浙江省绍兴市2024年中考数学一模考试试卷

这是一份浙江省绍兴市2024年中考数学一模考试试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 在−4，−1，0，1这四个数中，比−2小的数是（ ）
A．−4B．−1C．0D．1
2． 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3． 下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a2=3a4B．a6÷a2=a3
C．(a−b)2=a2−b2D．(ab)3=a3b3
4． 平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，则AO不可能是△ABD的（ ）
A．中线B．高线C．中位线D．角平分线
5． 为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．13B．12C．23D．56
6． 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（ ）
A．x+y=1000119x+47y=999B．x+y=1000911x+74y=999
C．x+y=99911x+4y=1000D．x+y=9999x+7y=1000
7． 学习了“三角形中位线定理”后，在“△ABC中，D，E分别是边AB,AC上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
②若D是AB的中点，DE=12BC，则E是AC的中点．
③若DE∥BC，DE=12BC，则D，E分别是AB,AC中点．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8． 如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°．将四边形EBCF沿EF折叠得到四边形EB'C'F，且点B'恰好在AD边上，连结EC'，则EC'的长是（ ）
A．4B．13C．23D．11
9． 开口向下抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,0)，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．4a+b=0B．3a+b=0C．2a+b=0D．a+b=0
10． 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（ ）
A．5−12B．3−52C．5−212D．35
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：x2y﹣y= ．
12． 在平面直角坐标系中，将点P(−3,−2)水平向右平移a个单位后落在第四象限内，则a的值可以是 ．（写出一个即可）
13． 不等式x−12>2x−1的解集是 ．
14． 如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，作AC⊥AB交AB于点A，AC交⊙O于C，D两点，若AB=3，AC=9，则⊙O的半径长是 ．
15． 如图，在平面直角坐标系中，点A(1,1)，B(1,5)，动点C在线段AB上（不与端点重合），点B绕点C顺时针旋转90°得到点D，若点D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的取值范围是 ．
16． 某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．
（1）计算：(2024−π)0+(12)−2−2tan45°．
（2）解方程：x+32x−1=35．
18． 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
（1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．
（2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
19． 图1是一款用于汽车抬升螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，螺杆AC与水平地面平行．
（1）当∠DAC=30°时，求千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长．
（2）当∠DAC由30°变为40°时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长将增加多少？（结果精确到0.1cm．参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）
20． 图1，图2，图3均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结BP，使∠ABP=45°．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结PQ，使直线PQ⊥AB．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结PQ交线段AB于点C，使AC=3BC．
21． 学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度y（cm）与它所受到的拉力x（N）（0≤x≤6）之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．
实验中，他观察到当拉力为2N时，弹簧长度为6cm，同时还收集到了如下数据：
（1）在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是多少？
（2）求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式．
（3）当弹簧的长度为10cm时，求弹簧受到的拉力x的值．
22．
（1）【探究发现】如图1，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN=CN．
（2）【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于N点，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M，若AD=2，BC=3，求EMMF的值．
（3）【综合提升】如图3，平行四边形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，动点E在边AB上，过E作EF∥BD交AC于点F，过F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG，求EG的最小值．
23． 已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x1+x22,y3)，点A与点B不重合．
（1）若点A，B，C都在函数y=2x图象上，计算y1+y22−y3的值．
（2）若点A，B，C都在函数y=2x2的图象上，求证：y1+y22−y3>0．
（3）若点A，B，C都在函数y=kx（x>0，常数k≠0）的图象上，判断y1+y22与y3的大小关系，并说明理由．
24． 如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，BC=2CD，连结AB，AD．
（1）如图1，若∠D=50°，求∠CAD的度数．
（2）如图2，点N在弦AD上，作MN⊥AD，MN分别交弦AB，AC于点M，P，MN=BE，过B作BF∥MN交AC于点F．
①求证：BF=MN．
