2024年广东省梅州市部分学校中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省梅州市部分学校中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.诸葛亮的《诫子书》中有“言非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A. 学B. 广C. 才D. 以
2.下列各数中最大的负数是( )
A. B. C. D.
3.计算的结果是( )
A. 2B. C. D. 7
4.若点与点关于y轴对称，则的值是( )
A. B. C. 3D. 1
5.如图，长方形纸带ABCD中，，将纸带沿EF折叠，A、D两点分别落在、处，若，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
6.实数a、b在数轴上的位置如图所示：那么的结果是( )
A. 2aB. 2bC. D.
7.当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示单位：，那么该圆的半径为( )
A. 5cmB. C. 3cmD. 4cm
8.如图，电路上有三个开关和一个小灯泡，合上任意两个开关，小灯泡发光的概率为( )
A.
B.
C.
D. 1
9.如图1，在菱形ABCD中，，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为( )
A. B. C. D.
10.如图.在中，点D，E为边BC的三等分点，点F，G在边AB上，且，点H为AD与EG的交点.若，则GH的长为( )
A. 3
B. 2
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.2024年“五一”小长假黄陂各大景区景点共接待游客约130万人次，创旅游综合收入约亿元，成为名副其实的“黄金周”，映照了黄陂旅游消费市场的巨大潜力.数据亿用科学记数法表示为______备注：1亿
12.设a、b是方程的两个实数根，则的值为______.
13.如图，AC为▱ABCD的对角线，，点E在AD上，连结CE，分别延长CE，BA交于点F，若，则BC的长为______.
14.若不等式组无解，则a的取值范围是______.
15.若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角______度.
16.如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AD、DC上的动点，且，连接AF，BE交于点G，P是AD边上的另一个动点，连接PG，PC，则的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
先化简，再求值：，其中
18.本小题6分
解方程或解不等式组：
；
解不等式组，并把解集表示在数轴上.
19.本小题8分
某校为了进一步倡导文明健康绿色环保生活方式，提高学生节能、绿色、环保、低碳意识，举办了“低碳生活，绿色出行”知识竞赛.每班选10名代表参加比赛，随机抽取2个班，记为甲班，乙班，现收集这两个班参赛学生的成绩如下：
【收集数据】
【分析数据】
【应用数据】
根据以上信息，填空：______，______，______；
参赛学生人数为600人，若规定竞赛成绩90分及以上为优秀，请你根据以上数据，估计参加这次知识竞赛成绩优秀的学生有多少人？
结合以上数据，选择适当的统计量分析这两个班级中哪个班级成绩较好？
20.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点.
求k的值.
求一次函数的表达式.
若点M在x轴上，当时，求点M的坐标.
21.本小题8分
综合应用：测旗杆高度
小明和小红是学校的升旗手，两人想一同测出学校旗杆的高度.为了解决这个问题，他们向数学王老师请教，王老师给他们提供了测倾器和皮尺工具.经过两人的思考，他们决定利用如下的图示进行测量.
【测量图示】
【测量方法】在阳光下，小红站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小红的影长FG；然后小明在旗杆落在地面的影子上的某点D处，安装测倾器CD，测出旗杆顶端A的仰角.
【测量数据】小红影长，身高，旗杆顶端A的仰角为，测倾器CD高，，旗台高
若已知点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于你能帮小明和小红两人测出旗杆AP的高度吗？参考数据：，，
22.本小题8分
为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元.
跳绳和毽子的单价分别是多少元？
若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
23.本小题8分
如图，在中，，D是AB边上的一点，BD为直径的与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点
求证：；
若，，求的值.
24.本小题8分
综合与实践
不借助科学计算器，如何求的值？小明进行了如下的实践操作：
如图，已知正方形纸片
第一步：将正方形纸片ABCD沿AC折叠，展开后得到折痕
第二步：将AB折叠到AF，使点B的对应点F恰好落在AC上，展开后得到折痕AE，点E在线段BC上，连接
问题解决：
求证：；
请利用小明的实践操作过程，求的值.
25.本小题12分
综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点，作直线AC，BC，PBC是直线下方抛物线上一动点.
求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式.
过点P作轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标.
在的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对．
故选：
找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字的知识，掌握正方体的相对面上的汉字是关键．
2.【答案】A
【解析】解：，，，，
，
，
所给的各数中最大的负数是
故选：
有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
3.【答案】B
【解析】解：
，
故选：
先算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点与点关于y轴对称，
，
，
，
故选：
根据关于y轴对称的点的坐标特点可得，解方程即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形变化-轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：，
，
由折叠知，
故选：
根据可知，由折叠知，再由平角可求出
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
6.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：，，
则原式
故选：
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各式是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：设圆的圆心为O点，与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，，
刻度尺的一边与圆相切，
刻度尺的这一边，
刻度尺的两边平行，
，
，，
设的半径为r cm，
在中，，
解得，
即该圆的半径为
故选：
设圆的圆心为O点，与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，，根据切线的性质得到刻度尺的一边，所以，根据平行线的性质得到，，设的半径为rcm，在中利用勾股定理得到，，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中合上任意两个开关，小灯泡发光的有4种，
则合上任意两个开关，小灯泡发光的概率是
故选：
根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】C
【解析】解：图象右端点F的坐标为，M是AB的中点，
，，
，，
如图，连接AC，连接CM交BD于点，连接，
当点N在点时，取得最小值，最小值为，
四边形ABCD为菱形，，
三角形ABC为等边三角形，，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
点E的坐标为
故选：
根据点F的坐标可得，，，连接AC，连接CM交BD于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为CM，根据菱形的性质易得三角形ABC为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出CM，由平行线和菱形的性质易得，，进而求出，以此即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是理解函数图象中最低点坐标所表示的实际意义，并利用数形结合思想解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：点D，E为边BC的三等分点，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
故选：
先证明∽，利用相似三角形的性质得到，则，再证明∽得到，则，然后计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：亿
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12.【答案】2023
【解析】解：、b是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：
根a、b是方程的两个实数根，求出，，得出，把的变形后进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13.【答案】8
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
垂直平分DF，
故答案为：
根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质即可得到结论．
此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解；不等式组无解，
得，
解得，
故答案为：
根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案．
本题考查了不等式的解集，不等式的解集大于大的，小于小的小于，不等式组无解．
15.【答案】60
【解析】解：二次函数与x轴只有1个公共点，
，
解得，
锐角
故答案为：
先利用根的判别式的意义得到，则可得到，然后根据特殊角的三角函数值确定锐角的度数．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，理解根的判别式的意义是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等.
