2024年江苏省南通市高考数学第四次模拟试题及答案与解析

这是一份2024年江苏省南通市高考数学第四次模拟试题及答案与解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．福佑崇文阁专供
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（ ）
A．12种B．24种C．30种D．60种
3．已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为为过点的弦，为的中点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，，事件“”，事件“”，事件“”，则（ ）
A．B．C．，互斥D．，相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离比到轴的距离大2
B．点到直线的最小距离为
C．以为直径的圆与轴相切
D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形
11．设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则______．
13．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为，，，，则______，数列的通项公式______．
14．在梯形中，，，则该梯形周长的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设，函数．
（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程：
（2）是函数的两个极值点，证明：为定值．
16．（15分）
如图，在四棱台中，平面，，，，，．
（1）记平面与平面的交线为，证明：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分）
某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：
并计算得，．
（1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；
（2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．
附：回归直线方程，其中．
18．（17分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为．
（1）求的方程；
（2）过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值．
19．（17分）
设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“min点”
（1）若，求数列的“min点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为2，前项和为．若数列存在“min点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“min点”的个数为，证明：．
高三练习卷（南通四模）
数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．福佑崇文阁专供
1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C
5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】ACD10．【答案】BC11．【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】2513．【答案】1242，14．【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）当时，，则导数．
设切点为，则，
所以切线方程为．
又切线过点，则，
整理得，，解得．
所以过点且与曲线相切的直线方程为．
（2）证明：依题意，，令，得．
不妨设，则．
，
所以为定值．
16．证明：（1）因为，平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，
所以．
解：（2）在中，，，．
由余弦定理得，，则，得．
又，则．
因为平面，
所以．
又，所以平面．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，
则
令，得，所以．
又是平面的一个法向量．
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．解：（1）依题意，，
，所以．
当时，，
答：第10天入校参观的人数约为14.99千人．
（2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求．
则，
，
所以．
答：他们从不同门进校的概率为．
18．解：（1）在中，
因为，所以．
所以的面积，
解得．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因为在双曲线上，所以，得．
所以的方程为．
（2）法1：设，则，
当直线轴时，设直线与交于点，
所以，即
所以．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
，利用对称性不妨设在直线上．
联立得．
联立并消去，得，
所以．
则，
同理，得．
所以
（当且仅当时，取等号，满足），
综上，的最小值为1．
（3）法2：设，则，
当垂直轴时，设的方程为：，
则．
因为两式相减，得，所以．
当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去并化简，
得．
所以
则，同理．
所以
．
综上所述，当轴时，的最小值为1．
19．解：（1）因为，
所以数列的“min点”为3，5．
（2）依题意，，
因为数列存在“min点”，所以存在，使得，
所以，即．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“min点”，
所以的取值范围为．
（3）①若，则数列不存在“min点”，即．
由得，，所以．
②若存在，使得．下证数列有“min点”．
证明：若，则2是数列的“min点”；
若，因为存在，使得，所以设数列中第1个小于的项为，则，所以是数列的第1个“min点”．
综上，数列存在“min点”．
不妨设数列的“min点”由小到大依次为，则是中第1个小于的项，故，
因为，所以，所以，所以．
所以
（个1）．
所以．综上，，得证．
样本号
1
2
3
4
5
第天
1
2
3
4
5
参观人数
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
0
0
极大值
极小值