数学（二）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（原卷版+解析版）

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平面直角坐标系与函数命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题01
一次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 18
反比例函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 34
二次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 50
函数综合 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 69
平面直角坐标系
平面直角坐标系是初中数学中非常基础且重要的概念，尤其在中考数学中，关于平面直角坐标系的命题通常会涉及以下几个方面：点坐标的基本性质、 函数与坐标系的结合、与几何图形的结合、实际应用问题等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握基本概念、理解函数与坐标系的关系、掌握几何图形的性质、提高解题能力等。
在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用。

Ⅰ、平面上确定物体位置的方法
1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.
将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.
2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.
3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.
PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.
4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.
5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.
Ⅱ、平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
1. 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.
2.点的坐标
（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：
（2）确定点的坐标的方法：
①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；
②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.
③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.
（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.
（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
二、象限的划分与点的坐标特征
1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示：
2.点的坐标特征
点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下：
PS：原点既在x轴上，又在y轴上.
三、图形变换与点的坐标变化
1.对称点的坐标特征
（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）；
（2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）；
（3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）.
2.图形的变化与坐标特征
对于图形上任意一点A（a，b）
PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.
Ⅲ、函数
一、变量与常量
1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量.
3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示.
二、函数的概念
1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数.
3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应.
4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数.
三、函数的三种常见表示方法
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
四、函数的图像
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
知识点五、函数的自变量与函数值
1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
2.常见函数自变量取值范围的确定：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值.
（1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值.
（2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.
1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（1，3）C．（4，1）D．（3，2）
2．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54B．52C．50D．48
4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3 QUOTE ，点C为平面内一动点，BC QUOTE ，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（ QUOTE ， QUOTE ）B．（ QUOTE ， QUOTE ）
C．（ QUOTE ， QUOTE ）D．（ QUOTE ， QUOTE ）
5．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为 QUOTE ，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6B．3C． QUOTE D． QUOTE
6．（2023•泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 ．
7．（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 ．
8．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（ ）
A．a＜3B．b＞3C．a＞bD．a＜b
3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．17D．5 QUOTE
7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 QUOTE 个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．17D．5 QUOTE
2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/sB． QUOTE cm/sC． QUOTE cm/sD． QUOTE cm/s
3．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023•肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．
5．（2023•铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
6．（2024•北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
7．（2023•七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．
8．（2023•定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、 QUOTE cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
1．在函数 QUOTE 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠3
C．x＞﹣1D．x≥﹣1 且x≠3
2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2D．a＜0或a＞2
3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0），⋯，则A2025的坐标是（ ）
A．（23，﹣22）B．（22，﹣22）C．（45，﹣44）D．（44，﹣44）
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力 QUOTE
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 QUOTE
5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为 ．
6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于 ．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．
一次函数
一次函数在中考数学中的命题预测可能会涉及以下几个方面：一次函数的图像与性质、一次函数的解析式、一次函数的实际应用、一次函数与几何图形的结合。
针对这些可能的命题方向，建议学生：
熟练掌握一次函数的基本概念和性质，包括图像、解析式、斜率、截距等。
学会根据题目条件求一次函数的解析式，并判断函数的性质。
注重一次函数在实际问题中的应用，学会建立一次函数模型来解决实际问题。
加强一次函数与几何图形的结合，通过几何图形来理解和应用一次函数。

Ⅰ、一次函数
一、一次函数、正比例函数的定义
1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数.
3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数.
二、确定一次函数的表达式
1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值.
2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：
（1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）；
（2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）；
（3）解：解方程（组），求出k、b的值；
（4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式.
Ⅱ、一次函数的图像
一、一次函数的图像
1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线.
2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线.
3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点.
4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上.
5.通过描点法画出对应一次函数的步骤：
（1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中；
（2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
（3）连线：将所描的点用直线连接起来.
二、一次函数的图像与性质
1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号.
2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.
三、正比例函数与一次函数图形的关系
1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的.
2.一次函数图像的平移规律
（1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减）
（2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）.
3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下：
Ⅲ、用一次函数解决问题
一、一次函数的应用
应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.
1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：
（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
（2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；
（3）观察图像特征，判断函数的类型.
2.建立一次函数表达式的常用方法
（1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式；
（2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式；
用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、一次函数图像的应用
1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
Ⅳ、一次函数与二元一次方程
一、一次函数与二元一次方程的关系
1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上.
