精品解析：重庆市渝中区求精中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

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1. 下面4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A. 阿基米德螺旋线B. 笛卡尔心形线C. 赵爽弦图D. 太极图
【答案】B
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．进行解答即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟记定义进行解题
2. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ）
A. 调查某品牌冰淇淋的甜度B. 对重庆市初中生每周做家务情况的调查
C. 对求精中学初一（1）班学生身高情况的调查D. 调查一批洗衣机的使用寿命
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查抽样调查和全面调查的知识，熟练掌握抽样调查和全面调查的知识是解题的关键．
【详解】解：A选项，调查某品牌冰淇淋的甜度，应采用抽样调查；
B选项，对重庆市初中生每周做家务情况的调查，应采用抽样调查；
C选项，对求精中学初一（1）班学生身高情况的调查，应采用全面调查；
D选项，调查一批洗衣机的使用寿命，应采用抽样调查；
故选：C．
【点睛】本题主要考查抽样调查和全面调查的知识，熟练掌握抽样调查和全面调查的知识是解题的关键．
3. 在下列图形中，能由得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质，即可解答．
【详解】解：A．，
，故A不符合题意；
B．根据，才能得到，故B不符合题意；
C．根据可得出，，当时，才能得出，故C不符合题意；
D．根据，理由两直线平行内错角相等，可得到，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线性质，解题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4. 与最接近的整数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵4＜5＜6.25，
∴2＜＜2.5，
∴与最接近的整数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中三角形的个数，从而可以发现三角形个数的变化规律，进而得到第⑧个图案中三角形的个数．
【详解】解：由图可知，
第①个图案中三角形的个数为：（个），
第②个图案中三角形的个数为：（个），
第③个图案中三角形的个数为：（个），
则第⑧个图案中三角形的个数为：（个），
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
6. 关于x的不等式解集为，则a的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为即可得到关于a的方程，解方程即可得答案．
【详解】解：解不等式得：，
∵不等式的解集为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质．
7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
8. 如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A. 148°B. 116°C. 32°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．
【详解】根据折叠的性质有：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
9. 若关于x和y的方程组的解满足方程，则k为（ ）．
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用得，再结合即可求出k值．
【详解】解：由已知，
得，即，
∵，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，找出是解题的关键．
10. 如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时,的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据,可以得知，；由于分别平分,可知，.
【详解】解：∵，和为内错角，
∴，①正确；
∵，，
∴，
∴
又∵角平分线，
∴，，
∴，②正确；
∵，
又∵，即
∴,③错误；
∵,
又∵为的角平分线
∴，④正确；
故选：C .
【点睛】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，记住基本的结论，此类题目便可迎刃而解.
二、填空题
11. 为了解某地区八年级学生的身高情况，从名学生中任意抽取名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据样本容量的定义解答；
【详解】解：由题意：从名学生中任意抽取名学生的身高进行统计，
∴样本容量是，
故答案为：；
【点睛】本题考查样本容量的概念：样本容量指的是样本中个体的数目，它只是一个数字，不带单位；熟记定义是解题关键．
12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
【答案】七
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，属于应知应会题型，熟练掌握二者的概念是解题的关键．
14. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E．若，则的度数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据可得到，又根据是的垂直平分线，得到，根据三角形内角和，通过等量代换可求出的度数，,进而求解．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
在中，，
有，即，
∴
∴
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理等知识点，熟练掌握相关性质是求解的关键．
15. 在平面直角坐标系中，若点，，且，则_______．
【答案】或
【解析】
【分析】观察点的纵坐标相等，则轴，的长度等于横坐标之差，进而即可求解．
【详解】解：∵点，，且，
∴或
解得：或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，理解点的坐标的意义是解题的关键．
16. 如图，在中，，D，E是内的两点，平分，，若，，则的长是______．
【答案】16
【解析】
【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出为等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质求得，从而得出的长，进而求出答案．
【详解】解：延长交于M，延长交于N，
∵，平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质，能求出的长是解决问题的关键．
17. 关于x的不等式组的解集为，且关于x的一次方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集为求出，再解方程，根据方程有非负整数解求出，则，由此即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解方程得：，
∵方程有非负整数解，
∴，
∴，
综上所述，，
∴所有满足条件的整数a的和为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组和方程相结合的问题，正确解不等式组和解方程是解题的关键．
18. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为，所以234是“尚美数”；
材料二：若（且a，b，c均为整数），记，若是“尚美数”，则m的值为_____，
已知，是两个不同的“尚美数”（且y，z，m，n均为整数），且能被13整除，则的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）运用“尚美数”的定义可得出结论；
（2）根据，是两个不同的“尚美数”，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】∵是“尚美数”，
∴，
解得，，
∴；
∵，是不同的尚美数，
∴，
得．
∴
，
∴
．
∵，
∴．
∵能被13整除，
∴（其中）．
①当时，即，
当时，；时，不符，
∴．
由，得，
∴．
当时，；，
由，得．
∴；．
∵，
∴（舍去）．
②当时，即，
∵，
∴，
∴．
当，不符，
当，不符
当，不符
③当时，即时，
∵，
∴．
∵，
∴．
当，不符．
当，不符．
综上所述，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，解本题的关键在于将一个代数式进行分组再分别讨论能否被13整除，结合了方程思想，分类讨论思想，综合性较强．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【答案】（1）
（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】（1）方程组整理后，运用加减法求解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【小问1详解】
整理得，，
，得：
解得，，
把代入①得，，
解得，，
∴方程组的解为：；
【小问2详解】
解不等式①得：；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：；
把解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组和一元一次不等式的方法．
20. 如图，在中，，是的角平分线．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：．
证明：（2）∵，
∴，
∵，
∴
∴________①________
又∵是的平分线，
∴________②________
在与中，
，
∴（________④________）
∴．
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）根据作已知线段的垂线的作法画出图形，即可求解；
（2）根据角平分线的性质定理，可得，再利用证明，即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
在与中，
，
∴
∴．
故答案为：；；；
【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握几种基本尺规作图的作法，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键．
21. 八年级某班同学为了了解2018年某居委会家庭月均用水情况，随机调查了该居委会部分家庭月均用水量，并列出下面的频数分布表：

