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    2024年上海市闵行区中考三模数学试卷含详解

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    这是一份2024年上海市闵行区中考三模数学试卷含详解,共26页。试卷主要包含了本试卷含三个大题,共25题,本次考试不能用计算器等内容,欢迎下载使用。

    考生注意:
    1.本试卷含三个大题,共25题.
    2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
    3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
    4.本次考试不能用计算器.
    一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)
    1. 下列说法正确的是( )
    A. 无限小数都是无理数
    B. 没有立方根
    C. 正数的两个平方根互为相反数
    D. 没有平方根
    2. 已知,,而且和的方向相反,那么下列结论中正确的是( )
    A. B. C. D.
    3. 下列成语所反映的事件中,是确定事件的是( )
    A. 十拿九稳B. 守株待兔C. 水中捞月D. 一箭双雕
    4. 方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据,,,…,,可用如下算式计算方差:,其中“5”是这组数据的( )
    A 最小值B. 平均数C. 中位数D. 众数
    5. “利用描点法画函数图象,进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式,请试着研究函数,其图象位于( )
    A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限
    6. 如图,在矩形中,为对角线的中点,.动点在线段上,动点在线段上,点同时从点出发,分别向终点运动,且始终保持.点关于的对称点为;点关于的对称点为.在整个过程中,四边形形状的变化依次是( )
    A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
    B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
    C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
    D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
    二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
    7. 若函数是反比例函数,则的值是__.
    8. 为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩,从中抽取50本试卷,每本试卷25份,那么样本容量是__.
    9. 如果关于的多项式在实数范围内因式分解,那么实数的取值范围是________.
    10. 某班共有6名学生干部,其中4名是男生,2名是女生,任意抽一名学生干部去参加一项活动,其中是女生的概率为_____.
    11. 如果二次函数图象的一部分是下降的,那么的取值范围是__.
    12. 一个多边形的内角和是,这个多边形的边数是______.
    13. 若点P到上的所有点的距离中,最大距离为8,最小距离为2,那么的半径为__.
    14. 如图,在平行四边形ABCD中,点M是边CD中点,点N是边BC中点,设,,那么可用,表示为_____________.
    15. 中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为,曲线终点为,过点,的两条切线相交于点,列车在从到行驶的过程中转角为.若圆曲线的半径,则这段圆曲线的长为________.

    16. 蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为,,则点M的坐标为__.
    17. 如图,为等腰直角三角形,为的重心,E为线段上任意一动点,以为斜边作等腰(点D在直线的上方),为的重心,设两点的距离为d,那么在点E运动过程中d的取值范围是_________.
    18. 在平面直角坐标系中,一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形.若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形,则________.

    三、解答题:(本大题共7题,满分78分)
    19. 计算:.
    20. 解方程组:
    21. 如图,一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数图象的一个交点为M(﹣2,m).
    (1)求反比例函数解析式;
    (2)求点B到直线OM的距离.
    22. 如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃,流速为;开水的温度为100℃,流速为.某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯温度为60℃的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间.
    23. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的延长线与BC相交于点F,OD2 = OB·OE.
    (1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
    (2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BF,求证:△ABE∽△ACD.
    24. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构,它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间,如图,某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成,其中E点为抛物线的拱顶且高,,,取中点O,过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E,若以O点为原点,所在直线为x轴,为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
    解决下列问题:
    (1)如图,求抛物线的解析式;
    (2)如图,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置,,若,求两个正方形装置的间距的长;
    (3)如图,在某一时刻,太阳光线(太阳光线为平行线)透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为,求的长.
    25. 如图,已知在中,射线 ,P是边上一动点,,交射线于点D,连接.,,.
    (1)求证:;
    (2)如果以为半径的圆A与以为半径的圆B相切,求线段的长度;
    (3)将绕点A旋转,如果点D 恰好与点B重合,点C落在点E的位置上,求此时的余切值.
    2023学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷
    (考试时间100分钟,满分150分)
    一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)
    1. 下列说法正确的是( )
    A. 无限小数都是无理数
    B. 没有立方根
    C. 正数的两个平方根互为相反数
    D. 没有平方根
    【答案】C
    【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可.
    【详解】A、无限循环小数是有理数,故不符合题意;
    B、有立方根是,故不符合题意;
    C、正数的两个平方根互为相反数,正确,故符合题意;
    D、﹣(﹣13)=13有平方根,故不符合题意,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了无理数、立方根、平方根,掌握无理数、立方根、平方根的定义是解题的关键.
    2. 已知,,而且和的方向相反,那么下列结论中正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】根据,而且和的方向相反,可得两者的关系,即可求解.
    【详解】∵,而且和的方向相反

