高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.4 两条直线的交点练习题

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考点一：两条直线的交点坐标
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0. ))
2．两直线的位置关系
【题型归纳】
题型一：直线的交点坐标
1．（2023秋·高二）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标.
【详解】易知直线的斜率为，
由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；
联立，解得；
即交点为
故选：C.
2．（2023·全国·高二专题练习）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.
【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：B.
3．（2023·全国·高二专题练习）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出交点，再根据平行关系求方程即可.
【详解】解：联立，解得，即交点为，
因为直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即．
故选：B．
题型二：由直线的交点个数求参数
4．（2021秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校）已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可.
【详解】因为直线与线段总有公共点，
所以点和点不同在直线的一侧，
所以，
解得或.
即的取值范围是.
故选：B
5．（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期中）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围
【详解】直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.
故选：C
6．（2022·江苏·高二）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案；
【详解】联立，得，
∵直线与射线恒有公共点，
∴，
解得.
∴m的取值范围是.
故选：C.
题型三：由交点坐标求参数
7．（2023·全国·高二专题练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20B．-4C．12D．4
【答案】A
【分析】根据两直线垂直，列出方程求得的值，再由两种的交点为，列出方程组求得的值，即可求解.
【详解】由两直线与垂直，可得，即，
又由两直线的交点坐标是，可得，解得，
所以.
故选：A.
8．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到交点坐标为，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】，即交点为.
因为交点在第一象限，所以.
故选：A
9．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；
若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.
故实数的取值最多有个.
故选:C
题型四：三直线可以围成三角形问题
10．（2023·全国·高二专题练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠B．a≠
C．a≠且a≠D．a≠且a≠1
【答案】C
【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．
【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若，则三条直线围成三角形，
若，则，，解得，
时，由，得，代入得，或，因此
综上：且．
故选：C．
11．（2023秋·全国·高二随堂练习）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（ ）
A．或B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】先排除平行与重合情况，再排除交于一点的情况，最后给出答案.
【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若，则由，得.
②若，则由，得.
③若，则由，得.
当时，与三线重合，当时，平行.
④若三条直线交于一点，由解得
将的交点的坐标代入的方程，
解得（舍去）或.
所以要使三条直线能构成三角形，需且.
故选：D.
【点睛】本题考查直线的位置关系，是基础题.
12．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是( )
A． B．， C． D．，
【答案】A
【分析】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得的范围．
【详解】解：三条直线，，构成三角形，
故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．
而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以，
故选：A．
题型四：直线交点系方程问题
13．（2022·全国·高二假期作业）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值.
故选：A.
14．（2022·高二课时练习）若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程．
【详解】解：直线与直线方程相减可得：
，
把点代入可得：，
线段的中垂线方程是，化为：．
故选．
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.
【详解】直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
故选：C.
【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.
题型五：直线交点综合问题
16．（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形中，边所在直线方程为，边所在直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)若点的坐标为，分别求与边所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)所在直线方程为，所在直线方程为.
【分析】（1）直接联立方程组即可得到的坐标；
（2）根据，，设平行一般式，解出其中未知数即可.
【详解】（1）联立，解得，
所以.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，设所在直线的方程为：，
代入点C的坐标，得，
所以所在直线的方程为：，
同理，设所在直线的方程为：，
代入点C的坐标，得，
所以所在直线的方程为：.
17．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出点的坐标，利用垂直可得答案；
（2）根据，及的方程可得C的坐标，结合点斜式方程可得答案.
【详解】（1）由条件设，因为所在的直线和垂直，
∴，∴.
∴，.
（2）设，，因为，∴，
∴.
∴，，因为在，∴.
∴，∴，
∴的方程为，即.

