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第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（培优卷）（原卷版+解析版）
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第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（ ）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据平面向量的数量积求出结果.【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为． 由解得．设，则，从而．所以，解得或．又，所以，即点A的横坐标为3．故选：B．2．若直线把圆分成长度为1：2的两段圆弧，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直线和圆相交于，则根据较短弧长与较长弧长之比为得到,利用点与直线的距离建立条件关系即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，设直线和圆相交于，若较短弧长与较长弧长之比为，则，则圆心到直线的距离，即，即，故选:D 3．已知圆与圆交于两点，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得.故选：B.4．在平面直角坐标系中， 已知点 是圆心在原点， 半径为 的圆上的点， 且 ，若点 的坐标为 ， 则 的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可判断AC的中点为原点，从而，然后用坐标表示出所求，利用点B在圆上化简可得.【详解】因为，所以AC为单位圆的直径，O为AC的中点.设，则，所以所以因为，所以故选：B5．（已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标.【详解】圆C：①的圆心为，半径为2，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆，其中的中点为该圆心，为直径，设，则的中点为，，故过的圆的方程为，变形得到②，由①②相减可得直线的方程，即，整理得，令，解得，故直线过定点坐标.故选：D6．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由对称性可知反射光线过且又在该圆上，即可得为切点，再由斜率乘积为即可求出答案.【详解】易知关于轴的对称点为，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，将圆化简后可得，所以圆心，易知在该圆上，所以即为切点，因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为，即，解得故选：C．7．已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键.【详解】依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆，求的最小值相当于先求的最小值，即求圆上一点到直线的距离d的最小值，所以，即的最小值为1．故选：A．8．已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先求得定点A的坐标，再去求点关于直线的对称点的坐标，再去求点到圆上一点N距离的最小值即为的最小值.【详解】圆的圆心，半径直线可化为，令，解得，所以定点A的坐标为.设点关于直线的对称点为，由，解得，所以点B坐标为.由线段垂直平分线的性质可知，，所以（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），所以的最小值为6.故选：A多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段，弧长之比为2∶1，则圆C的方程为（ ）A．x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝【答案】CD【分析】由题意，设C (a,0)，结合被y轴分成两段的弧长比有|a|＝，根据弦长、半径、弦心距的几何关系求参数a，即可写出圆的方程.【详解】由圆C关于x轴对称，可设圆心C (a,0)，又圆C被y轴分成的两段弧长之比为2∶1，∴|a|＝，则()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，∴圆C的方程为2＋y2＝.故选：CD．10．设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）A．可能将的周长平分B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为【答案】BC【分析】根据圆心在直线上判断A，根据直线与圆的位置关系判断B，根据三角形面积公式判断C，根据几何法求出点M的轨迹方程即可判断D.【详解】对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，错误；对于B，若圆上存在两个点到直线的距离为1，则到直线的距离满足，所以，解得或，B正确；对于C，，当时，的面积有最大值2，C正确；对于，易知直线经过定点，所以，所以点的轨迹以为直径的圆，其方程为，又因为点在圆内，由，解得，所以点的轨迹方程为，D错误.故选：BC.11．已知圆O：和圆M：相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为，则下列说法正确的是（ ）A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为C．线段AB的长为D．的最大值为6【答案】BCD【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A的正误；联立两圆的方程求得的方程可判断选项B的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得的长判断选项C的正误，利用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D的正误.【详解】选项A，因为圆M的标准方程为，所以圆心为圆心为，半径为1，故选项A错误；选项B，因为圆O：和圆M：相交于A，B两点，两圆相减得到，即，故选B正确；选项C，由选项B知，圆心到直线的距离为，所以，故选项C正确；选项D，因为,，所以，又圆的半径为1，故的最大值为，故选项D正确.故选项：BCD.12．已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线为切点，则（ ）A．点与曲线上点的最小距离为B．线段长度的最小值为C．的最小值为D．存在点，使得的面积为【答案】CD【分析】设点，由，求得，由圆的性质，取得点与曲线上点的最小距离为，可判定A不正确；由，求得的最小值为，可判定B错误；设，在直角三角形中，求得，得到，结合函数的单调性，可判定C正确.结合C选项求出面积的最小值可判断D.【详解】对于A，因为，设，则，可得曲线的轨迹为圆.方程为直线： ，圆心到直线的距离为，则点与曲线上点的最小距离为，故A错误；对于B，由图可知，在直角三角形中，，要使得线段的长度最小，则取最小值，由选项A可知，长度的最小值为，故B错误；对于C，设，则，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函数在区间上单调递增，所以，即的最小值为3，故C正确；对于D，由切线长定理知，直线垂直平分线段，得，当且仅当与直线垂直时取等号，即弦长度的最小值为.此时，设的中点为，则，所以，所以的面积的最小值为，又，，的面积所以存在点，使得的面积为3，故D正确.故选：CD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ．【答案】【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：14．已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 .【答案】【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程.