取AB的中点O，连接OG，延长CD到T，使得，连接OT，PT，TG，过点O作于由题意，求出GT的最小值即可解决问题．
【解答】
解：如图，取AB的中点O，连接OG，延长CD到T，使得，连接OT，PT，TG，过点O作于
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的最小值为
17.【答案】解：
，
当 时，原式
【解析】先通分括号内的式子，再算乘法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
，
；
，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为：
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：甲班中90出现3次，出现的次数最多，
甲班10名学生测试成绩的众数是90，即，
把甲班10名学生测试成绩从小到大排列，第5个数和第6个数分别是90，93，
故甲班10名学生测试成绩的中位数是，即，
根据乙班10名学生的数据得出乙班10名学生的平均数，即，
故答案为：90，，92；
人，
答：估计参加知识竞赛的600名学生中成绩为优秀的学生共有450人．
乙班成绩较好，
理由如下：乙班的平均数高于甲班的平均数，说明乙班成绩平均水平高，
乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班成绩比较稳定，
乙班成绩较好．
根据众数、中位数、平均数的概念解答；
根据样本估计总体，得到答案；
根据平均数和方差的性质说明理由．
本题考查的是统计量的选择，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念和性质是解题的关键．
20.【答案】解：反比例函数的图象过，
；
反比例函数的图象过点，
，解得，
点B的坐标为，
设一次函数的表达式为，
把和代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
设点M的坐标为
当时，由得
设直线与x轴交于点C，即点C的坐标为，
，
在x轴上，
，
又，
，
点M的坐标为或
【解析】利用待定系数法即可求得k的值；
利用反比例函数的解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
设点M的坐标为，由一次函数的解析式求得点C的坐标，利用求得的面积，然后利用，得到，解得
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
21.【答案】解：如图所示：过C作，
设，则，
，
，
在中，，
解得，
，
，
在太阳光下，同一时刻，BF、FG分别是AB、EF的影长，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：旗杆的高度AP为
【解析】过C作，设，用x表示AB的长，利用三角函数表示HC的长，即可表示出BF的长，根据同时、同地，BF、FG分别是AB、EF的影长得出，可得，列方程求出x的值即可得答案．
本题考查利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握修改性质及判定定理是解题关键．
22.【答案】解：设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元．
由题意可得：，
，
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元；
设购买m根跳绳，则购买个毽子．
由题意可得：，
解得：，
的最大值为
答：最多购买80根跳绳．
【解析】设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，由购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．列出方程组，即可求解；
设学校购买m根跳绳，则购买个毽子．由购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
23.【答案】证明：连接OE，如图，
与边相切于点EE，O
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为r，
，
∽，
：：AB，
即r：：，
解得，
，
在中，，

【解析】连接OEOE，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，接着证明得到，所以；
设的半径为r，先证明∽，利用相似三角形的性质得到r：：，解得，则，再利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理、解直角三角形．
24.【答案】证明：由正方形纸片ABCD沿AC折叠，
得，，，，
得；
设，
得，，
得，
得
【解析】由正方形纸片ABCD沿AC折叠，得，，，，即可得；
设，得，，得，即可得
本题主要考查了折叠，解题关键是正确计算．
25.【答案】解：当时，解得，
点A在点B的左侧，
，，
设直线AC的表达式为：
将，代入得：，
解得：，
直线AC的函数表达式为，
同理将，代入，可得直线BC的函数表达式为
设，
轴，
，
，
，
为线段TQ的中点，
，
解得舍去，，
；
存在，点M的坐标为或，
分以下三种情况讨论：
①当时，如图，过点作轴于点D，
过点P作，交的延长线于点
设，则，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，，
，
解得，
，
；
②当时，如图，过点P作轴，过点B作于点F，
过点作交FP的延长线于点
设，则，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
解得，
，
；
③当时，该情况不存在．
综上所述，点M的坐标为或
【解析】把先根据与x轴的交点得到A，B的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
设，根据轴，得出PQ，PT的代数式，再根据P为线段TQ的中点，即可求点P的坐标；
分情况讨论：①当，证明得∽，根据比例即可；②当，证明得∽，根据比例即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线．甲班
80
85
90
96
97
90
90
100
99
93
乙班
87
89
92
95
92
92
85
92
96
100
统计量
班级
众数
中位数
平均数
方差
甲班
a
b
92
36
乙班
92
92
c
A
B
C
A
B
C