（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习07《基本不等式》(2份打包，原卷版+教师版)

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1．重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，把eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2eq \r(ab)
C．2ab D．a＋b
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2.
②若x＜0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))≤－2eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4.
③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.
利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
本例条件不变，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
4．已知a＞1，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，求证：a＋2b≥2eq \r(6)＋7.
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.
2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤(eq \f(a＋b,2))2.( )
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0a＋b
3．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5
4．设a>0，b>0，证明：eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.
第2课时 基本不等式的应用
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4).
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p).
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )
A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5
2．若x>0，则x＋eq \f(2,x)的最小值是________．
3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x(2)已知0利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.
1．(1)已知x>0，求函数y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)的最小值；
(2)已知0利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．
若把“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋eq \f(b,x)型和f(x)＝ax(b－ax)型．
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值．
利用基本不等式解决实际问题
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
2．对于函数y＝x＋eq \f(k,x)(k>0)，可以证明0＜x≤eq \r(k)及－eq \r(k)≤x＜0上均为减函数，在x≥eq \r(k)及x≤－eq \r(k)上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±eq \r(k)时，可用基本不等式，不包含±eq \r(k)时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)．
3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq \f(购地总费用,建筑总面积)
1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).( )
2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1 B．2eq \r(2) C．2 D．4
3．已知0A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4) C.eq \f(2,3) D.eq \f(2,5)
4．已知x>0，求y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
3．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是( )
A.eq \f(1,ab)≥8 B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4
C.eq \r(ab)≥eq \f(1,2) D.eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,2)
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
5．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq \f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B.eq \f(9,8) C．2 D.eq \f(9,4)
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________．
7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．
8．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
三、解答题
9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求证：eq \r(x)＋eq \r(y)＋eq \r(z)≤ eq \r(3).
10．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？
B级：“四能”提升训练
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
2．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低eq \f(3x,4)元，在售价不变的情况下，年销售量将减少eq \f(2,x)万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)
(1)求z的函数解析式；
(2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.