浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题

这是一份浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. img src="http：//tikupic./2024/05/13/45/6b/456bda1393f961ef11b6d2ee068c5da1.png" width="2px" height="9px"> 已知复数 ， 则 （ ）
A . 1 B . C . D . 2
2. （ ）
A . B . C . D .
3. 已知向量 ， ， ， （ ）
A . B . C . D .
4. 在中，N是上的点，若 ， 则实数m的值为（ ）
A . B . C . D .
5. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为 ， 的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）.
A . 存在点P，使得与异面 B . 三棱锥的体积与P点位置无关 C . 若P为中点，三棱锥的体积为 D . 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形
6. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度 ， 在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物 ， 高约为 ， 在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和 ， 在B处测得塔顶部D的仰角为 ， 则雷锋塔的高度约为（ ）
A . B . C . D .
7. 设O为的内心， ， ， ， 则 （ ）.
A . B . C . D .
8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且 ， ， 则的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分）(共3题；共18分)
9. 下列命题正确的是（ ）
A . 已知 ， 是两个不共线的向量， ， ， 则与可以作为平面向量的一组基底 B . 在中， ， ， ， 则这样的三角形有两个 C . 已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为 D . 已知 ， ， 若与的夹角为钝角，则k的取值范围为
10. 已知复数 ， ， 下列结论正确的有（ ）
A . B . 若 ， 则 C . D . 若 ， 则点z的集合所构成的图形的面积为
11. 直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为2的球的球面上， ， ， 则该直三棱柱的体积可能是（ ）
A . B . C . D .
三、填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知 ， ， 则向量在向量上的投影向量为.（用坐标表示）
13. 已知圆锥的侧面积为 ， 其侧面展开图是四分之一的圆，则圆锥的体积为.
14. 在中， ， ， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 已知平面向量 ，
（1） 若与垂直，求k；
（2） 若向量 ， 若与共线，求.
16. 如图，在直角梯形中， ， ， ， 以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.
（1） 求该几何体的表面积；
（2） 一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.
17. 已知内角所对的边分别为且与垂直.
（1） 求大小；
（2） 若边上的中线长为 ， 求的面积的最大值.
18. 在三棱锥中，
（1） 若点 ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 上的点，其中 ， .求证： ， ， 三线共点；
（2） 在三棱锥中，所有棱长都为.
①求三棱锥的体积；
②求三棱锥外接球的表面积.
19. 设非空数集M，对于M中任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
（1） 判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
（2） 若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
（3） 设 ， 证明A是数域.