2024年上海市长宁区中考三模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市长宁区中考三模数学试卷含详解，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A. 条形图B. 扇形图
C 折线图D. 频数分布直方图
4. 如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中，真命题是( )
A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
6. 如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算：________.
8. 已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
9. 已知正比例函数是常数，图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而______．（填“增大”或“减小” ）
10. 如果关于x的方程有两个实数根，那么m的值是 _____________．
11. 如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是3的倍数的概率是________．
12. 如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线表达式是 _____．
13. 为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400 名学生，结果有170 名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ____________人．
14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端D观察水岸C，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么井深为______米．
15. 如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设=，=，那么向量用向量表示为____．
16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．
17. 如图，在中，，，点D 在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点 C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为___________．
18. 在矩形中 ，，点 O在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是____________．
三、解答题：（本大题共7題，10+10+10+10+12+12+14=78 分）
19. 计算： ．
20. 解不等式（组）．
21. 如图，在直角梯形中 ，，， ．
（1）求梯形的面积；
（2）连接，求的正切值．
22. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．
（参考数据：，，，，，）
任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？
23. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．

（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标；
（3）如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围．
25. 已知是的一条弦，点C 在上，连结并延长，交弦于点D，且．
（1）如图1，如果平分，求证：；
（2）如图2，如果，求的值；
（3）延长线段交弦于点E，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长．
2023学年第二学期九年级数学学科5月教学质量检测卷
一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
2. 用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成，再去分母即可得到答案．
【详解】解：
设，则，
∴原方程为，即，
故选：A．
3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A. 条形图B. 扇形图
C. 折线图D. 频数分布直方图
【答案】B
【分析】根据统计图的特点判定即可．
【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
4. 如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用待定系数法即可求得．
【详解】解：设这个反比例函数的解析式为，
由题意，将点代入得：，
则这个反比例函数的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
5. 下列命题中，真命题是( )
A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【答案】C
【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；
D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．
6. 如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到，
由点在外，于是得到，即可得到结论．
【详解】解：连接AD，
∵，，，
∴
∵半径长为3，与相交，
∴，
∵，
∴，
∵点在外，
∴，
∴的半径长的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算：________.
【答案】.
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.
【详解】解：
故填：.
【点睛】单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
8. 已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【答案】1．
【分析】根据f(x)=，将代入即可求解．
【详解】解：由题意得：f(x)=，
∴将代替表达式中的，
∴f(3)==1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
9. 已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而______．（填“增大”或“减小” ）
【答案】减小
【分析】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小．根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小，
故答案为：减小．
10. 如果关于x的方程有两个实数根，那么m的值是 _____________．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：4．
11. 如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是3的倍数的概率是________．
【答案】
【分析】用抽到数是3的倍数的结果数除以所有等可能结果数即可．
【详解】解：∵任意抽取一个数字共有10种等可能结果，其中抽到的数是3的倍数的有3、6、9这3种结果，
∴抽到的数是3的倍数的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12. 如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 _____．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，
故答案为：．
13. 为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400 名学生，结果有170 名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ____________人．
【答案】3570
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用8400乘以样本中会游泳的人数占比即可得到答案．
【详解】解：人，
∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为3570人，
故答案为：3570．
14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端D观察水岸C，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么井深为______米．
【答案】7
【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
解得米，
故答案为7．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15. 如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设=，=，那么向量用向量表示为____．
【答案】2+．
【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴==，
∵=+=+，
∴==+，
∵=+，
∴=++=+．
故答案为：+．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．
【答案】350．
【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．
【详解】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：
，
解得：，
∴s=70t+400；
当t=15时，s=1450，
1800﹣1450=350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
17. 如图，在中，，，点D 在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点 C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，解直角三角形等等，过点E作于H，，证明是等边三角形，进而求得，再由折叠得到，进而求出，最后在中使用三角函数即可求出的长．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴点E到直线的距离为，
故答案为：．
18. 在矩形中 ，，点 O在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是____________．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键．根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于点，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据三角形相似的性质，分别求出两种情况下的的长，即可得到答案．
【详解】解：矩形中，，
，，，
如图1，设与边相切于点，连接，

∴，，
，
，
，即，
；
如图2，设与边相切于，连接，

同理可证明，
，即，
，
；
综上所述，如果与矩形的边没有一个公共点，那么．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7題，10+10+10+10+12+12+14=78 分）
19. 计算： ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了分母有理化，实数的运算，负整数指数幂和分数指数幂，先计算分数指数幂，负整数指数幂和分母有理化，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
20. 解不等式（组）．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
21. 如图，在直角梯形中 ，，， ．
（1）求梯形的面积；
（2）连接，求的正切值．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积；
（2）过作于，由相似三角形性质可知，再根据勾股定理得到，，进而求解即可．
【小问1详解】
解：过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴梯形的面积；
【小问2详解】
解：过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的正弦值＝．
22. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．
（参考数据：，，，，，）
任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？
【答案】任务一：；任务二：；任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等．
【分析】任务一：两数之和除以2，即可作答；
任务二：设，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）．
【详解】任务一：平均值：，
故答案：；
任务二：由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（m），
答：旗杆GH的高度为．
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．
(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．

（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标；
（3）如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）
（3）抛物线顶点D位于内，a的取值范围是
【分析】（1）已知抛物线与x轴的两交点，设其交点式为且，再代入C点坐标求得a即可；
（2）如图1，设交y轴于点E，由点B、C坐标可得为等腰直角三角形，再由可得，利用可得的坐标，然后由B、E两点坐标可得直线解析式，再与二次函数解析式联立即可求得交点坐标；
（3）由二次函数与x轴两交点可得其对称轴为，利用其交点式且，可得顶点坐标为，由点B、C坐标求得直线解析式令可得抛物线顶点纵坐标的最大值，若顶点D位于内，则顶点纵坐标要大于0，解不等式即可求得a的取值范围；
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为且，
将点C的坐标（0，3）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图1，设交y轴于点E，

∵、，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∵点P在第三象限，
∴，
设直线的解析式为：且，
把和代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当直线和二次函数相交时：，
解得：，，
代入一次函数可得交点坐标为或，
∵点P在第三象限，
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线经过A、B两点，
∴对称轴是：直线，
由、，可得直线的解析式为：，
可知当时，，
设抛物线的解析式为且，
令可得其顶点坐标为，
当顶点坐标刚好在直线上时可得：，则，
由图可知当抛物线的顶点D位于内时，其顶点纵坐标取值范围：，
∴；
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合，正切三角函数，二次函数的对称轴等知识；掌握二次函数的交点式是解题关键．
25. 已知是的一条弦，点C 在上，连结并延长，交弦于点D，且．
（1）如图1，如果平分，求证：；
（2）如图2，如果，求的值；
（3）延长线段交弦于点E，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等：
（1）由等边对等角和角平分线的定义证明，进而证明，即可证明；
（2）根据等边对等角得到，，进而证明，则，进一步可求出，过点D作，垂足为点H，则 ；证明，得到，由，得到，则；
（3）分情况讨论两种情况：时或时两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点D作，垂足为点H，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
当时，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
课题
测量旗杆的高度
成员
组长××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上．
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量数据
度数
的度数
A，B之间的距离
课题
测量旗杆的高度
成员
组长××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上．
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量数据
的度数
的度数
A，B之间的距离