18．（2022秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期中）（1）己知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程；
（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）设，将中点坐标代入方程可求得点坐标；由垂直关系可求得直线方程，与直线方程联立可求得点坐标；根据直线方程的两点式可整理得到直线的方程；
（2）当直线过原点时，结合直线斜率可得方程；当直线不过原点时，结合直线方程截距式可求得结果.
【详解】（1）由题意知：点在直线上，则可设，
中点为，，解得：，
，，直线方程为：，即，
由得：，即；
直线的方程为：，即；
（2）设直线在轴上的截距分别为，
当时，直线经过原点，则直线斜率，
直线方程为，即；
当时，可设直线方程为，则，
直线方程为；
综上所述：直线方程为或.
【双基达标】
一、单选题
19．（2023秋·高二课时练习）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（ ）
A．7，1B．1，7
C．D．
【答案】B
【分析】将点分别代入两直线方程即可解得，.
【详解】将点代入直线的方程可得，解得；
将代入直线的方程可得，解得；
故选：B
20．（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20B．C．12D．4
【答案】A
【分析】由直线与互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再将垂足代入两直线方程可求出，继而可求.
【详解】因为直线与互相垂直
所以，解的，
所以直线为，
又垂足为，可得，解得，
则垂足为，又其在上，
可得，解得.
所以，
故选：A.
21．（2023·全国·高二专题练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.
【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若平行，则，即；
若平行，则，即无解；
若平行，则，即；
若三条直线交于一点，，可得或；
经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.
故选：B
22．（2023·全国·高二专题练习）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；
所以直线斜率存在设为，
则直线方程为，
联立直线得： ，
联立直线得：，，
所以直线与直线，直线的交点为：
，
又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，
所以，
解得：，
所以直线的方程为：，
故选：B.
23．（2023秋·广东·高二统考期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程.
【详解】，解得，故直线交点为，
直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，
故所求直线方程为，整理得到.
故选：B
24．（2023·全国·高二专题练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.
【详解】因为是直线和的公共点，
所以，且，
所以两点和都在同一条直线上，
故两点和所确定的直线方程是，
故选:A.
25．（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.
【详解】（1）（1）因为，又直线的斜率,
所以直线的斜率,则.
由
所以直线和的交点坐标为.
（2）由题意知的斜率k存在，设
令得，令得，
因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
26．（2023秋·高二课时练习）已知在中，点的坐标分别为，的中点在轴上，的中点在轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，根据中点坐标公式即可得解；
（2）先求出的坐标，再根据直线方程的截距式即可得解.
【详解】（1）设点的坐标为，
因为的中点在轴上，的中点在轴上，
所有，解得，
所以点的坐标为；
（2）由（1）知，，
由直线方程的截距式，得直线的方程为，即.
27．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：，直线过点且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)直线与直线关于轴对称，求直线，，所围成的三角形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直确定直线m的斜率，根据直线过的点即可求得答案；
（2）根据直线与直线关于轴对称，可得n的方程，进而求出直线，，所围成的三角形的顶点坐标，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知直线：的斜率为，
直线过点且与直线垂直，则，
故直线的方程为，即；
（2）直线与直线关于轴对称，则直线的方程为，
即，

如图示，设直线，，所围成的三角形为,
则,
联立，解得，即,
联立，解得，即,
直线与y轴的交点为，
故直线，，所围成的三角形的面积为.
【高分突破】
一、单选题
28．（2023·全国·高二专题练习）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【详解】入射光线所在的直线方程为，即，
联立方程组解得即入射点的坐标为．
设P关于直线对称的点为，
则解得即．
因为反射光线所在直线经过入射点和点，
所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
即．
故选：D
29．（2022秋·广东佛山·高二佛山一中校考期中）着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立两直线方程求出交点坐标，根据交点在第四象限列出不等式即可求出.
【详解】联立，可解得，
因为交点在第四象限，所以，解得.
故选：A.
30．（2022秋·四川广安·高二广安二中校考期中）已知一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，化简得，解得，
故反射光线过点与点，
则反射光线所在直线的方程为.
故选：C.
31．（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解.
【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为，
所以，
所以边所在直线的方程为，即.
又边上的中线所在直线方程为，
由，解得，
所以.
设，则线段的中点，
则
解得
即，
所以所在直线的方程为.
故选：D
32．（2022秋·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 1，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
二、多选题
33．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知直线：，直线：，则（ ）
A．当时，两直线的交点为B．直线恒过点
C．若，则D．若，则或
【答案】ABC
【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，即可判断C、D.
【详解】对于A：当时直线：，直线：，由，
解得，所以两直线的交点为，故A正确；
对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D：若，则，解得或，
当时直线：，直线：两直线重合，故舍去，
当时直线：，直线：，两直线平行，
所以，故D错误；
故选：ABC
34．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A．与的交点坐标是
B．过与的交点且与垂直的直线的方程为
C．，与x轴围成的三角形的面积是
D．的倾斜角是锐角
【答案】BC
【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定垂直的直线的斜率则可求得直线方程，即可判断B；根据直线与直线的位置确定，与x轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜率与倾斜角的关系即可判断D.
【详解】与 可得，，
解得交点坐标为，所以A错误；
由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为，
由点斜式得，即，所以B正确；
如图，与轴相交于，与轴相交于，
与相交于

所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确；
的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误.
故选：BC.
35．（2022秋·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考竞赛）下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为，则实数的取值范围是
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BD
【分析】根据斜率为求得的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；由两直线相交得出，因为，所以，解不等式可判断C；分为两种情况讨论，当在轴和轴上截距都为时；当过点且在轴和轴上截距相等不为时，求出直线方程可判断D.
【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故选项A正确；
对于B：当时，与直线斜率乘积等于，两直线互相垂直，所以充分性成立；
若“直线与直线互相垂直”，则可得或，所以不一定有，故必要性不成立，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选项B错误；
对于C：因为直线与直线相交，
所以两直线的斜率不相等，即，即，
由与消去得，
因为，所以，整理得且，
解得或，故选项C正确；
对于D：当过点且在轴和轴上截距都为时，所求直线方程为，
当过点且在轴和轴上截距相等不为时，设所求直线方程为，即，可得，所求直线的方程为，
综上，所求直线方程为或，故选项D错误.
故选：BD.
36．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则或
C．当时，与相交于点
D．直线过定点
【答案】ACD
【分析】根据直线的位置关系分别判断AB，列方程组求得方程组的解得直线交点坐标判断C，由直线方程观察得定点坐标判断D．
【详解】时，，，A正确；
，则，或，
其中时，方程为，即，方程为，两直线平行，
时，两直线方程均为，两直线重合，不平行，B错；
时，由得，即两直线交点为，C正确；方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行