切线，
∴
∴
又
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
证明，由（1）知，四边形是平行四边形，
∴
又
在四边形中，
∴
∵
∴
∴
即
∵
∴
∴
又
∴
∴；
【小问3详解】
解：设与交于点,
由（1）知，垂直平分
由（2）知
∴
∴
∵，，
∴
∴
又
∴在中，
∴
∴，
设的半径为，连接,则
∴
又，
在中，
∴，
解得，
故答案为：
26. 已知二次函数．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；
（2）是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明；
（3）当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是关键；
（1）当时，；当时，，进而即可得到结论；
（2）分别用作差法和二次函数图像的对称性比较大小即可；
（3）分当时和时，对抛物线对称轴位置进行讨论即可
【小问1详解】
解：∵当时，；当时，，
∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；
【小问2详解】
方法一、∵是该函数图像上的两个点，
∴，，
∴
，
∵，
∴，即；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述：
【小问3详解】
解：∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，
∴时，y随x的增大而增大，符合题意；
当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴或
27. 将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．
如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题．
【特殊化】
（1）当点与点重合时，
①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点与点 重合，此时与满足的数量关系为 ．
（2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【一般化】
（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．
【答案】（1）①图见解析；②；
（2）作图见解析
（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，当点与点重合时，作出图形即可；
（2）根据题意即可得到答案；
（3）
【详解】解：（1）①如图所示：
②当点与点重合时，点与点重合，此时与满足的数量关系为．
故答案为：；；
（2）如图所示：
（3）（3）成立．
证明如下：取AB中点G，连接BG，过点D作DH⊥AB，垂足为H．
∵ D、G分别是BC、AB中点，
∴ DGAC，DG＝AC，
∴ ∠GDE＝∠DEC＝45°．
∵ DH⊥AB，∠BAD＝45°，
∴ △AHD是等腰直角三角形．
∴ ∠HDA＝45°，AD＝HD．
∴ ∠HDG＋∠GDA＝∠ODF＋∠GDA＝45°．
∴ ∠HDG＝∠ODF ．
又 ∠DHG＝∠DOF＝90°，
∴ △HDG∽△ODF．
又 O是AD的中点，
∴＝·＝．
∴＝＝，即FD＝DG．
∴ FD＝·AC＝AC，即AC＝FD．
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
102
98
80
93
127
型号
平均里程
中位数
众数
A
B
216
215
220
C
225