数学：江苏省南通市2024年中考模拟试题（解析版）

这是一份数学：江苏省南通市2024年中考模拟试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若向东走，记为，则向西走记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵向东走，记为，
∴向西走记为．
故选：A．
2. 年月日，习近平在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从元增加到元．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】用科学记数法表示应为，
故选：A．
3. 下列算式中，结果为的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】A. ，故此选项不合题意；
B. ，故此选符合题意；
C. ，故此选项不合题意；
D ，故此选项不合题意；故选：B．
4. 某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列.
故选B.
5. 一副直角三角板(，)按如图所示的位置摆放，如果，那么的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，设交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A. 100°B. 118°C. 124°D. 130°
【答案】C
【解析】如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故选：C．
7. 某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】由图象知，甲超市的平均单价为（元/千克），
乙超市的平均单价为（元/千克），
丙超市的平均单价为（元/千克），
丁超市的平均单价为（元/千克），
∵，
∴购买该品牌商品最划算的是丙超市，
故选：C．
8. 如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：可得直线经过，
不等式可变形为：，
由图像可得：的解集是：，
不等式的解集是．
故选：D；
9. 如图，矩形中，，，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，则与对应关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】①当点在上运动时，
，
即，
其图象为一次函数图象的一部分，排除C，D；
②当点在上运动时，如图，

则，，．
，
，，
，
又，
，
，
即，
，
其图象为开口向下的二次函数图象的一部分，排除B．
故选：A．
10. 抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为，
抛物线经过点和，，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】∵在实数范围内有意义，
∴x−5≥0，解得x≥5．
故答案为：x≥5
12. 分解因式______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13. 底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为________．
【答案】
【解析】根据题意可知，圆锥的母线长为，
圆锥的侧面展开图的面积为，
故答案为：．
14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行___秒才能停下来．
【答案】20
【解析】∵，，
∴当t＝20时，s取得最大值100，
即飞机着陆后滑行20秒才能停下来，
故答案为：20．
15. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为 __．
【答案】4
【解析】根据直线的平移规律：平移后的直线为，
再将点代入，得，
解得，故答案为：4．
16. 如图所示，测得两幢大楼、的间距，，从C处看A的俯角为，从D处看B的俯角为，则的高度为 ____________________m．（结果保留根号）

【答案】
【解析】过点A作，垂足E，

由题意得：，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，∴，
故答案为：．
17. 如图，在四边形中，，，，且，则的最大值为 ____________________．

【答案】
【解析】如图，在直线的右侧作等腰直角三角形，使得，，，

，，
，，
，，，
，，
，，
的最大值为，故答案为：．
18. 如图，直线与双曲线 相交于，B两点，点C在双曲线上，直线交y轴于点D，若面积为12，则C点坐标为 __.
【答案】
【解析】连接，如图所示：
∵直线与双曲线 相交于，B两点，
∴，A、B关于原点对称，
∴双曲线为，
∵点C在双曲线上，
∴设，
设直线的解析式为，
把、代入得：，
解得，
∴，
∵A、B关于原点对称，∴，
∴，
∴，解得，
∴．故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）解不等式组：
解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
20. 如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．
解：不公平，理由如下：
画树状图如下：
由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．
则甲获胜的概率，乙获胜的概率，
因为，
所以这个游戏不公平．
21. 【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，中，，是斜边上的中线，求作：菱形
小明的作法：
（1）取的中点，
（2）连接并延长到，使，
（3）连接，，四边形就是所求作菱形；
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
证明：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∵，∴，
∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴四边形是菱形．
22. 学校对甲、乙两班各50名学生进行“数学学科能力”测试，测试完成后分别抽取了10份成绩，整理分析过程如下，请补充完整：
甲班10名学生测试成绩统计如下：100，78，87，93，92，98，90，90，83，99；
乙班10名学生测试成绩不低于80，但低于90分的成绩如下：86，87，83，82，87．
【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
（1）根据以上信息，可以求出：______，______，______，______；
（2）请根据数据分析，你认为哪个班的学生数学学科能力整体水平较好，请说明理由；
（3）若规定得分在80分以上为合格，请估计参加数学学科能力测试的学生中合格的学生公共有多少人．
解：（1）甲班10名学生测试成绩统计如下：
100，78，87，93，92，98，90，90，83，99，
其中90出现了两次，次数最多，所以众数x=90；
将乙班10名学生测试成绩按从小到大的顺序排列，第5、6个数字为87，87．
所以中位数y=（87+87）÷2=87．
甲班A组的百分比为：m%==10%，
∴m=10，
甲班E组的百分比为：a%==30%，
∴a=30，
故答案为：90；87；10；30；
（2）甲班的学生数学学科能力整体水平较好，
∵甲班平均数＞乙班平均数，甲班中位数＞乙班中位数，甲班的方差＜乙班的方差，
∴甲班的学生数学学科能力整体水平较好；
（3）×100=90（人）．
即参加数学学科能力测试的学生中合格的学生共有90人．
23. 为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：．唐诗；．宋词；．论语；．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
解：（1）恰好抽中“论语”的概率是：．
故答案为：．
（2）根据题意画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果为1种，小明和小红都没有抽到“三字经”为6种，
恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率为．
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率为：．
24. 如图，为的直径，弦于点P，连接，过点D作，交于点连接，F是延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
解：（1）如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
25. 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，
则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：，
解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
26. 已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF．
（1）当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；
（2）如图②，点M在CB的延长线上，且，连接AM，当点E在BC上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．
（3）在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．
解：（1）连接AC，
在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=3，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，
∴点E与点B重合，∴AF=AB==AC，∴F为AC中点∴DF=AC=；
（2）不变，
理由如下：
过F作MA的垂线，垂足为P，
在Rt△ABM中，AB=，BM=1，
∴AM=2，tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°，
∵∠MAF=∠P+∠PFA=90°+∠PFA，
∠MAF=∠FAE+∠BAE +∠MAB=60°+∠BAE +30°=90°+∠BAE，
∴∠PFA=∠BAE，
∵AE=AF，∠P=∠ABE=90°，
∴△APF≌△EBA，
∴FP=AB=，
S△AMF=AM•FP=；
（3）以AD为边向右侧作等边△ADQ，连接QE，
∵△ADQ、△AEF等边三角形，
∴∠DAQ=∠FAE=60°，AF=AE，AD=AQ，
∴∠DAF=∠QAE，
∴△ADF≌△AQE，
∴DF=QE，
当E在B（或C）时，QE最大，
同（1）得∠ADB=30°，则∠QDB=30°，又AD=AQ，
∴DB是线段AQ的垂直平分线，
∴QE最大=AB=；
过点Q作QG⊥AD于点G，交BC于点H，
当E与点H重合时，此时当E在BC中点，QE最小，
QG=ODsin60°=，
QE最小=QG-EG=；
∴≤DF≤．
27. 我们定义：若点P在一次函数图象上，点Q在反比例函数 图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若一次函数和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标为，求的取值范围．
解：（1）由定义可知，，
故答案为：1，2，1；
（2）由题意可知，“衍生函数”为，
∵顶点在x轴上，
∴，
∴反比例函数为，
∵“基点”P的横坐标为1，
∴，
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴，
∵反比例函数为，
∴，
解得，
∴“靶点”的坐标；
（3）①由题意可知“衍生函数”为，
∵经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设“靶点”，则，
∴，
整理得，
∴，
∴方程有两个不同的实数根，
∴一次函数图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
组别/
频数
：
：
：
：
：
甲
1
1
1
4
3
乙
1
2
3
1
3
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
91
91
45.0
乙
88.7
87
45.5