山东省青岛市2024届高三年级第三次适应性检测考试(青岛三模)数学试题

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1. 已知复数 z 满足 z-11-i=i ,则 z 的虚部为（ ）
A. -i B. i C. -1 D. 1
2. 已知命题 p:∀x∈0,π2,sinxA. ∃x∉0,π2,sinx>x B. ∃x∈0,π2,sinx>x
C. ∃x∉0,π2,sinx≥x D. ∃x∈0,π2,sinx≥x
3. 为了得到 y=sin2x+cs2x 的图象,只要把 y=2cs2x 的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动 π8 个单位长度 B. 向左平行移动 π8 个单位长度
C. 向右平行移动 π4 个单位长度 D. 向左平行移动 π4 个单位长度
4. 某校高一有学生 980 人,在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 X 服从正态分布 N100,σ2 ,已知 P90A. 784 B. 490 C. 392 D. 294
5. 定义 x 表示不超过 x 的最大整数.例如: 1.2=1,-1:2=-2 ,则（ ）
A. x+y=x+y B. ∀n∈Zx+n=x+n
C. fx=x-x 是偶函数 D. fx=x-x 是增函数
6. 在母线长为 4 , 底面直径为 6 的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后, 得到一个几何体, 则 该几何体的表面积为（ ）
A. 33π B. 39π C. 48π D. 57π
7. 已知函数 fx=x2-2x⋅ex-1+e1-x ,则满足不等式 f2xA. -∞,2 B. -1,2 C. 2,+∞ D. 1,2
8. 已知 O 为坐标原点,椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左,右焦点分别为 F1,F2 ,左、右顶点分 别为 A,B ,焦距为 2c ,以 F1F2 为直径的圆与椭圆 E 在第一和第三象限分别交于 M,N 两点. 且NM⋅AB=23ac ,则椭圆 E 的离心率为（ ）
A. 22 B. 2 C. 33 D. 63
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示
记“产销率” = 销量 产量 ×100%,2015-2023 年新能源电车产量的中位数为 m ,则（ ）
A. m=18.7
B. 2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关
C. 从 2015 -2023 年中随机取 1 年,新能源电车产销率大于 100% 的概率为 29
D. 从 2015 -2023 年中随机取 2 年,在这 2 年中新能源电车的年产量都大于 m 的条件下,这 2 年中新能源电车的产销率都大于 70% 的概率为 16
10. 已知动点 M,N 分别在圆 C1:x-12+y-22=1 和 C2:x-32+y-42=3 上,动点 P 在 α 轴上, 则（ ）
A. 圆 C2 的半径为 3
B. 圆 C1 和圆 C2 相离
C. PM+PN 的最小值为 210
D. 过点 P 做圆 C1 的切线,则切线长最短为 3
11. 若有穷整数数列 An:a1,a2,⋯ann≥3 满足: ai+1-ai∈{-1,2}i=1,2,⋯,n-1 ,且 a1=a , =0 ,则称 An 具有性质 T .则（ ）
A. 存在具有性质 T 的 A4
B. 存在具有性质 T 的 A5
C. 若 A10 具有性质 T ,则 a1,a2,⋯,a9 中至少有两项相同
D. 存在正整数 k ,使得对任意具有性质 T 的 Ak ,都有 a1,a2,⋯,ak-1 中任意两项均不相同
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知等差数列 an 的公差 d≠0 ,首项 a1=12,a4 是 a2 与 a8 的等比中项,记 Sn 为数列 an 的 前 n 项和,则 S20= _________.
13. 如图,函数 fx=3sinωx+φω>0,0<φ<π 的部分图 象如图所示,已知点 A,D 为 fx 的零点,点 B,C 为 fx 的极值点, AB⋅DC=-12AB2 ,则函数 fx 的解析式为 _________.
14. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2,BC=3,AA1=4 ,点 P 为矩形 A1B1C1D1 内一动 点,记二面角 P-AD-B 的平面角为 α ,直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 β ,若 α=β ,则三 棱锥 P-BB1D1 体积的最小值为 _________.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
15. (13 分)
设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinB+C=23sin2A2
(1) 求角 A 的大小;
(2) 若 b=3,BC 边上的高为 3217 。求 △ABC 的周长
16. (15 分)
为了研究高三年级学生的性别和身高是否太于 170 cm 的关联性,随机调查了某中学部分 高三年级的学生, 整理得到如下列联表 (单位:人):
(1) 依据 α=0.1 的独立性检验,能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?
(2) 从身高不低于 170 cm 的 15 名学生中随机抽取三名学生,设抽取的三名学生中女生人数 为 X ,求 X 的分布列及期望 EX .