    故选D.
    【点睛】本题考查的是向量,熟练掌握向量的定义是解题的关键.
    3. 下列成语所反映的事件中,是确定事件的是( )
    A. 十拿九稳B. 守株待兔C. 水中捞月D. 一箭双雕
    【答案】C
    【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可.
    【详解】解:A. 十拿九稳是随机事件,不符合题意;
    B.守株待兔是随机事件,不符合题意;
    C.水中捞月是不可能事件,是确定事件,符合题意;
    D. 一箭双雕是随机事件,不符合题意;
    故选:C.
    4. 方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据,,,…,,可用如下算式计算方差:,其中“5”是这组数据的( )
    A. 最小值B. 平均数C. 中位数D. 众数
    【答案】B
    【分析】根据方差公式的定义即可求解.
    【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.
    故选B.
    【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系,解题的关键是熟知方差公式的性质.
    5. “利用描点法画函数图象,进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式,请试着研究函数,其图象位于( )
    A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限
    【答案】A
    【分析】根据的取值,判断的范围即可求解.
    【详解】解:当时,,此时点第一象限,
    当时,,此时点在第二象限,
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点,掌握分类讨论思想是解答本题的关键.
    6. 如图,在矩形中,为对角线的中点,.动点在线段上,动点在线段上,点同时从点出发,分别向终点运动,且始终保持.点关于的对称点为;点关于的对称点为.在整个过程中,四边形形状的变化依次是( )
    A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
    B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
    C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
    D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
    【答案】A
    【分析】根据题意,分别证明四边形是菱形,平行四边形,矩形,即可求解.
    【详解】∵四边形是矩形,
    ∴,,
    ∴,,
    ∵、,

    ∵对称,
    ∴,

    ∵对称,
    ∴,
    ∴,
    同理,


    ∴四边形是平行四边形,
    如图所示,

    当三点重合时,,


    ∴四边形是菱形,
    如图所示,当分别为的中点时,
    设,则,,
    在中,,
    连接,,
    ∵,
    ∴是等边三角形,
    ∵为中点,
    ∴,,
    ∴,
    根据对称性可得,
    ∴,
    ∴,
    ∴是直角三角形,且,
    ∴四边形是矩形,

    当分别与重合时,都是等边三角形,则四边形是菱形

    ∴在整个过程中,四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形,
    故选:A.
    【点睛】本题考查了菱形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,矩形的性质与判定,勾股定理与勾股定理的逆定理,轴对称的性质,含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
    7. 若函数是反比例函数,则的值是__.
    【答案】
    【分析】本题考查反比例函数定义.根据反比例函数的定义:,列式计算即可.
    【详解】解:∵函数是反比例函数,
    ∴,
    故答案为:
    8. 为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩,从中抽取50本试卷,每本试卷25份,那么样本容量是__.
    【答案】1250
    【分析】本题主要考查样本容量,掌握样本容量的概念是解题的关键.
    根据抽取的试卷的本数每本试卷的份数即可得出答案.
    【详解】
    样本容量是1250.
    故答案:1250.
    9. 如果关于的多项式在实数范围内因式分解,那么实数的取值范围是________.
    【答案】
    【分析】原多项式在实数范围内能因式分解,说明方程=0有实数根,即转换为 不小于0,再代入求值即可.
    【详解】由题意知:∵关于的多项式在实数范围内因式分解,
    ∴=0有实数根,
    ∴a=1,b=-2,c=m,
    则,
    解得:;
    故答案:.
    【点睛】本题考查因式分解,其实是考查一元二次方程根与判别式的关系,能够转换思维解题是关键.
    10. 某班共有6名学生干部,其中4名是男生,2名是女生,任意抽一名学生干部去参加一项活动,其中是女生的概率为_____.
    【答案】
    【详解】分析:根据概率公式用女生人数除以总人数即可得结论.
    详解:所有等可能结果共有6种,其中女生有2种,∴恰好是女生的概率为.
    故答案为.
    点睛:本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
    11. 如果二次函数的图象的一部分是下降的,那么的取值范围是__.
    【答案】
    【分析】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的性质是解题的关键.根据函数解析式可得抛物线开口向上,则当在对称轴左侧时,函数图象下降,所以求出函数的对称轴即可求解.
    【详解】解:,又抛物线开口向上,
    当时,随的增大而减小,图像下降;当时,随的增大而增大,图像上升;
    二次函数的图像的一部分是下降的,

