（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习01《集合的概念》(2份打包，原卷版+教师版)

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第1课时 集合的含义
1．元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
3．常见的数集及表示符号
1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学2019年入学的全体学生
2．用“bk”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．用“∈”或“∉”填空：
eq \f(1,2)________N；－3________Z；eq \r(2)________Q；0________N*；eq \r(5)________R.
4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.
集合的基本概念
【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②eq \r(2)∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
判断元素与集合关系的2种方法
1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2．集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
集合中元素的特性及应用
[探究问题]
1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
提示：a≠b.
2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
提示：a＝1或b＝1.
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．
2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
1．思考辨析
(1)接近于0的数可以组成集合．( )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－9＝0在实数范围内的解
C.eq \r(3)的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
第2课时 集合的表示
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.(2){x|x<5，x∈R}．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2,2)} B．{－2,2} C．{－2} D．{2}
2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
用列举法表示集合的3个步骤
1求出集合的元素；
2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
3用花括号括起来.
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{2，3，5，－1}.
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝8，,x－y＝1))的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
描述法表示集合的2个步骤
2.用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
集合表示方法的综合应用
[探究问题]
下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.
1．思考辨析
(1){1}＝1.( )
(2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．( )
(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．( )
(4){x|x2＝1}＝{－1,1}．( )
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－33．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
3．下列集合恰有两个元素的是( )
A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x} C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x}
4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
5．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是( )
A．a≠2 B．a＞2 C．a≥2 D．a＝2
二、填空题
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________.
7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．
8．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的偶数的集合；
(2)被3除余1的正整数的集合；
(3)一次函数y＝2x－3图象上所有点的集合；
(4)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集．
10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
B级：“四能”提升训练
1．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
2．设实数集S是满足下面两个条件的集合：
①1∉S；②若a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S；
(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．
2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
学 习 目 标
核 心 素 养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．
2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.