重庆市开州区文峰教育集团2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份重庆市开州区文峰教育集团2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共29页。

A．a＝5，b＝12，c＝13B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝6，b＝8，c＝10
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．＝
3．（4分）若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≠2D．x＜2
4．（4分）一次函数y＝x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（4分）估计的值在（ ）
A．7到8之间B．8到9之间C．9到10之间D．10到11之间
6．（4分）已知在▱ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
7．（4分）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，分别取OA，OB的中点C，D，则A，B之间的距离是（ ）
A．6mB．8mC．10mD．12m
8．（4分）如图，折线ABCDE描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法（ ）
A．汽车共行驶了90千米
B．汽车在整个行驶过程中停留了2小时
C．汽车自出发后前3小时的平均速度为30千米/时
D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度是50千米/时
9．（4分）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片ABCD沿EF折叠，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．D．
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣4，且关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣2B．3C．6D．2
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过650000人，把650000用科学记数法表示为 ．
12．（4分）若y关于x的函数y＝﹣7x+2+m是正比例函数，则m＝ ．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BE＝4，则平行四边形ABCD的周长是 ．
14．（4分）在菱形ABCD中，若对角线AC＝6，BD＝10 ．
15．（4分）已知直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣7平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线y＝ax﹣2，则＝ ．
16．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，则PE+PF的值为 ．
18．（4分）对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z（m）＝x2+y2+z2，例如：m＝136，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：3，9，8，则F（136）2+92+82＝154．若已知两个三位数，（a，b为整数，2≤b≤7，若p+q能被17整除（p+q）的最大值是 ．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，21--26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，使得AE＝AB，连接BE．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现∠AOB＝90°，请将证明过程补充完整．
证明：∵AE＝AB
∴
∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC
∵AF平分∠BAD
∴
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴
∴∠ABC+∠BAD＝90°．
即∠ABE+∠BAO＝90．
∵在△ABO中，∠BAO+∠ABE+∠AOB＝180°．
∴∠AOB＝90°．
21．（10分）云路中学计划在百日誓师大会中奖励学习成绩进步的学生，决定购买某一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）如果学校需要自动铅笔的个数是钢笔的个数的2倍还多5个，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过550元，那么该校最多可购买多少支该品牌的钢笔？
22．（10分）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝﹣|x+1|+2的图象和性质，并解决问题．
下面是小玉的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝﹣|x+1|+2的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
表中m＝ ，n＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，回答下列问题：
①当x 时，y随x的增大而增大；
②方程﹣|x+1|+2＝0有 个解；
③若关于x的方程﹣|x+1|+2＝a无解，则a的取值范围是 ．
23．（10分）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处
（1）如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
（2）求M点与小岛P的距离．
24．（10分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，求AD的长．
25．（10分）已知直线L经过点A（﹣2，0），B（0，3）．
（1）求直线L的解析式；
（2）若在直线L上有一点C，且S△BOC＝6，求点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形，若存在；若不存在，请说明理由．
26．（10分）已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．
（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，使得BG＝DF，若BE＝4，求EF的长；
（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时；
（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠EAF＝45°，且BC＝8，CF＝6，请你直接写出BE的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝6，b＝8，c＝10
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵52+124＝132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、∵25+32≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；
C、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
D、∵68+82＝103，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．＝
【分析】先根据二次根式的加法，二次根式的减法和二次根式的乘法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
【解答】解：A．和不能合并；
