精品解析：重庆市九龙坡区九龙坡区实验外国语学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列手机品牌标志是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项分析解题．
【详解】解：A、该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意；
C、该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据算术平方根、立方根、平方根的性质求解即可．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根、立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
3. 如图，三角形的一边在直线n上，直线，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线的性质和三角形外角的定义，即可得到答案．
【详解】解：如图，

直线，，
，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
4. 估计的值在（ ）
A. 4到5之间B. 3到4之间C. 2到3之间D. 1到2之间
【答案】C
【解析】
【分析】首先估计的值在哪两个整数之间，再估计的值，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
即的值在2到3之间，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键．
5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到答案．
详解】解： ，不能两边平方，即并不一定成立，故A错误；
当， ，即B错误；
，，即C正确；
， ，即D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
6. 已知一个三角形的两边a，b满足，则此三角形的第三边不可能为（ ）
A. 3B. 8C. 13D. 19
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的性质得出的值，根据三角形三边关系求得第三边c的范围，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∵为三角形其中两边长，
∴第三边c的范围：，即，
∴则此三角形的第三边不可能为19，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．
7. 下列命题错误的是（ ）
A. 在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
B. 平行于同一直线的两直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行
D. 一个角的平分线是它的对称轴
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的定义及性质，对称轴的定义，平行线的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：A、在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确．本选项不符合题意．
B、平行于同一直线的两直线平行，正确，本选项不符合题意．
C、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，正确，本选项不符合题意．
D、一个角的平分线是一条射线，一个角的对称轴是一条直线，故原说法错误，本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定,角平分线的定义，对称轴的定义，解题的关键是熟练掌握一个角的平分线是一条射线，一个角的对称轴是一条直线，．
8. 为奖励在“外语文化节”汇演中表现突出的同学，班主任派小林到文具店为获奖同学购买奖品，小林发现，购买15个笔记本和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个笔记本，多购买2支钢笔，则购买笔记本比钢笔少花36元，设笔记本单价为x元，钢笔单价为y元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“购买15个笔记本和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个笔记本，多购买2支钢笔，则购买笔记本比钢笔少花36元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发，依次经过点，，，，……根据这个规律，探究可得的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形得出从开始，点的横坐标依次是、0、0、0、1、2、2、2、3、4、4、4、…、n，纵坐标依次是0、、0、2、0、、…，结合图形可知四个为一组，即可求解．
【详解】解：由图形得出从开始，点的横坐标依次是、0、0、0、1、2、2、2、3、4、4、4、…、n，纵坐标依次是0、、0、2、0、、…，四个为一组，
即两个相邻循环的起点相距2，
∵，
∴的横坐标为，的纵坐标为，
∴的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点坐标规律，解题的关键是根据图形得出规律．
10. 已知，，则下列说法：
①若，，则；
②若的值与x的取值无关，则，；
③当，时，若，则或；
④当，，有最小值为7，此时．正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】代入，直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，根据，则有：，解方程即可求解；④代入，，可得，即有， 再分类讨论去绝对值即可作答．
【详解】①若，，∵，，
∴，，
则，正确；
②∵，，
∴，
∵的值与x的取值无关，
∴，，
则，，正确；
③当，时，∵，，
∴，，
即：，
若，
则有：，
则或，正确；
④当，，∵，，
∴，，
即：，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
即有最小值为7，此时，正确．
即正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________．
【答案】8
【解析】
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．
【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．
12. 点关于y轴的对称点，则点P的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出结论即可．
【详解】∵关于y轴的对称点，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特征，正确把握横纵坐标关系是解题关键．
13. 已知点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据轴可知，两点的横坐标相同，列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：点，点，轴，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相同是解题的关键．
14. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，若，则的度数为_______．

【答案】##18度
【解析】
【分析】由垂直平分线的性质可得，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，则．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等腰三角形中等边对等角．
15. 如图，在中，过点A作于D，过点B作于F交于E，已知，，，则的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】先证，再由全等三角形的对应边相等得，再根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是证明．
16. 如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为_________．用含的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】过作于，于，即可得到，得到，再由四边形内角和可得，即可根据求解．
【详解】过作于，于，则

∵平分，
∴，
∵点D是的中点，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，利用角平分线的性质作辅助线是解题的关键．
17. 已知关于x、y方程组的解均为正整数，且关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，则满足条件的整数a的和为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意，解不等式组的解集为：，根据关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，则这三个整数解为：，，，可得，即有；再解解关于x，y的方程组得，根据解为正整数，可得整数a为1，3，问题得解．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，
则这三个整数解为：，，，
∴，
解得：，
整数a的值为1，2，3，4，
解关于x，y的方程组得，
关于x，y的方程组的解为正整数，
∴满足条件的整数a为1和3，其和为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键．
18. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．如，“异友数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．算：________．“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则n的值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据和“异友数”的定义计算即可即可．
【详解】∵去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：，这四个三位数之和为，，
∴；
设“异友数”n的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字是，
∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”
∴
，且，
∴，
∴去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：，这四个三位数之和为，，
∴，
∵能被13整除，
∴能被13整除，
当时，，，存在使能被13整除，但，故不符合题意；
当时，，，在范围内不存在整数使能被13整除；
当时，，存在使能被13整除，此时；（不符合题意，舍去）
当时，，存在使能被13整除，此时；
综上所述，；
故答案为：；
【点睛】本题考查整式加减的应用，考查方式比较新颖，理解“异友数”的具体特征是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）
19. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及算术平方根定义计算即可求出值；
（2）先将方程组整理，再利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及方程组的解法是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中x，y满足．
【答案】，
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，根据绝对值和平方的非负性求出x、y的值，最后代入求解即可．
【详解】
．
∵，满足，
又∵，，
∴，，
∴，，
当，时，
原式.
【点睛】此题考查了整式化简求值，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性、通过整式加减运算化简．
21. 如图，已知在中，，于点．

