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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.5 平面上的距离课时练习
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.5 平面上的距离课时练习，文件包含15平面上的距离原卷版docx、15平面上的距离解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
考点一：两点间的距离公式
（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
考点二：两条平行直线间的距离
【题型归纳】
题型一：两点间的距离公式应用
1．（2023秋·全国·高二）以为顶点的的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰非等边三角形D．等腰直角三角形
2．（2023·全国·高二专题练习）已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
3．（2022秋·天津蓟州·高二统考期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：由两点距离求坐标问题
4．（2022秋·安徽合肥·高二校）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·高二课时练习）在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ．
6．（2020秋·内蒙古包头·高二包头市第四中学校考阶段练习）已知直线在y轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为
题型三：两点间的距离公式求函数最值问题
7．（2023·全国·高二）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
8．（2023·全国·高二专题练习）代数式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：点到直线的距离问题
10．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
11．（2023·全国·高二专题练习）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）若点和点到直线的距离相等，则（ ）
A．B．C．或D．或
题型五：点关于直线的对称问题
13．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（ ）
A．B．6C．D．
14．（2023秋·高二单元测试）已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
题型六：光线反射问题
16．（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（ ）
A．B．C．4D．3
17．（2022秋·四川达州·高二达州中学校考阶段练习）一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：两条平行直线间的距离
19．（2023秋·高二课时练习）两条平行直线之间的距离为（ ）
A．B．C．D．1
20．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
21．（2022秋·广东汕头·高二校考期中）若直线与平行，则间的距离是（ ）
A．B．C．4D．2
【双基达标】
一、单选题
22．（2023秋·江苏扬州·高二统考）两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023秋·高二课时练习）已知点A（3，4），B（6，m）到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝（ ）
A．B．
C．1D．或
24．（2023·全国·高二课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（ ）
A．B．14C．D．5
25．（2023秋·高二课时练习）求下列两条平行线之间的距离：
(1)，；
(2)，．
26．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知直线经过点且与和分别交于两点，若，求直线的方程．
【高分突破】
一、单选题
27．（2023秋·全国·高二）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．4
28．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
29．（2023·全国·高二专题练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
31．（2022秋·天津·高二统考期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
32．（2023秋·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
33．（2023春·福建福州·高二校考期中）已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线、之间的距离为
二、多选题
34．（2023秋·高二课时练习）已知直线l在x轴上的截距为1．又有两点到l的距离相等，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知两平行直线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间的距离的取值可能为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
36．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，，，以下结论错误的是（ ）
A．无论a为何值，与都互相平行
B．当a变化时，与分别经过定点和
C．无论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M，则的最大值是
37．（2023·全国·高二专题练习）对于两点，，定义一种“距离”：，则（ ）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
38．（2023·全国·高二专题练习）下列结论正确的有（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5
D．直线与直线之间的距离为
39．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ）
A．周长的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为4
三、填空题
40．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）抛物线上的点到直线的距离的最小值是 .
41．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ．
42．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为 .
43．（2023秋·高二课时练习）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
44．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的距离为，则实数的值为 ．
45．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 .
46．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
四、解答题
47．（2023秋·高二课时练习）已知两直线与.
(1)当时，求a的值并求这两条直线之间的距离；
(2)试判断与能否垂直.若能，求a的值；若不能，试说明理由.
48．（2023秋·高二）入射光线问题．
(1)已知一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，求点P的坐标；
(2)已知一条光线从点射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点，求点Q的坐标及入射光线的斜率．
49．（2023秋·安徽滁州·高二安徽省滁州中学校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．
(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)求的周长．
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
考点一：两点间的距离公式
（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
考点二：两条平行直线间的距离
【题型归纳】
题型一：两点间的距离公式应用
1．（2023秋·全国·高二）以为顶点的的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰非等边三角形D．等腰直角三角形
2．（2023·全国·高二专题练习）已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
3．（2022秋·天津蓟州·高二统考期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：由两点距离求坐标问题
4．（2022秋·安徽合肥·高二校）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·高二课时练习）在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ．
6．（2020秋·内蒙古包头·高二包头市第四中学校考阶段练习）已知直线在y轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为
题型三：两点间的距离公式求函数最值问题
7．（2023·全国·高二）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
8．（2023·全国·高二专题练习）代数式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：点到直线的距离问题
10．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
11．（2023·全国·高二专题练习）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）若点和点到直线的距离相等，则（ ）
A．B．C．或D．或
题型五：点关于直线的对称问题
13．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（ ）
A．B．6C．D．
14．（2023秋·高二单元测试）已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
题型六：光线反射问题
16．（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（ ）
A．B．C．4D．3
17．（2022秋·四川达州·高二达州中学校考阶段练习）一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：两条平行直线间的距离
19．（2023秋·高二课时练习）两条平行直线之间的距离为（ ）
A．B．C．D．1
20．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
21．（2022秋·广东汕头·高二校考期中）若直线与平行，则间的距离是（ ）
A．B．C．4D．2
【双基达标】
一、单选题
22．（2023秋·江苏扬州·高二统考）两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023秋·高二课时练习）已知点A（3，4），B（6，m）到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝（ ）
A．B．
C．1D．或
24．（2023·全国·高二课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（ ）
A．B．14C．D．5
25．（2023秋·高二课时练习）求下列两条平行线之间的距离：
(1)，；
(2)，．
26．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知直线经过点且与和分别交于两点，若，求直线的方程．
【高分突破】
一、单选题
27．（2023秋·全国·高二）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．4
28．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
29．（2023·全国·高二专题练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
31．（2022秋·天津·高二统考期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
32．（2023秋·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
33．（2023春·福建福州·高二校考期中）已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线、之间的距离为
二、多选题
34．（2023秋·高二课时练习）已知直线l在x轴上的截距为1．又有两点到l的距离相等，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知两平行直线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间的距离的取值可能为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
36．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，，，以下结论错误的是（ ）
A．无论a为何值，与都互相平行
B．当a变化时，与分别经过定点和
C．无论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M，则的最大值是
37．（2023·全国·高二专题练习）对于两点，，定义一种“距离”：，则（ ）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
38．（2023·全国·高二专题练习）下列结论正确的有（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5
D．直线与直线之间的距离为
39．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ）
A．周长的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为4
三、填空题
40．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）抛物线上的点到直线的距离的最小值是 .
41．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ．
42．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为 .
43．（2023秋·高二课时练习）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
44．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的距离为，则实数的值为 ．
45．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 .
46．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
四、解答题
47．（2023秋·高二课时练习）已知两直线与.
(1)当时，求a的值并求这两条直线之间的距离；
(2)试判断与能否垂直.若能，求a的值；若不能，试说明理由.
48．（2023秋·高二）入射光线问题．
(1)已知一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，求点P的坐标；
(2)已知一条光线从点射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点，求点Q的坐标及入射光线的斜率．
49．（2023秋·安徽滁州·高二安徽省滁州中学校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．
(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)求的周长．
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
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