(3) 若低于 170 cm 的 8 名男生身高数据的平均数为 x=166.5 ,方差为 s12=9 ,不低于 170 cm 的 10 名男生身高数据的平均数为 y=180 ,方差为 s2-2=18 . 请估计该中学男生身高数据的平均数 和方差.
附: χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
17. (15 分)
如图所示,多面体 ABCDEF ,底面 ABCD 是正方形,点 O 为底面的中心,点 M 为 EF 的中 点,侧面 ADEF 与 BCEF 是全等的等腰梯形, EF=4 ,其余棱长均为 2 .
(1) 证明: MO⊥ 平面 ABCD ;
(2) 若点 P 在棱 CE 上,直线 BP 与平面 ABM 所成角的正弦值为 24221 ,求 EP
18. (17 分)
在平面内,若直线 l 将多边形分为两部分,多边形在 l 两侧的顶点到直线 l 的距离之和相等. 则 称 l 为多边形的一条“等线”,已知 O 为坐标原点,双曲线 E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦 点分别为 F1,F2,E 的离心率为 2 点 P 为 E 右支上一动点,直线 m 与曲线 E 相切于点 P 且与 E 的 渐近线交于 A,B 两点. 当 PF2⊥x 轴时,直线 y=1 为 △PF1F2 的等线
(1) 求 E 的方程;
(2) 若 y=2x 是四边形 AF1BF2 的等线,求四边形 AF1BF2 的面积;
(3) 设 OG=13OP ,点 G 的轨迹为曲线 Γ ,证明: Γ 在点 G 处的切线 n 为 △AF1F2 的等线
19. (17 分)
已知 O 为坐标原点,曲线 fx=alnx 在点 P1,0 处的切线与曲线 gx=ex+b 在点 Q0,1+b 处的切线平行,且两切线间的距离为 2 ,其中 b≥0 .
(1) 求实数 a,b 的值;
(2) 若点 M,N 分别在曲线 y=fx,y=gx 上,求 ∠ONP 与 ∠OMQ 之和的最大值;
(3) 若点 A,B 在曲线 y=fx 上,点 C,D 在曲线 y=gx 上,四边形 ABCD 为正方形,其面 积为 S ,证明: S>2e-122
附:ln2 ≈ 0.693.
2024青岛三模数学试题
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1-8: CDAC BCBD
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. ACD 10. BD 11. ACD
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 105 ; 13. fx=3sinπ2x+5π6 ; 14. 109 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
15. (13 分)
解: (1) 因为 A,B,C 为 △ABC 的内角,
所以 sinB+C=sinA 1分
因为 sin2A2=1-csA2 .2分
所以 sinB+C=23sin2A2 可化为: sinA=31-csA 3分
即 sinA+3csA=3 4分
即 2sinA+π3=3 5分
因为 A+π3∈π3,4π3 ,解得: A=π3 6分
（2）由三角形面积公式得 12b⋅csinA=12×3217a ,所以 a=72c 9分
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccsA 得: c2+4c-12=0 11分
解得: c=2 或 c=-6 舍去
所以 △ABC 的周长为 5+7 13分
16. (15 分)
解: (1) 根据列联表中的数据, 经计算得到:
χ2=100×15×35-5×45260×40×80×20≈3.278>2.706=x0.1 3分
根据小概率值 α=0.1 的独立性检验,可以认为性别与身高有关联 4分
（2）由题可知 X 的可能取值为 0,1,2,3 ,
PX=0=C103C153=2491, PX=1=C51C102C153=4591,
PX=2=C52C101C153=2091, PX=3=C53C153=291, 8分
所以 X 的分布列为:
所以 EX=0×2491+1×4591+2×2091+3×291=1 ,
所以 X 的数学期望为 1 10分
(3)由题,18 名男生身高数据的平均数 z=49×166.5+59×180=174 11分
18 名男生身高数据的方差 s2=118i=18xi-z2+i=110yi-z2
=118i=18xi-x+x-z2+i=110yi-y+y-z2
=118i=18xi-x2+8x-z2+i=110yi-y2+10y-z2
=49×s1​2+x-z2+59×s2​2+y-z2
=59
所以, 该中学男生身高数据的平均数约为 174 , 方差约为 59
17. (15 分)
解: (1) 取 AB,CD 中点 K,Q ,连接 FK,KQ,QE ,则 O 为 KQ 的中点,
因为侧面 ADEF 是等腰梯形,所以 EF//AD ,又 KQ//AD ,所以 KQ//EF 1分 又 FK=EQ ,所以四边形 FKQE 为等腰梯形
因为点 M 为 EF 的中点,所以所以 MO⊥KQ .2分
因为 △ABF 是等边三角形,所以 AB⊥FK 3分
又 AB⊥KQ ,所以 AB⊥ 平面 FKQE
所以平面 FKQE⊥ 平面 ABCD 故 MO⊥ 平面 ABCD
(2)在梯形 FKQE 中, EF=4,KQ=2 , FK=EQ=3 ,由勾股定理得 MO=2 , 取 BC 中点 N ,由 (1) 知, OK,ON,OM 两两垂直,以 O 为原点,分别以 OK,ON,OM 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示 空间直角坐标系,
则 O0,0,0,M0,0,2,K1,0,0,C-1,1,0,A1,-1,0B1,1,0,E-2,0,2
设平面 ABM 的法向量为 n=x,y,z,AB=0,2,0,AM=-1,1,2 ,
则 n⋅AB=2y=0n⋅AM=-x+y+2z=0 ,则令 z=1 ,得 n=2,0,1
设 CP=λCE0≤λ≤1,BP=BC+CP=BC+λCE=-2-λ,-λ,2λ 设直线 BP 与平面 ABM 所成角为 θ , 所以 sinθ=cs=BP⋅nBP⋅n=2234λ2+4λ+4=24221 .