请解答以下问题：
（1）这次随机调查了该居委会 户，把频数分布直方图补充完整；
（2）求该居委会用水量不超过的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该居委会有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？
【答案】（1）50，补全频数分布直方图见解析
（2）该居委会用水量不超过的家庭占被调查家庭总数的百分比为
（3）该小区月均用水量超过的家庭大约有120户
【解析】
【分析】（1）根据频数分布表，将各组频数相加可得调查总户数，再补全频数分布直方图即可；
（2）用不超过的家庭总数除以被调查家庭总数即可；
（3）根据样本数据中超过的家庭数，即可得出1000户家庭超过的家庭数．
【小问1详解】
（户）．
即这次随机调查了该居委会50户，频数分布直方图补充如下：

故答案为50；
【小问2详解】
，
即该居委会用水量不超过的家庭占被调查家庭总数的百分比为；
【小问3详解】
（户．
即该小区月均用水量超过的家庭大约有120户．
【点睛】本题考查了频数（率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，把先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可以得到．

（1）画出平移后的图形；
（2）请写出平移后的各个顶点，，的坐标．
（3）三角形的面积是________．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】（1）首先确定，，三点平移后的位置，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系可确定，，的坐标；
（3）根据正方形的面积减去3个三角形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求
【小问2详解】
，，；
【小问3详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平移的作图，坐标与图形，求解网格三角形的面积，熟练的利用平移的性质进行作图是解本题的关键．
23. 如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．

（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形的内角和可得，再由角平分线的定义可得，由垂直可得，从而可求，即可求的度数；
（2）由同位角相等，两直线平行得，则有，由垂直可得，从而可求得，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
平分，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
即：与互余．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，余角的概念，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
24. 如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：平分．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明，进而解答即可；
（2）根据全等三角形性质和角之间的关系解答即可．
小问1详解】
，，
，
在和中，，
，
．
【小问2详解】
如下图，
由（1）得，
，，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
25. 去年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨．某物流公司现有吨货物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若型车每辆需租金每次元，型车租金每次元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运6吨
（2）该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用5辆A型车，1辆B型车；方案2：租用3辆A型车，2辆B型车；方案3：租用1辆A型车，3辆B型车．
（3）最省钱的租车方案为租用1辆A型车，3辆B型车，最少租车费为460元
【解析】
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运12吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运15吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送21吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；
（3）根据总租金每辆车的租车费用租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意：得
，
解得：，
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运6吨．
【小问2详解】
解：依题意，得：
，
又∵a，b均为正整数，
或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用5辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用3辆A型车，2辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，3辆B型车．
【小问3详解】
解：方案1所需租金为（元）；
方案2所需租金为（元）；
方案3所需租金为（元）．
，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，3辆B型车，最少租车费为460元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．
26. 已知是等边三角形．
（1）如图1，点D是边的中点，点P为射线AC上一动点，当是轴对称图形时，的度数为__________；
（2）如图2，，点D在边上，点F在射线上，且，作于G，当点D在边上移动时，请同学们探究线段，，之间有什么数量关系，并对结论加以证明；
（3）如图3，点R在延长线上，连接，S为上一点，，连接交于T，若，，直接写出线段的值为__________．
【答案】（1），，
（2）；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据题意判断出一定是等腰三角形，然后分三种情况，，进行讨论，分别画出图形求解即可；
（2）延长过点F作于点H，连接，延长EA，过点D作于点N，过点D作于点M，证明得出，证明得出，证明，证明为等边三角形，得出，证明得出，根据线段间的关系，即可得出结论；
（3）过点R作较的延长线于点D交的延长线于点E，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，证明为等边三角形，设，，求出，证明，得出，求出，最后得出，，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵等腰三角形为轴对称图形，
∴当是轴对称图形时，一定是等腰三角形，
∵为等边三角形，
∴，
∵点D是边的中点，
∴平分，
∴；
当时，如图所示：
∴，
∴；
当，点P在线段上时，如图所示：
∴，
∴；
点P在线段延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
当时，点P在的延长线上，不在射线上；
综上分析可知，，，；
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：；理由如下；
延长过点F作于点H，连接，延长EA，过点D作于点N，过点D作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【小问3详解】
解：过点R作较的延长线于点D交的延长线于点E，在上截取，连接，如图所示：
在和中，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
设，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．月均用水量
频数（户
6
12
16
10
4
2