（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
【答案】（1）见解析；（2）；；；；
【解析】
【分析】（1）根据题意，作的平分线交于点，交于点；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证．
【详解】（1）如图所示，

（2）
又
平分
．
故答案为：；；；；．
【点睛】本题考查了作角平分线，等角余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 为了迎接重庆外国语学校六十华诞，学校组织开展以“学校事，我知道”为主题的知识竞赛.校学生会在初一年级学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行了统计，将成绩分为A（不了解）、B（了解很少）、C（基本了解）、D（非常了解）四类，制成了如下不完整的统计图（如图所示）：

请根据统计图所提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了_______名学生的成绩，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，选择B（了解很少）的人数所对应的圆心角度数_______；
（3）已知我校初一年级现有学生1900名，估计初一年级“基本了解”和“非常了解”的学生共有多少人？
【答案】（1），图形见解析
（2）
（3）估计初一年级“基本了解”和“非常了解”的学生共有人
【解析】
【分析】（1）根据A组的数据即可求出共抽取的人数，再求出D组的人数即可补全图形；
（2）先求出选择B（了解很少）的人数所占的百分比即可；
（3）先估计初一年级“基本了解”和“非常了解”的学生所占的百分比，再计算即可．
【小问1详解】
本次调查共抽取学生的成绩人数：（名），
D（非常了解）的人数为：（名），
补全条形统计图如下：

故答案为：；
【小问2详解】
选择B（了解很少）的人数所对应的圆心角度数，
故答案为：；
【小问3详解】
估计初一年级“基本了解”和“非常了解”的学生共有（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三个顶点的坐标分别为，，．

（1）将向右平移5个单位再向下平移1个单位得到，在图中作出，并写出点的坐标_______；
（2）在图中作出关于x轴的对称图形，点A、B、C的对应点分别为、、；
（3）求的面积．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析 （3）4
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作出即可，结合图形可得的坐标；
（2）根据轴对称的性质作出即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，

由图象可知：的坐标为，
故答案为：；
小问2详解】
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
的面积．
【点睛】本题考查平移和轴对称作图，三角形面积的计算，熟练掌握利用平移与轴对称的性质作图是解题的关键．
24. 为了迎接重庆外国语学校六十华诞，世界各地的校友纷纷开始购买重外吉祥物虎虎和威威，某网红店欲购进虎虎、威威两种吉祥物进行销售．购进10件虎虎比购进15件威威少20元，若购进30件虎虎和20件威威共需720元．
（1）求虎虎、威威两种吉祥物每件进价分别为多少元？
（2）据市场调研：每件虎虎吉祥物的标价为20元，每件威威吉祥物的标价为18元，该店决定恰好用24000元购进虎虎、威威两种吉祥物，为了回馈广大校友，虎虎吉祥物按标价的九折出售，威威吉祥物按标价优惠3元，但总利润不少于4000元，求虎虎吉祥物最多购进几件？
【答案】（1）虎虎、威威两种吉祥物每件进价分别为元
（2）虎虎吉祥物最多购进件
【解析】
【分析】（1）设虎虎、威威两种吉祥物每件进价分别为元，根据题意列方程计算即可；
（2）设虎虎、威威两种吉祥物分别购进件，根据题意列不等式和方程，再计算即可．
【小问1详解】
设虎虎、威威两种吉祥物每件进价分别为元，
依题意得：，
解得,
即虎虎、威威两种吉祥物每件进价分别为元；
【小问2详解】
设虎虎、威威两种吉祥物分别购进件，
依题意得：，
由可得，代入可得：，
解得：，
∴虎虎吉祥物最多购进件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程或不等式．
25. 在中，，点E、点D分别是、上一点，连接、，且．

（1）如图1，当，时，求的度数；
（2）如图2，取的中点F，连接，若．求证：．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角即三角形内角和定理可得， ，根据，可得，问题随之得解；
（2）过C点作，交的延长于点G，根据平行可推出，先证明，即有，再证明，问题得解．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，过C点作，交的延长于点G，

∵，
∴，，
∵，
∴，，
即，
∵的中点为F，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，连接、，，．

（1）直接写出点A、点B的坐标；
（2）动点P从点C出发，以每秒2个单位速度沿的方向运动，设运动时间为t，是否存在某一时刻，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过O作于D，此时，点M为x轴上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接、，当取最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1），
（2）存在，的值为秒或秒
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，求出、的长即可得点A、点B的坐标；
（2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出、的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出即可得答案；
（3）利用三角形面积求出，根据折叠的性质可得：，根据三角形三边关系可得点N在线段上时，取最小值，根据可求出的长，即可得出的长，根据三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，
∴，．
【小问2详解】
存在，如图，当点在上时，过点作于D，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动，运动时间为t，
∴，
∴，
解得：，
如图，当点P在线段上时，

∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动，运动时间为t，
∴，
∴，
解得：
综上：的值为秒或者秒．
【小问3详解】
如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得：，
∵，（当点、、三点共线时，取等号）
∴当点N在线段上时，取最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当取最小值时， 的面积为．
【点睛】本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题、折叠性质及三角形三边关系的应用，正确表示出、的长，利用面积法求高及分类讨论是解题关键．