2.二元一次方程与一次函数的区别：
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系.
3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）.
二、一次函数与二元一次方程组
1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.
2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立.
5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
6.方程组解的几何意义
（1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标；
（2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（）
（3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
（4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.
Ⅴ、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
一、一次函数与一元一次方程
1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.
3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
二、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围；
4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围；
5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围；
6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围.
1．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023•荆州）如图，直线y QUOTE x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（ QUOTE ，2）
3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
4．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ．
5．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ．
6．（2023•济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 h后两人相遇．
7．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， QUOTE 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 千米，a＝ ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
8．（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
1．（2023•随县模拟）甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024•龙马潭区一模）如图，直线 QUOTE 经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3， QUOTE ）B．（ QUOTE ， QUOTE ）C．（3， QUOTE ）D．（ QUOTE ， QUOTE ）
3．（2024•丰县一模）甲、乙两地相距540km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．100km/hB．120km/hC．80km/hD．60km/h
4．（2023•阳谷县二模）已知关于x，y的方程组 QUOTE 的解是 QUOTE ，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是 ．
5．（2023•城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
6．（2023•自流井区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ ．
7．（2023•天宁区校级一模）已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
（1）求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
（2）如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量．则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
8．（2023•兴庆区二模）如图：一次函数 QUOTE 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数 QUOTE 图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP．
（1）当△OPM为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；
（2）当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
（3）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
1．（2023•蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y QUOTE x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．4 QUOTE C．8D．6 QUOTE
2．（2023•青山区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 QUOTE ，则a的值是（ ）
A．2 QUOTE B．2 QUOTE C．2 QUOTE D．2 QUOTE
3．（2023•南召县模拟）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①③④C．②④D．①②③
4．（2024•营山县一模）七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用m（单位：元）和购买笔记本总数n（单位：本）的关系为m QUOTE ，如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少m的值为 ．
5．（2023•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
6．（2024•商河县一模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸．
7．（2024•镇海区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E横坐标为3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）在x轴和直线AD上分别找点P，Q，使得B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标．
8．（2024•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过点A（﹣2，6），且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线l2：y＝2x相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线MN与直线l1、l2分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标；
（3）若直线l3：y＝mx+m与线段CD有交点（包括线段CD的两个端点），直接写出m的取值范围．
1．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3）B．（2，6）C．（1，5）D．（0，3）
2．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0B．y随x增大而增大
C．x＝4时，y＝0D．x＞0时，y＞2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
4．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
5．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是 ．
6．小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小聪与小明出发 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 m/min．
7．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子数量a（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1，y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2，y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ （填“过”或“不过”）．
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值；
（4）当m＝1时，将点P（2，n）向右平移2.5个单位得到点N，当线段PN沿直线y＝mx﹣m+4向下平移时，请直接写出线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
反比例函数
在中考数学中，反比例函数的命题可能会从以下几个方面来考察：
反比例函数的图像和性质：可能会考察反比例函数的图像是双曲线，以及当k的值大于0或小于0时，双曲线的位置和增减性等性质。
反比例函数的解析式确定：通过给出图像上一点的坐标或x、y的对应值，来考察如何确定反比例函数的解析式。
反比例函数与其他函数的综合考察：可能会考察反比例函数与一次函数、二次函数等其他函数的图像交点、面积等问题。
反比例函数的实际应用：可能会通过一些实际问题，比如速度、时间、工作量等，来考察如何利用反比例函数来建立数学模型，并解决实际问题。
总之，反比例函数在中考数学中的命题可能会从多个角度来考察，需要同学们掌握反比例函数的图像、性质、解析式确定以及实际应用等方面的知识。同时，也需要注重与其他知识点的综合应用，提高自己的解题能力。

Ⅰ、反比例函数
一、反比例函数的定义
一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
1.反比例函数（为常数，）也可以写成（为常数，）或（为常数，）的形式；
2.反比例函数中，x、y、k均不能为0；
3.成反比例关系的式子不一定是反比例函数，但是成反比例函数（为常数，）的两个变量一定成反比例关系.
二、反比例函数表达式的确定
1.确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式；
2.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：
（1）设：设所求的反比例函数为：；
（2）列：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中.
三、列反比例函数表达式
对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义.
