陕西省子长市中学2024届高三上学期第三次模拟考试理科数学试题（原卷版+解析版）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数的概念与基本初等函数，导数及其应用，三角函数与解三角形，平面解析几何，坐标系与参数方程.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，且否定结论，即可求得结果.
【详解】特称命题的否定是全称命题, 命题，的否定是，
故选：D
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质解出集合M，再由二次不等式的解法求出集合N，最后求并集即可.
【详解】由得，
函数在R上单调递增，则，即，
又由得，即，
所以.
故选：C.
3. 已知函数，则其图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案.
【详解】，是奇函数，排除A、C，
当时，，排除D．
故选：B.
4. 在中，，，，则边上的高的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式求得面积，由余弦定理求得，再由等面积法可得高.
【详解】由，，，得，
由余弦定理得：，
边上的高的长度为．
故选：A.
5. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点P的坐标为，，
根据抛物线的定义有，故的最小值为．
故选：B
6. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A. 12年B. 13年C. 14年D. 15年
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.
【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，又因为，所以，
故选：C.
7. 已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案.
【详解】不妨设，则，
由，
可得，
即，
所以在R上单调递增.
由可得，，
即对任意恒成立，
所以，
整理可得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C．
8. 已知函数，若的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象平移，得到平移后的表达式，即可求解.
【详解】由题意可知，，
则.所以.
所以,取,则.
故选:C
9. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用三角恒等变形，化简为，再利用正切公式表示，即可求解.
【详解】，即，即，则.
故选：A.
10. 在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出圆心.根据圆与轴的关系可得，进而由直线与圆相切可得，解方程即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心，半径为.
圆心到轴的距离为，则由已知可得，
所以，.
又圆与直线相切，则圆心到直线的距离，整理可得，又，所以.
故选：D.
11. 已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案.
【详解】因为，
所以关于对称，
又因为为偶函数，
所以，
所以为周期函数，，
因为，且，
所以，，
因为，
所以
又因为，
所以，
因为在上单调递减，为偶函数，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
故选：D.
12. 已知函数在上可导，且满足不等式，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，求导后利用导数单调性将不等式转化为，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，有，可得函数单调递增，不等式可化为，又由，不等式可化为，可得关于的不等式的解集为.
故选：C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 定积分________.
【答案】
【解析】
【分析】找到的原函数，根据微积分基本定理，即得解
【详解】.
故答案为：
14. 若函数为上的奇函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数奇偶性，利用，求出，再验证，即可求出结果.
【详解】因为为上的奇函数，
所以，此时，
所以，即函数是奇函数，
所以满足题意.
故答案为：.
15. 已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及周期性即可代入求解.
【详解】，故为上的奇函数，
，则，
，，为周期为4的周期函数，
.
故答案为：
16. 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义，从而可得，利用点到直线的距离公式可得，由题意可得，进而求出离心率.
【详解】由双曲线定义知，，则，
∴，
所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，
此时最小，且最小值为，
易求焦点到渐近线的距离为，即，
所以，即，，可求离心率.
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知指数函数在其定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，当时．求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；
（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.
【小问1详解】
是指数函数，
，
解得或，
又因为在其定义域内单调递增，所以，
；
【小问2详解】
，
，令，
，
，
，
的值域为．
18. 设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）；；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；
（2）利用函数的单调性求出最值．
【小问1详解】
因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为；
【小问2详解】
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
19. 已知函数在处有极值0．
（1）求实数a,b的值；
（2）若在上恒成立．求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意得,解方程可得值,最后检验即可；
（2）分析在上的单调性,结合最值即可求解的取值范围．
【小问1详解】
因为在时有极值0,且,
所以，即,解之得或,
当时,,
所以在R上为增函数,无极值,故舍去；
当时,,
当时,为减函数,
当和时,为增函数,
所以在时取得极小值,符合题意,
因此.
【小问2详解】
因为在上恒成立,所以,
由(1)知时,为减函数,当时,为增函数,
又,则,
所以,实数m的取值范围为．
20. 如图，点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意布列的方程组，求得椭圆的方程；（2）联立方程组，得：，借助韦达定理表示，进而求最值即可.
试题解析：
(1)∵，∴.
又点在椭圆上，∴，
解：，∴所求椭圆方程为.
(2)∵，∴，设直线的方程：.
联立方程组，消去得：.
，∴.
设，，，
则，
∵，∴的取值范围为.
21. 已知函数（，为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数至少有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，，和进行分类讨论，解不等式，求出函数单调性；
（2）在（1）的基础上，分五种情况，结合函数单调性和极值，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
的定义域为，
，
当时，，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，令得（舍去），或，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，令得或，
若时，，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
若时，，此时恒成立，
故在上单调递增，
若时，，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
先证明，理由如下：
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，即，证毕；
由（1）得，当时，在上单调递增，在上单调递减，
其中，
令，其单调递增，
又，故恒成立，
故在上无零点，不合要求，舍去；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，，
因为，其单调递增，
，
故在上至多有1个零点，不合要求；
当时，在上单调递增，故在上至多有1个零点，不合要求；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
故在处取得极小值，在处取得极大值，
，
因为，其单调递增，
，
，
令，
则，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，故在上恒成立，
故在上单调递增，
其中，故当时，，
故要想至少有两个零点，则，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值.
【答案】（1），；（2）8．
【解析】
【详解】试题分析：(1)利用平方关系消参化简直线的参数方程，利用，化简极坐标方程;(2)巧用韦达定理求的长度.
试题解析：
(1)由消去得，
所以直线的普通方程为.
由得，
把，代入上式，得，
所以曲线的直角坐标方程为.
(2)将直线的参数方程代入，得，
设两点对应的参数分别是，
则，，
所以，
当时，的最小值为8.