B．5﹣3，故本选项不符合题意；
C．•＝8；
D．•＝＝，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
3．（4分）若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≠2D．x＜2
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】解：使式子意义的x的取值范围是：x﹣2≥7，
解得：x≥2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
4．（4分）一次函数y＝x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据直线y＝kx+b（k≠0）的k、b的符号判定该直线所经过的象限．
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣1的1＞7，
∴该直线经过第一、三象限．
又﹣1＜0，
∴该直线与y轴交于负半轴，
∴一次函数y＝x﹣4的图象一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b（k≠0）所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
5．（4分）估计的值在（ ）
A．7到8之间B．8到9之间C．9到10之间D．10到11之间
【分析】先将原式进行计算，然后估算其结果在哪两个连续整数之间即可．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝8+，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜3，
∴7＜4+＜6，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的计算是解题的关键．
6．（4分）已知在▱ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
【分析】根据平行四边形的性质可得对边平行，由平行线的性质即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：对边平行，解题的关键是熟记其性质．
7．（4分）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，分别取OA，OB的中点C，D，则A，B之间的距离是（ ）
A．6mB．8mC．10mD．12m
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵C，D分别是OA，
∴CD是△ABO的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6m，
∴AB＝12m，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
8．（4分）如图，折线ABCDE描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法（ ）
A．汽车共行驶了90千米
B．汽车在整个行驶过程中停留了2小时
C．汽车自出发后前3小时的平均速度为30千米/时
D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度是50千米/时
【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．
【解答】解：∵汽车共行驶了：90×2＝180（千米），
∴选项A不符合题意；
∵汽车在整个行驶过程中停留了2﹣8.5＝0.7个小时，
∴选项B不符合题意；
∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：90÷3＝30（千米/时），
∴选项C符合题意；
∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数的图象，关键是审清题意，尤其看清楚横轴和纵轴表示的量，此种题型便可迎刃而解．
9．（4分）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片ABCD沿EF折叠，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】根据折叠可得AE＝CE，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△ABE中利用勾股定理可得32+（9﹣x）2＝x2，解可得AE的长，进而得到BE、CE的长；再根据折叠可得∠CEF＝∠AEF，根据AD∥BC可得∠EFA＝∠FEC，进而得到∠FEC＝∠AEF＝∠AFE，根据等角对等边可得AF＝AE＝5，再过E点作EH⊥BC于H，再在Rt△HFE中利用勾股定理可计算出EF的长．
【解答】解：∵EF是四边形EFCD与EFGA的对称轴，
∴AE＝CE，AE+BE＝CE+BE＝9，
又∵AB＝3，
设AE＝x，则BE＝3﹣x，
∵AB2+BE2＝AE8，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝8，
则AE＝CE＝5．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFA＝∠FEC，
∵∠CEF＝∠AEF，
∴∠FEC＝∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝5，
过E点作EH⊥AD于H，
∴AH＝BE＝5，FH＝AF﹣AH＝1，
∴EF＝＝＝，
故选：C．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的．
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣4，且关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣2B．3C．6D．2
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有非负整数解确定出整数a的值，进而求出之和即可．
【解答】解：解不等式组得：，
由不等式组的解集为x＜﹣4，得到a≥﹣3，
分式方程去分母得：2y+a﹣3＝5﹣y，
解得：y＝，
由分式方程有非负整数解，得到a＝4，2，之和为3．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过650000人，把650000用科学记数法表示为 6.5×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将650000用科学记数法表示为：6.5×108．
故答案为：6.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）若y关于x的函数y＝﹣7x+2+m是正比例函数，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据正比例函数的定义得到2+m＝0，然后解方程得m的值．
【解答】解：∵y关于x的函数y＝﹣7x+2+m是正比例函数，
∴3+m＝0，解得m＝﹣2．
故答案为﹣6．
【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BE＝4，则平行四边形ABCD的周长是 24 ．
【分析】由在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，易证得△CDE是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝8，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE＝BC﹣BE＝8﹣7＝4，
∴AB＝CD＝4，
∴平行四边形ABCD的周长是：AD+BC+CD+AB＝24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CDE是等腰三角形是关键．
14．（4分）在菱形ABCD中，若对角线AC＝6，BD＝10 ．
【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，得出OA＝3，OB＝5，进而利用勾股定理得出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝3，OB＝5，
