湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题（Word版附答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则A的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
2．展开式中的系数为（ ）
A．B．5C．15D．35
3．已知数列中，，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2B．C．3D．
5．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A．0.96B．0.97C．0.98D．0.99
6．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为复数，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则的最小值为2D．若，则或
10．若函数，则（ ）
A．的图象关于对称B．在上单调递增
C．的极小值点为D．有两个零点
11．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．直三棱柱体积的最大值为
B．三棱锥与三棱锥的体积相等
C．当，且时，三棱锥外接球的表面积为
D．设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则= ．
13．已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 .
14．“序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，求的值.
16．已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
18．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．

(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解.
【详解】由题意可得：，
可知A有3个元素，所以A的子集个数为.
故选：C.
2．A
【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解.
【详解】若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
3．C
【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.
【详解】由，得
，
，
，
，
，
，
则是以6为周期的周期数列，
所以.
故选：C
4．A
【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，
又因为底面边长为，
所以底面正三角形的内切圆的半径为，
又因为球的半径，即，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以，
又因为，所以,
因为，所以，
又由题意可知，平面，所以，
所以
所以，
所以.
故选：A.
5．C
【分析】根据题意，由全概率和条件概率的公式计算即可.
【详解】设事件为“患有该疾病”，为“化验结果呈阳性”，
由题意可得，，，
因为，
所以，解得，
所以该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为，
故选：C.
6．D
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【详解】依题意，函数，
当时，，显然，
且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
7．C
【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.
【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，
则，故该球的表面积为.
故选：C
8．C
【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.
【详解】令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，
即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为：
，，联立消去得：，
整理得，令直线的方程为，
于是，即点的横坐标为，
因此，所以双曲线的离心率.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
9．BD
【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；设，由复数的几何意义计算模长判断C；由得，即可判断D.
【详解】对于A，若，则，，则，故A错误；
对于B，设，则，
所以，而，
所以，故B正确；
对于C，设，因为，所以，
所以，
因为，所以，所以的最小值为1，故C错误；
对于D，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一个为0，故D正确.
故选：BD
10．AC
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D.
【详解】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确；
又
，
当时，，即在上单调递减，故B错误；
当时，，即在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值点为，极大值点为，故C正确；
又，
且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，
所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，
故无零点，故D错误．
故选：AC．
11．BCD
【分析】A选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B选项：根据等体积转化可判断；C选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.
【详解】A选项：由已知可得，又，
所以，即体积的最大值为，A选项错误；
B选项：如图所示，
由点为的中点，则，设点到平面的距离为，
则，，
又，所以，所以，B选项正确；
C选项：如图所示，
由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，
所以外接球半径为，外接球表面积为，C选项正确；
D选项：如图所示，
取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，
则，即，
设，，
易知，，
则，，
则，,，
所以，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确；
故选：BCD.
12．
【分析】在中，由余弦定理可得，结合已知求得，再由正弦定理可求得.
【详解】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因为，所以，所以
解得，
由，可得，
在中，由正弦定理可得，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】对求导，利用导数判断其单调性和最值，令，整理得可得，构建，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数列式求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，可得，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
作出的图象，如图所示，
对于关于x的方程，
令，可得，整理得，
且不为方程的根，
可知方程等价于，
若方程有三个不相等的实数解，
可知有两个不同的实数根，
且或或，
构建，
若，则，解得；
若，则，解得，
此时方程为，解得，不合题意；
若，则，解得，
此时方程为，解得，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
14．
【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④，可得，分别研究为奇数和偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果.
【详解】因为，依题意得，，，
显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0，
由此可得中共有项，其中1和的项数相同，
设中有项为0，1和的项数相同都为，所以，，
从而①，
因为表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，
得到新的有序实数组，
则②，
①②得③，
所以④，
④③得，
所以当为奇数且时，，
经检验，当时符合，所以(为奇数)，
当为偶数，则为奇数，又因为，
所以，
所以，
当为奇数时，，
所以的前10项和为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合已学数学知识进行解答.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求角；
（2）法一，根据两角和差公式和正弦定理化简已知，可得，再结合余弦定理求解；法二：利用余弦定理化简已知得，再结合余弦定理求解.
【详解】（1），，
，
，，
，；
（2），
法一：，
，
，
根据正弦定理得，
由余弦定理得 ①
将代入①式，得，
，；
法二：，
，
，
由余弦定理得 ①
将代入①式，得，
，.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【详解】（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
17．(1)适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
(2)
(3)估计2024年的企业利润为93.3亿元
【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解.
【详解】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设中点为O，证明平面，从而得，结合，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）设中点为O，连接，为等边三角形，故，
由题意知平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，平面，
故平面，平面，故，
又M为的中点，为等边三角形，则,
平面，
所以⊥平面；
（2）由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，
故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
19．(1)
(2)
【分析】(1)由已知条件得，再表示出通径长，解方程组即可求得；
(2) 设直线方程为,由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示的面积，得到一个关于的函数最大值问题，利用导数求出取最大值时的值，再求出此时的值即可，注意斜率不存在的情况讨论与比较.
【详解】（1）由题椭圆的左焦点为，
即①；
当时，，
又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②，
由①②得：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得：
已知直线与椭圆相切，所以，
化简得：；
又O到直线的距离为，
设P到直线的距离为，则，
则的面积，
令,
得,
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值,
当斜率不存在时，可得，
此时的面积，
因为，所以，
综上：的面积最大值为，此时
故的面积最大时直线的斜率为.