    故答案为:.
    12. 一个多边形的内角和是,这个多边形的边数是______.
    【答案】8
    【分析】本题主要考查多边形内角和,熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键;因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可.
    【详解】解:由题意得:,
    ∴;
    故答案为8.
    13. 若点P到上的所有点的距离中,最大距离为8,最小距离为2,那么的半径为__.
    【答案】或者
    【分析】本题考查了点与圆的位置关系,分点P在外和内两种情况讨论,当点P在外时,最大距离与最小距离之差等于直径;当点P在内时,最大距离与最小距离之和等于直径,即可得.
    【详解】解:点P在外时,
    外一点到上所有的点的距离中,最大距离是,最小距离是,
    的半径长等于;
    点P在内时,
    内一点到上所有的点的距离中,最大距离是,最小距离是,
    的半径长等于,
    故答案为:或者.
    14. 如图,在平行四边形ABCD中,点M是边CD中点,点N是边BC的中点,设,,那么可用,表示为_____________.
    【答案】
    【分析】根据平行四边形的性质和线段的中点,可用表示出,用表示出,再根据,即可用和表示出.
    【详解】∵,
    ∴.
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴,
    ∵点M是边CD中点,点N是边BC的中点,
    ∴,,
    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查平行四边形的性质,线段的中点和向量的线性运算.利用数形结合的思想是解答本题的关键.
    15. 中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为,曲线终点为,过点,的两条切线相交于点,列车在从到行驶的过程中转角为.若圆曲线的半径,则这段圆曲线的长为________.

    【答案】##
    【分析】本题考查了切线的性质,求弧长,根据题意得出,将已知数据代入弧长公式,即可求解.
    【详解】解:∵过点,两条切线相交于点,列车在从到行驶的过程中转角为.
    ∴,
    ∴,
    ∴圆曲线的长为
    故答案:.
    16. 蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为,,则点M的坐标为__.
    【答案】
    【分析】设中间正六边形的中心为,连接.判断出,的长,可得结论.本题考查正多边形与圆,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
    【详解】解:设中间正六边形的中心为,连接.
    点,的坐标分别为,,图中是7个全等的正六边形,
    ,,



    ,,

    故答案为:
    17. 如图,为等腰直角三角形,为的重心,E为线段上任意一动点,以为斜边作等腰(点D在直线的上方),为的重心,设两点的距离为d,那么在点E运动过程中d的取值范围是_________.
    【答案】
    【分析】当点E与点B重合时,,当点E与点A重合时,的值最大,利用重心的性质以及勾股定理求得,,证明,推出是等腰直角三角形,据此求解即可.
    【详解】解:当点E与点B重合时,,
    当点E与点A重合时,的值最大,如图,点分别为的中点,
    ∵为等腰直角三角形,为的重心,
    ∴,
    ∴,,
    同理,
    ∴,,
    ,,,即,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,重心的性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
    18. 在平面直角坐标系中,一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形.若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形,则________.

    【答案】或
    【分析】根据题意求得点,,,根据题意分两种情况,待定系数法求解析式即可求解.
    【详解】由,当时,,
    ∴,
    ∵,四边形是矩形,
    ∴,
    ①当抛物线经过时,将点,代入,

    解得:
    ②当抛物线经过点时,将点,代入,

    解得:
    综上所述,或,
    故答案为:或.
    【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式,理解新定义,最小矩形的限制条件是解题的关键.
    三、解答题:(本大题共7题,满分78分)
    19. 计算:.
    【答案】
    【分析】本题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解题的关键;
    原式第一项利用立方根的定义化简,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项分母有理化,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.
    【详解】