∴AB＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了菱形的性质．关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
15．（4分）已知直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣7平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线y＝ax﹣2，则＝ ．
【分析】利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时a＝k的值相同，得出即可．
【解答】解：根据题意知，直线y＝kx+b，则k＝a＝2．
∵将直线y＝kx+b向下平移5个单位后得到直线y＝kx+b﹣5，将y＝kx+b直线向下平移5个单位后得到直线y＝ax﹣2，
∴b﹣2＝﹣2．
∴b＝3．
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
16．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】本题考查勾股定理，熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，则PE+PF的值为 ．
【分析】首先连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD＝以及△AOD的面积，继而可得S△AOD＝（PE+PF），则可求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OB＝OD，
∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB，
∵AB＝4，AD＝4，
∴S矩形ABCD＝3×6＝12，BD＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+××PE+×（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝．
故答案为．
【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
18．（4分）对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z（m）＝x2+y2+z2，例如：m＝136，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：3，9，8，则F（136）2+92+82＝154．若已知两个三位数，（a，b为整数，2≤b≤7，若p+q能被17整除（p+q）的最大值是 162 ．
【分析】根据新定义计算，先用a、b的解析式表示p+q，再根据整除的性质列出关于a、b的关系式从而求得a、b的值，最后根据F（m）的定义求出结果．
【解答】解：∵＝100a+3×10+a＝101a+30．
∴p+q＝101a+30+303+10b＝101a+10b+333＝17（5a+b+19）+（﹣a﹣7b+10）．
∵p+q能被17整除，
∴﹣a﹣7b+10是17的倍数．
∵a，b为整数，6≤b≤7．
∴﹣46≤﹣a﹣7b+10≤﹣4．
∴﹣a﹣7b+10＝34或﹣17．
即﹣a﹣7b＝﹣44或﹣27．
∴b＝或．
∴a＝2，b＝8或a＝6．
∴p+q＝595或969．
当p+q＝595时，F（p+q）＝57+72+62＝99．
当p+q＝969时，F（p+q）＝76+82+72＝162．
∴F（p+q）的最大值为162．
故答案为：162．
【点评】本题考查了数的十进制，难度不大，但关键在于数的代数表达式，明白三位数的表达式为100a+10b+c即可根据定义运算．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，21--26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则，二次根式的除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
（2）先根据完全平方公式，平方差公式，二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝++2×
＝++3
＝2+2+6
＝4+6；
（2）
＝（）2﹣8××2+32﹣[（）5﹣12]
＝4﹣4+7﹣（3﹣1）
＝2﹣4+4﹣2
＝7﹣8．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，使得AE＝AB，连接BE．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现∠AOB＝90°，请将证明过程补充完整．
证明：∵AE＝AB
∴ ∠ABE＝∠AEB
∵四边形ABCD为平行四边形
∴ AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC
∵AF平分∠BAD
∴ ∠BAF＝∠DAF＝∠BAD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴ ∠DAB+∠ABC＝180°
∴∠ABC+∠BAD＝90°．
即∠ABE+∠BAO＝90．
∵在△ABO中，∠BAO+∠ABE+∠AOB＝180°．
∴∠AOB＝90°．
【分析】（1）根据作角平分线的基本作图画图；
（2）根据平行四边形的性质及平行线的性质证明．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠ABC+．
即∠ABE+∠BAO＝90．
∵在△ABO中，∠BAO+∠ABE+∠AOB＝180°．
∴∠AOB＝90°，
故答案为：∠ABE＝∠AEB，AD∥BC∠BAD．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键．
21．（10分）云路中学计划在百日誓师大会中奖励学习成绩进步的学生，决定购买某一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
（2）如果学校需要自动铅笔的个数是钢笔的个数的2倍还多5个，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过550元，那么该校最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【分析】（1）该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别x元，y元，根据购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元，再建立方程组即可；
（2）设该校最多可购买m支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的个数是（2m+5）个，根据学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过550元，再建立不等式即可．
【解答】解：1（ ）该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别x元，则
∴，
解得：，
答：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别25元．
（2）设该校最多可购买m支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的个数是（5m+5）个，
解得：m≤15，
答：该校最多可购买15支该品牌的钢笔．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
22．（10分）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝﹣|x+1|+2的图象和性质，并解决问题．
下面是小玉的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝﹣|x+1|+2的自变量x的取值范围是 x为任意实数 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
