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（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习13《函数的应用(一)》(2份打包，原卷版+教师版)
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常见的几类函数模型
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A．y＝20－x,0
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．分段函数模型 D．无法确定
C [由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．]
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
60 [设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]
一次函数模型的应用
【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
D [因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3) [①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]
二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.
设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2＝eq \f(15,2)x2－500x＋25 000＝eq \f(15,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(100,3)))2＋eq \f(50 000,3)，
则当x＝eq \f(100,3)时，y最小．故当核电站建在距A城eq \f(100,3) km时，才能使供电总费用最小．
分段函数模型的应用
【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－eq \f(1,2)t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[解] (1)当0
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(1,2)x2))－0.5＋0.25x，0
即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，0
(2)当0
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．
[解] (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5
1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
2．数学建模的过程图示如下：
1．思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
(1)甲比乙先出发．( )
(2)乙比甲跑的路程多．( )
(3)甲、乙两人的速度相同．( )
(4)甲先到达终点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
A B C D
B [图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]
3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
[答案] y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(80t，0≤t≤2，,160，2
(1)求y与x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
[解] (1)由图象知，可设y＝kx＋b(k≠0)，x∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，从而y＝10x－1 000；x∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，从而y＝15x－2 500，所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x－1 000，x∈[0，200]，,15x－2 500，x∈200，300].))
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000得，x>eq \f(700,3)，故每天至少需要卖出234张门票．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)
B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)
D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)
答案 D
解析 y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200.
2．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2000双 B．4000双 C．6000双 D．8000双
答案 D
解析 由题意得5x＋40000≤10x，解得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．
3．为了改善某地的生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果每年植树亩数是时间(年数)的一次函数，则这个函数的图象是图中的( )
答案 A
解析 函数解析式为y＝0.5＋(x－1)＝x－0.5，实际问题取值范围是x≥1，故选A.
4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16000，L2＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )
A．11000元 B．22000元 C．33000元 D．40000元
答案 C
解析 设甲连锁店销售了x辆，则乙连锁店销售了(110－x)辆，∴利润L＝L1＋L2＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x＝60时，最大利润为33000元．故选C.
5．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )
A．6.9 m B．7.0 m C．7.1 m D．6.8 m
答案 A
解析 建立如图所示的坐标系，由题设条件知抛物线对应的函数解析式为y＝ax2.设A点的坐标为(4，－h)，则C点的坐标为(3，3－h)．
将这两点的坐标分别代入y＝ax2，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－h＝a·42，,3－h＝a·32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,7)，,h＝\f(48,7)≈6.9.))所以厂门的高为6.9 m.
二、填空题
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)之间的函数关系如图所示，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________．
答案 19 kg
解析 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(30,330)，(40,630)代入得y＝30x－570，令y＝0可得x＝19.
7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案 60
解析 设涨价x元时，获得的利润为y元，有y＝(5＋x)·(50－2x)＝－2x2＋40x＋250.∴当x＝10时，y取得最大值，此时售价为60元．
8．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是________万元．
答案 120
解析 甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)．
三、解答题
9. 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解 (1)依题意得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－eq \f(2,3)t2＋eq \f(20,3)－eq \f(2,3)(t2－4)＋eq \f(20,3)＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－eq \f(2,3)(t3－4)＋eq \f(20,3)－eq \f(2,3)(t3－9)＋eq \f(20,3)＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，则游客需付给旅行社每人900元；若每团人数多于30，则给予以下优惠：每多1人，每人减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．
(1)写出每位游客需付的费用y(单位：元)关于每团的人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)由题意，得
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0
S(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900x－15000，0
又在区间(30,75]上，S(x)＝－10(x－60)2 ＋21000，所以当x＝60时，S(x)取得最大值21000.
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
B级：“四能”提升训练
1．国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
解 设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的附加税金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36>0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元．
2．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq \f(1,2)x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为eq \f(y,x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(80000,x)－200≥2eq \r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，
当且仅当eq \f(1,2)x＝eq \f(80000,x)，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq \f(1,2)x2＋300x－80000＝－eq \f(1,2)(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养.
2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx ，x∈Dn))
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