    20. 解方程组:
    【答案】或
    【分析】利用因式分解法求,得到或,然后得到两个二元一次方程组,分别求出方程组的解即可.
    【详解】解:由(1)得或,
    或,
    解方程组得:, ,
    则原方程组的解为 和 .
    【点睛】本题主要考查解二元二次方程组,解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解,然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
    21. 如图,一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数图象的一个交点为M(﹣2,m).
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)求点B到直线OM的距离.
    【答案】(1)(2).
    【分析】(1)根据一次函数解析式求出M点的坐标,再把M点的坐标代入反比例函数解析式即可;
    (2)设点B到直线OM的距离为h,过M点作MC⊥y轴,垂足为C,根据一次函数解析式表示出B点坐标,利用△OMB的面积=×BO×MC算出面积,利用勾股定理算出MO的长,再次利用三角形的面积公式可得OM•h,根据前面算的三角形面积可算出h的值.
    【详解】解:(1)∵一次函数y1=﹣x﹣1过M(﹣2,m),∴m=1.∴M(﹣2,1).
    把M(﹣2,1)代入得:k=﹣2.
    ∴反比列函数为.
    (2)设点B到直线OM的距离为h,过M点作MC⊥y轴,垂足为C.
    ∵一次函数y1=﹣x﹣1与y轴交于点B,
    ∴点B的坐标是(0,﹣1).
    ∴.
    在Rt△OMC中,,
    ∵,∴.
    ∴点B到直线OM的距离为.
    22. 如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃,流速为;开水的温度为100℃,流速为.某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯温度为60℃的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间.
    【答案】该学生接温水的时间为,接开水的时间为
    【分析】本题考查一元一次方程的实际应用, 设该学生接温水的时间为,则接温水,开水,由物理常识的公式可得方程,解方程即可.
    【详解】解:设该学生接温水的时间为,
    根据题意可得:,
    解得,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴该学生接温水的时间为,接开水的时间为.
    23. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的延长线与BC相交于点F,OD2 = OB·OE.
    (1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
    (2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BF,求证:△ABE∽△ACD.
    【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
    【分析】(1)由题意,得到,然后由AD∥BC,得到,则,即可得到AF//CD,即可得到结论;
    (2)先证明∠AED=∠BCD,得到∠AEB=∠ADC,然后证明得到,即可得到△ABE∽△ADC.
    【详解】证明:(1)∵OD2 =OE · OB,
    ∴.
    ∵AD//BC,
    ∴.
    ∴.
    ∴ AF//CD.
    ∴四边形AFCD是平行四边形.
    (2)∵AF//CD,
    ∴∠AED=∠BDC,.
    ∵BC=BD,
    ∴BE=BF,∠BDC=∠BCD
    ∴∠AED=∠BCD.
    ∵∠AEB=180°∠AED,∠ADC=180°∠BCD,
    ∴∠AEB=∠ADC.
    ∵AE·AF=AD·BF,
    ∴.
    ∵四边形AFCD是平行四边形,
    ∴AF=CD.
    ∴.
    ∴△ABE∽△ADC.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例,平行四边形的判定和性质,以及平行线的性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法,正确找到证明三角形相似的条件.
    24. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间,如图,某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成,其中E点为抛物线的拱顶且高,,,取中点O,过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E,若以O点为原点,所在直线为x轴,为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
    解决下列问题:
    (1)如图,求抛物线的解析式;
    (2)如图,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置,,若,求两个正方形装置的间距的长;
    (3)如图,在某一时刻,太阳光线(太阳光线为平行线)透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为,求的长.
    【答案】(1);
    (2);
    (3)
    【分析】(1)根据题意得到的坐标,设函数解析式为,求出点坐标,待定系数法求出函数解析式即可;
    (2)根据正方形性质得到,求出时,对应的自变量的值,得到的长,再减去两个正方形的边长即可得解;
    (3)设直线的解析式为,根据题意求出直线的解析式,进而设出过点的光线解析式为,利用光线与抛物线相切,求出的值,进而求出点坐标,即可得出的长.
    【小问1详解】
    解:由题知,E点为抛物线顶点坐标为,
    设抛物线的解析式为,
    四边形为矩形,为的中垂线, ,
    ,,


    将其代入中,
    有,

    抛物线的解析式为;
    【小问2详解】
    解:四边形和为正方形,,

    延长交于点,延长交于点,易知四边形和为矩形,
    ,,


    当时,,解得,
    ,,


    【小问3详解】
    解:为的中垂线, ,

    ,,
    设直线的解析式为,
    则,解得,
    直线的解析式为,
    太阳光为平行线,
    设过点且平行于直线的解析式为,
    由题意得与抛物线相切,即只有一个交点,
    联立,
    整理得,
    则,解得,

    当时,,



    【点睛】本题考查二次函数的实际应用,坐标与图形,中垂线性质,待定系数法求出函数解析式,正方形的性质,矩形的性质和判定.读懂题意,正确的求出二次函数解析式,利用数形结合的思想进行求解,是解题的关键.
    25. 如图,已知在中,射线 ,P是边上一动点,,交射线于点D,连接.,,.
    (1)求证:;
    (2)如果以为半径的圆A与以为半径的圆B相切,求线段的长度;
    (3)将绕点A旋转,如果点D 恰好与点B重合,点C落在点E的位置上,求此时的余切值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)2 (3)
    【分析】(1)先由平行线证明,再由已知条件,证明,得出对应边成比例,即可得出结论;
    (2)设,作于H,,先根据勾股定理求出,再由勾股定理得出
    ,由两圆外切时,,得出方程,解方程即可;
    (3)作于G;先根据题意得出,解方程求出,再证明为等边三角形求出,然后证明四边形为矩形得出,,求出,即可求的余切值,
    【小问1详解】






    【小问2详解】
    设,作于H,如图所示∶
    ,,


    根据勾股定理得∶ ,


    两圆相切时,,
    即,
    解得:,
    的长度为2;
    【小问3详解】
    根据题意得:,
    解得:,


    为等边三角形,
    ,,,,
    ∴四边形为矩形,
    ,,
    作于G,如图所示:
    则,



    【点睛】本题是相似形综合题,考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识;通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形是解题的关键.
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