②如图3，连结ME，若BM=4，ME=211，求AP，PE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】y（x+1）（x﹣1）
12．【答案】4（答案不唯一）
13．【答案】x<13
14．【答案】5
15．【答案】516．【答案】9
17．【答案】（1）解：原式=1+4−2×1
=1+4−2
=3；
（2）解：方程左右两边同时乘以5(2x−1)得：5(x+3)=3(2x−1)，
∴x=18．
检验：当x=18时，5(2x−1)≠0，
∴原方程的解是x=18．
18．【答案】（1）解：调查的总人数有：15÷25%=60（人），
调查的学生中喜爱篮球的人数：60×35%=21（人）；
（2）解：根据题意得：520×2460=208（人），
答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人．
19．【答案】（1）解：如图，连结BD，
∵AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，∠DAC=30°，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC=30°，BD⊥AC，
∴∠DAB=60°．
∴△ABD是正三角形，
∴BD=AB=20cm，
∴千斤顶顶部到水平地面的距离BD为20cm．
（2）解：如图，连结BD，BD与AC交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC=40°，BD⊥AC，OB=OD，
在Rt△AOD中，
∵sin∠DAO=DOAD，
∴DO=AD⋅sin∠DAO≈20×0.64=12.80，
∴BD=2DO≈25.60，
∵25.6−20=5.60(cm)，
∴千斤顶顶部到水平地面的距离BD将增加5.6cm．
20．【答案】（1）解：如图1，P'和P″均满足题意．
（2）解：如图2，P，Q即为所求（答案不唯一）．
（3）解：如图3，取格点P，Q，使AP=3BQ，且AP∥BQ，
此时△APC∽△BQC，
∴AC：BC=AP：BQ=3：1，
即AC=3BC，
则P，Q即为所求．
21．【答案】（1）解：∵当拉力为2N时，弹簧长度为6cm，根据表格，当拉力x=2N时，弹簧伸长的长度y=4cm，
∴ 受到的拉力为0N时，弹簧的长度为：6−4=2cm．
答：在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是2cm．
（2）解：∵ 弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，
∴ 设弹簧的长度为m=kx+b，则弹簧伸长的长度y=m−2，即y=kx+b−2，
将(1,2)，(2,4)代入计算得b=2，k=2，
∴y=2x(0≤x≤6)．
（3）解：当弹簧长度为10cm时，弹簧伸长了8cm，
∴ 2x=8，解得x=4．
答：当弹簧的长度为10cm时，所受到的拉力为4N．
22．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，则∠ADM=∠ABN,∠AEM=∠ACN，
∵∠DAM=∠BAN，∠EAM=CAN，
∴△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，
∴DMBN=AMAN，MENC=AMAN，
∴DMBN=MENC．
∵M为DE中点，即DM=ME，
∴BN=NC．
（2）解：∵EF∥BD，
∴△AEM∽△ABN，△AMF∽△AND，
∴EMBN=AMAN=MFND，
∴EMMF=BNND．
∵AD∥BC，AD=2,BC=3，
∴△ADN∽△CBN，
∴BNND=BCAD=32，
∴EMMF=BNND=32．
（3）解：延长EF交AD于P，连结PG．
在ABCD中，AC，BD交于点O，则O为BD中点，
∵EP∥BD，由（1）可得EF=FP，
∵FG⊥EF，
∴EG=PG（线段垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离相等），
∴当PG⊥BC时，PG取到最小值，即此时EG取得最小值．
过A作AH⊥BC，H为垂足，则AH=PG（平行线之间的距离处处相等）
∵AB=4，∠ABC=60°，AH=4sin60°=23，
∴PG的最小值为23（见下右图）．
即EG的最小值是23．
23．【答案】（1）解：∵点A，B，C都在函数y=2x的图象上，
∴y1=2x1，y2=2x2，y3=2×x1+x22=x1+x2
∴y1+y22−y3=2x1+2x22−(x1+x2)=0
（2）解：∵点A，B，C都在函数y=2x2的图象上，
∴y1=2x12，y2=2x22，y3=2(x1+x22)2，
∴y1+y22−y3=2x12+2x222−2(x1+x22)2=2x12+2x22−(x1+x2)22=(x1−x2)22．
又∵x1≠x2，∴(x2−x1)2>0，
∴y1+y22−y3>0．
（3）解：∵点A，B，C都在函数y=kx（x>0，常数k≠0）图象上，
∴y1=kx1，y2=kx2，y3=2kx1+x2，
∴y1+y22−y3=k2x1+k2x2−2kx1+x2=k(x2+x12x1x2−2x1+x2)
=k⋅(x2+x1)2−4x1x22x1x2(x1+x2)=k(x2−x1)22x1x2(x1+x2)．
∵x1>0，x2>0，∴x1+x2>0，又∵x1≠x2，∴(x2−x1)2>0，
当k>0时，y1+y22>y3；
当k<0时，y1+y2224．【答案】（1）解：∵∠D=50°，
∴AB的度数为100°，
∵AC是⊙O直径，
∴BC的度数为：180°−100°=80°，
∵BC=2CD，
∴CD的度数为40°，
∴∠CAD=20°，
∴∠CAD的度数为20°；
（2）解：①证明：连结BC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠CAD和∠CBD是CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠CBD，
令∠CAD=∠CBD=x，
∴∠ABE=∠ABC−∠CBD=90°−x，CD的度数为2x，
∵BC=2CD，
∴BC的度数为4x，
∴∠BAC=2x，
∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE=180°−2x−(90°−x)=90°−x，
∵MN⊥AD，
∴∠MPC=∠APN=90°−∠PAN=90°−x，
∵BF∥MN，
∴∠BFE=∠MPC=90°−x，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BE=BF，
∵MN=BE，
∴BF=MN；
②解：连结FN，
由①知：BF=MN，
又∵BF∥MN，BM=4，ME=211，
∴四边形MNFB是平行四边形，
∴NF∥MB，NF=MB=4，
∴∠FND=∠BAN=∠BAC+∠CAD=2x+x=3x，∠AFN=∠BAE=2x，
取AP的中点Q，连结QN，
∵MN⊥AD，
∴AQ=QP=QN，
∴∠QNA=∠QAN=x，
∴∠PQN=∠QNA+∠QAN=x+x=2x，
∴∠PQN=2x=∠AFN，
∴QN=NF=4，
∴AP=2QN=2×4=8，
过M作MT∥BE交AC于点T，过M作MH⊥AC交AC于点H，
∴∠MTA=∠BEA=90°−x=∠MPE，
∴MT=MP，
∴PH=HT，
设PH=HT=a(a>0)，
由①知：∠ABE=90°−x=∠AEB，
∴∠AMT=∠ABE=∠AEB=∠ATM，AB=AE，
∴AM=AT=AP+PT=8+2a，
∴TE=BM=4，
在Rt△MHA与Rt△MHE中，AM2−AH2=MH2=ME2−HE2，
∴(8+2a)2−(8+a)2=(211)2−(a+4)2，
解得：a=1或a=−7（负值不符合题意，舍去），
∴PE=PT+TE=PH+HT+TE=1+1+4=6，
∴AP=8，PE=6．弹簧受到的拉力x（N）
0.5
1
1.5
2
…
6
弹簧伸长的长度y（cm）
1
2
3
4
…
12