Ⅱ、反比例函数的图像和性质
一、反比例函数的图像及画法
1.反比例函数的图像
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2.用描点法画反比例函数图像的一般步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
PS：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
二、反比例函数的图像和性质
三、反比例函数中比例系数k的几何意义
1.如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，；
2.如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
Ⅲ、用反比例函数解决问题
反比例函数在实际问题中的应用
1.用反比例函数解决问题的两种思路：
（1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
（2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2.列反比例函数解决问题的步骤：
（1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
（3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
（4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
（5）运用函数的图像和性质解决问题.
PS：①在实际问题中，反比例函数的自变量与函数值的取值范围不再是非零实数，一般为正数或正整数；
②平面直角坐标系中的横轴和纵轴的单位长度要根据实际问题来确定，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致，但同一横轴（或纵轴）上的单位长度要一致
1．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y QUOTE 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023•宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
3．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y QUOTE （k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4）B．（2，2）C．（2，4）D．（4，2）
4．（2023•攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO QUOTE ，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y QUOTE 的图象上，则k的值为 ．
5．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y QUOTE （k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．
6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，BA＝BC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数 QUOTE 的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若点E为AC的中点，BD＝2AD，BF﹣CF＝3，则k的值为 ．
7．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线 QUOTE 为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线 QUOTE 上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式 QUOTE 的解集．
8．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y QUOTE （k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式 QUOTE ax+b的解集．
1．（2024•汕头校级模拟）对于反比例函数 QUOTE ，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
2．（2024•道里区模拟）若反比例函数y QUOTE （k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（﹣5，﹣2）C．（1，10）D．（10，﹣1）
3．（2024•荔湾区一模）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数 QUOTE 的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式 QUOTE 的解集是（ ）点M（x，y）所处的位置
坐标特征
象限内的点
点M在第一象限
M（正，正）
点M在第二象限
M（负，正）
点M在第三象限
M（负，负）
点M在第四象限
M（正，负）
坐标轴上的点
点M在x轴上
在x轴正半轴上
M（正，0）
在x轴负半轴上
M（负，0）
点M在y轴上
在y轴正半轴上
M（0，正）
在y轴负半轴上
M（0，负）
原点
M（0，）
象限角平分线上的点
点M在第一、三象限角平分线上
M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上
M（x，y）且x＝－y
两点连线与坐标轴平行
MN∥x轴/MN⊥y轴
M、N两点纵坐标相等
MN∥y轴/MN⊥x轴
M、N两点横坐标相等
图形变化
对应图形
点A变化后的对应坐标
变化后点的坐标特征
平移变换（k＞0）
向上平移k个单位长度
A1（a，b＋k）
横坐标不变，纵坐标加k
向上平移k个单位长度
A2（a，b＋k）
横坐标不变，纵坐标减k
向上平移k个单位长度
A3（a，b＋k）
纵坐标不变，横坐标加k
向上平移k个单位长度
A4（a，b＋k）
纵坐标不变，横坐标减k
对称变换
关于x轴对称
A5（a，b＋k）
横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数
关于y轴对称
A6（a，b＋k）
纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数
表示法
定义
优点
缺点
列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法
一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值
列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法
两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法
能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系
求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来
图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法
能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势
由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值
输入x
…
2
5
7
9
11
…
输出y
…
5
4
10
16
22
…
一次函数
y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）
k、b的符号
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜0
b＞0
b＝0
b＜0
图像
趋势
从左向右上升
从左向右下降
性质
函数值y随自变量x增大而增大
函数值y随自变量x增大而减小
与y轴交点的位置
正半轴
原点
负半轴
正半轴
原点
负半轴
经过的象限
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
k1，k2，b1，b2的关系
l1与l2的关系
k1≠k2
l1与l2相交
k1≠k2，b1＝b2
l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2）
k1＝k2，b1≠b2
l1与l2平行
k1＝k2，b1＝b2
l1与l2重合
反比例函数
（k为常数，）
x、y的取值范围
k的符号
图像
图像的位置
图像在第一、三象限
图像在第二、四象限
图像的特征
（1）图像是关于直线和对称的双曲线；
（2）图像是关于原点对称的双曲线；
（3）图像各分支的延伸部分无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
性质
在每一个象限内，y随x的增大而减小
在每一个象限内，y随x的增大而增大