表中m＝ 1 ，n＝ ﹣2 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，回答下列问题：
①当x ≤﹣1 时，y随x的增大而增大；
②方程﹣|x+1|+2＝0有 2 个解；
③若关于x的方程﹣|x+1|+2＝a无解，则a的取值范围是 a＞2 ．
【分析】（1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数；
（2）把x＝﹣2，x＝3分别代入解析式可得m，n的值；
（3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可（4）①由图象可得答案；
②观察图象可知，当y＝0时，x＝﹣3或x＝1，即得方程﹣|x+1|+2＝0有2个解；
③由图象可知，当a＞2时，直线y＝a与y＝﹣|x+1|+2的图象无交点，可得答案．
【解答】解：（1）函数y＝﹣|x+1|+2的自变量x的取值范围是x为任意实数；
故答案为：x为任意实数；
（2）当x＝﹣8时，y＝m＝﹣|﹣2+1|+4＝﹣1+2＝8，
当x＝3时，y＝n＝﹣|3+2|+2＝﹣4+4＝﹣2，
故答案为：1，﹣8；
（3）描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（4）①由图象可知，当x≤﹣1时；
②由图象可知，当y＝0时，
∴方程﹣|x+3|+2＝0有2个解；
③由图象可知，当a＞2时，
∴关于x的方程﹣|x+1|+5＝a无解，a的取值范围是a＞2；
故答案为：①≤﹣1；②8．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是数形结合思想的应用．
23．（10分）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处
（1）如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
（2）求M点与小岛P的距离．
【分析】（1）过点P作PQ⊥MN于Q，得到∠PQN＝90°，求得∠MPN＝∠PNQ﹣∠PMN＝60°﹣30°＝30°，根据等腰三角形的判定定理得到PN＝MN＝16海里，根据勾股定理得到PQ＝﹣＝8（海里），于是得到结论；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险，
理由：过点P作PQ⊥MN于Q，
∴∠PQN＝90°，
∵∠PMN＝30°，∠PNQ＝60°，
∴∠MPN＝∠PNQ﹣∠PMN＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MPN＝∠PMN，
∴PN＝MN＝16海里，
∴NQ＝PN＝3（海里），
∴PQ＝﹣＝8，
∵8＞12，
∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险；
（2）在Rt△PMQ中，∵∠PQM＝90°，
∴PM＝4PQ＝2×8＝16，
答：M点与小岛P的距离为16海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角的定义，始乱终弃勾股定理是解题的关键．
24．（10分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，求AD的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°，求得∠CDA＝60°．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，，
∴GD＝1，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
25．（10分）已知直线L经过点A（﹣2，0），B（0，3）．
（1）求直线L的解析式；
（2）若在直线L上有一点C，且S△BOC＝6，求点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形，若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△BOC＝OB×|x|＝6，即可求解；
（3）由点A、B、P的坐标得：AP2＝4+y2，AB2＝4+9＝13，BP2＝（y﹣3）2，再分类求解即可．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为：y＝kx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3k+3，则k＝，
故一次函数的表达式为：y＝x+4；
（2）设点C（x，x+7），
则S△BOC＝OB×|x|＝7，
解得：x＝±4，
即点C（4，3）或（﹣4；
（3）设点P（0，y），
由点A、B、P的坐标得：AP5＝4+y2，AB7＝4+9＝13，BP2＝（y﹣3）2，
当AP＝BP时，则2+y2＝（y﹣3）3，则y＝，
即点P的坐标为：（5，）；
当AP＝AB时，则2+y2＝13，则y＝﹣3（不合题意的值已舍去），
即点P的坐标为：（7，﹣3）；
当BP＝AB时，则13＝（y﹣3）5，
解得：y＝3，
即点P的坐标为：（0，4）或（0）；
综上，点P的坐标为：（0，，﹣3）或（2，3，3﹣）．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查等腰三角形的判定、面积的计算等，其中（3），设出P点的坐标表示出AB、AP、BP三边的长度是解题的关键，注意分类讨论．
26．（10分）已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．
（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，使得BG＝DF，若BE＝4，求EF的长；
（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时；
（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠EAF＝45°，且BC＝8，CF＝6，请你直接写出BE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△ADF，可得AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，由“SAS”可证△GAE≌△FAE，可得EF＝GE＝BE+BG＝7；
（2）在DF上截取DM＝BE，由“SAS”可证△ABE≌△ADM，可得AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，由“SAS”可证△AEF≌△AMF，可得EF＝FM，可得结论；
（3）同（2）可证EF＝DF﹣BE，可得BE+EF＝18，由勾股定理可得EF2＝CF2+CE2，可求BE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，
∵AB＝AD，∠D＝∠ABG，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠EAF，
又∵AG＝AF，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝4；
（2）如图2，在DF上截取DM＝BE，
∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，
∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM＝45°，
∴∠MAF＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AM，AF＝AF，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴EF＝FM，
∵DF＝DM+FM，
∴DF＝BE+EF，
∴EF＝DF﹣BE；
（3）如图，在DF上截取DM＝BE，
同（2）可证EF＝DF﹣BE，
∴DF＝BE+EF＝CF+DC＝18，
∵EF2＝CF7+CE2，
∴（18﹣BE）2＝62+（8+BE）6，
∴BE＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
0
m
2
1
0
﹣1
n
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
0
m
2
1
0
﹣1
n
…