解得 λ=12 (负值舍去),所以点 P 为棱 CE 的中点,所以 EP 的长为 1.
18. (17 分)
解: (1) 由题意知 Pc,b2a,F1-c,0,F2c,0 ,显然点 P 在直线 y=1 的上方,
因为直线 y=1 为 △PF1F2 的等线,所以 b2a-1=2,e=ca=2,c2=a2+b2 2分 解得 a=1,b=3 ,所以 E 的方程为 x2-y23=1 ·4分
（2）设 Px0,y0 ,切线 m:y-y0=kx-x0 ,代入 x2-y23=1 得:
3-k2x2+2kkx0-y0x-k2x02+y02-2kx0y0+3=0,
所以 Δ=2kkx0-y02+43-k2k2x0​2+y0​2-2kx0y0+3=0 ,
该式可以看作关于 k 的一元二次方程 x0​2-1k2-2x0y0k+y0​2+3=0 ,
所以 k=x0y0x02-1=x0y01+y023-1=3x0y0 ,即 m 方程为 x0x-y0y3=1*
当 m 斜率不存在时,也成立 6分
渐近线方程为 y=±3x ,不妨设 A 在 B 上方,
联立得 xA=1x0-y03,xB=1x0+y03 ,故 xA+xB=1x0-y03+1x0+y03=2x0 ,
所以 P 是线段 AB 的中点 .7分
因为 F1,F2 到过 O 的直线距离相等,则过 O 点的等线必满足: A,B 到该等线距离相等 且分居两侧,所以该等线必过点 P ,即 OP 的方程为 y=2x ,
由 y=2xx2-y23=1 ,解得: P3,6 .9分
所以 yA=3xA=3x0-y03=33x0-y0=6+3 ,
所以 yB=-3xB=-3x0+y03=-33x0+y0=6-3 ,
所以 yA-yB=6 ,所以 SABCD=12F1F2⋅yA-yB=2yA-yB=12 11分
（3）设 Gx,y ,由 OG=13OP ,所以 x0=3x,y0=3y ,
故曲线 Γ 的方程为 9x2-3y2=1x>0 12分
由 (*) 知切线为 n 为 9x03x-3y0y3=1 ,即 x0x-y0y3=13 即 3x0x-y0y-1=0 13分
易知 A 与 F2 在 n 的右侧, F1 在 n 的左侧,分别记 F1,F2,A 到 n 的距离为 d1,d2,d3 , 由 (2) 知 xA=1x0-y03,yA=3⋅1x0-y03=3x0-y03 ,
所以 d3=3x0x0-y03-3y0x0-y03-19x02+y02=3x0-3y0-x0+y03x0-y039x02+y02=2x0-2y03x0-y039x02+y02=29x02+y02
由 x0≥1 得 d1=-6x0-19x02+y02=6x0+19x02+y02,d2=6x0-19x02+y02=6x0-19x02+y02 15分
因为 d2+d3=6x0-19x02+y02+29x02+y02=6x0+19x02+y02=d1 ,
所以直线 n 为 △AF1F2 的等线 .17分
19. (17 分)
解: (1) 因为 f'x=ax ,所以 f'1=a ,又因为 g'x=ex ,所以 g'0=1 ,
解得 a=1 1 分
所以 fx 在 1,0 处的切线方程为: y=ax-1=x-1 ,
所以 gx 在 0,1+b 处的切线方程为: y=x+1+b ,
所以 2=2+b2=2+b2 ,解得 b=0 3分
（2）(法一) 由（1）知： P1,0,Q0,1 ,记直线 NP,ON 的倾斜角分别为 α,β ,斜率分 别为 k1,k2 ,所以 ∠ONP=α-β ,设 Nx,ex,x≠0 且 x≠1 ,
所以 tan∠ONP=tanα-β=k1-k21+k1k2=exx-1-exx1+exx-1⋅exx=exx2-x+e2x 5分
令 mx=exx2-x+e2xx≠0,x≠1 ,则 m'x=exx2-3x+1-e2xx2-x+e2x2 ,
当 x>0 时,设函数 nx=ex-x-1 ,则 n'x=ex-1>0 ,
所以 nx 在 0,+∞ 单调递增,所以 nx≥n0=0 ,即 ex≥x+1>1 ,
所以 x2-3x+1-e2x≤x2-3x+1-x+12=-5x<0 ,
所以 mx 在 0,1,1,+∞ 均单调递减,且 m1=1e<1 6分
当 x<0 时, x2-3x+1-e2x>1-e2x>0 ,所以 mx 在 -∞,0 单调递增,
所以 mx所以,当点 N 坐标为 Q0,1 时, ∠ONP 最大为 π4
同理,函数 fx=lnx 与 gx=ex 的图象关于直线 y=x 对称,且 P,Q 也关于直线 y=x 对称,所以 ∠OMQ 最大为 π4 ,所以 ∠ONP 与 ∠OMQ 之和的最大值为 π2 10分
(法二) 由 (1) 知: P1,0,Q0,1 ,点 O,P 在圆 W:x-122+y-122=12 上. 5分 下面证明: 直线 l:y=x+1 与圆 W 和曲线 y=gx 均相切,
因为圆 W 的圆心到直线 l 的距离为 12=22 ,所以直线 l 与圆 W 相切,
即,除点 0,1 外,圆 W 上的点均在直线 l:y=x+1 下方 6分 又因为 mx=ex-x+1 ,则 m'x=ex-1 ,
所以 mx 在 -∞,0 单调递减,在 0,+∞ 单调递增,
所以 mx≥m0=0 ,
即,除点 0,1 外,曲线 y=gx 上的点均在直线 l:y=x+1 上方 .8分 所以,当点 N 坐标为 Q0,1 时, ∠ONP 最大为 π4
同理,函数 fx=lnx 与 gx=ex 的图象关于直线 y=x 对称,且 P,Q 也关于直线 y=x 对称,所以 ∠OMQ 最大为 π4 ,
综上知: ∠ONP 与 ∠OMQ 之和的最大值为 π2 10分
（3）因为曲线 y=fx+1+1 与与曲线 y=gx 与有唯一交点,且关于 y=x+1 对称,
并分居两侧,所以曲线 y=fx 的上的点到曲线 y=gx 上的点的最小距离 2 ,且此时 这两点只能为 P1,0,Q0,1 ,
假设函数 fx=lnx 与函数 gx=ex 的图象关于直线 y=kx+m 对称,
则点 P1,0 关于 y=kx+m 的对称点 P' 在 gx=ex 上,
点 Q0,1 关于 y=kx+m 的对称点 Q' 在 fx=lnx 上,
因为 PQ=P'Q'=2 ,所以 P' 与 Q 重合, Q' 与 P 重合,
所以, y=x 是函数 fx=lnx 与函数 gx=ex 的图象的唯一对称轴,所以 A,D 和 B,C 分别关于直线 y=x 对称, 12分
设 Ax1,lnx1,Bx2,lnx2,Cx3,ex3,Dx4,ex4 ,其中 x1所以 BC=2x2-x1=2x2-x3=2x2-lnx22=2x2-lnx2 ,
即 x1=x3=lnx2 , 14分
又因为 BC=2ex3-lnx2=2lnx2-lnx1 ,
即 ex1+lnx1=2lnx2=2x1 15分
所以 x1 为方程 ex+lnx-2x=0 的根,即 hx=ex+lnx-2xx>0 的零点为 x1 ,
因为 h'x=ex+1x-2≥x+1+1x-2=x+1x-1≥2x⋅1x-1=1>0 ,
所以 hx 在 0,+∞ 单调递增,
故 h12=e-ln2-10 ,
所以 12令 φx=ex-xx>0 ,则 φ'x=ex-1>0 ,所以 φx 在 0,+∞ 单调递增,
所以 S=2x2-x12=2ex1-x12>2e-122 17分年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
产量(万台)
3.3
7.2
13.1
14.8
18.7
23.7
36.6
44.3
43.0
销量 (万台)
2.3
5.7
13.6
14.9
15.0
15.6
27.1
29.7
31.6
性別
身高
合计
低于 170 cm
不低于 170 cm
女
14
5
19
男
8
10
18
合计
22
15
37
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
2491
4591
2091
291