【详解】由题意，直线的方程化为，由得∴直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得.故答案为：.15．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为 .【答案】【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标【详解】设点，则∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，∴，∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径所以圆心坐标为，半径长为 ∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：化为一般方程为：即与联立，求得AB所在直线方程为：①其中，代入①中，得：所以 解得：直线AB恒过定点的坐标为 故答案为：16．已知圆，若圆上存在两点使得为等边三角形，则的取值范围为 .【答案】【分析】作图分析，讨论和，设D为的中点，推出三点共线，从而可得；利用点到直线的距离公式得到等量关系，结合方程知识，利用判别式可得不等式即可求得答案.【详解】由题意知为等边三角形，设D为的中点，连接，则，因为在圆上，故，故三点共线，当时，，满足圆上存在两点使得为等边三角形；时，直线OA的斜率为，则斜率为，设方程为，A到 的距离为，，而，故，即，令，则，即，由于，故，解得，即，则或，综合可得，故的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求a为何值时，两圆和．(1)外切；(2)内切．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据两圆方程写出圆心、半径，由外切得圆心距，列方程求参数；（2）由内切得圆心距，列方程求参数；【详解】（1）由，即圆心为，半径为3；由，即圆心为，半径为2；所以圆心距，若两圆外切，则，即，所以或. （2）若两圆内切，则，即，所以或.18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆心为的圆的一般方程；(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.【详解】（1）∵，，∴,∴弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线：联立，解得：，圆心坐标为，∴圆的半径，则圆的方程为.∴圆的一般方程为； （2）由（1）知圆的方程为，所以,∴在圆外，的最大值为，最小值为.19．已知：关于直线对称，且圆心在y轴上.(1)求的标准方程；(2)已知动点M在直线上，过点M引的两条切线､，切点分别为A，B.证明：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由圆心在直线上，且圆心在y轴上得出关系式求出即可；（2）设出M点坐标，得出M，A，C，B四点共圆，此圆以为直径，化简得出圆的方程为，由是圆C和圆的公共弦，两圆方程相减求出的直线方程得出结论即可.【详解】（1）由题意知，圆心在直线上，即，又因为圆心C在y轴上，所以，由以上两式得，，∴，故圆C的标准方程为（2）证明：设点M的坐标为，∵，∴M，A，C，B四点共圆，且，其圆心为线段MC的中点，，设M，A，C，B四点所在的圆为圆，∴圆的方程为，化简得.∵是圆C和圆的公共弦，∴，两式相减得，故的方程为，当时，，∴直线恒过定点.20．已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点．(1)求实数的值；(2)证明：轴平分．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意判断两圆的位置关系，列式即可求得答案；（2）联立直线和圆的方程，求得交点坐标，即可求得，即可证明结论.【详解】（1）化圆为，则圆心坐标为，半径为2．由题意圆与圆恰好有三条公切线，则两圆外切，则，解得；（2）证明：联立，得，解得或．不妨设，，∴，∴直线，的倾斜角互补，从而， 故轴平分．21．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为.（1）当时，求直线被圆截得的弦长；（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围.【答案】(1) .（2）.（3）．【详解】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时，取最大值，圆心到直线的距离，令，，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，可得点横坐标的取值范围为．试题解析：（）圆的方程为，圆心，半径．当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，弦长．（）∵圆心到直线的距离，设弦长为，则，当所截弦长最短时，取最大值，∴，令，．令，当时，取到最小值．此时，取最大值，弦长取最小值，直线上方程为．（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，由题意，圆与圆C有两个交点时符合题意，∴点横坐标的取值范围为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.(1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；(2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意设圆的方程为，再根据直线l：与圆M交于C，D两点，且，由求解；（2）由题意设，又，得到，设，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理，消去m得到，再设直线GH的方程为：，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解.【详解】（1）解：因为圆心在曲线上，所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：，设圆的方程为，又直线l：与圆M交于C，D两点，且,所以，则，解得，当时，圆的方程为，此时，圆心到直线的距离，符合题意；当时，圆的方程为：，此时，圆心到直线的距离，不符合题意；（2）如图所示： 由题意设，又，则，则，设，则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得：，，由韦达定理得，即，设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得：，，由韦达定理得，即，所以，，消去m得，设直线GH的方程为：，代入圆的方程消去y得：，，由韦达定理得，，则，即，解得或，当时，，直线GH的方程为，过定点；当时，，解得，直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意，故直线GH过定点.
第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（ ）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据平面向量的数量积求出结果.【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为． 由解得．设，则，从而．所以，解得或．又，所以，即点A的横坐标为3．故选：B．2．若直线把圆分成长度为1：2的两段圆弧，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直线和圆相交于，则根据较短弧长与较长弧长之比为得到,利用点与直线的距离建立条件关系即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，设直线和圆相交于，若较短弧长与较长弧长之比为，则，则圆心到直线的距离，即，即，故选:D 3．已知圆与圆交于两点，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得.故选：B.4．在平面直角坐标系中， 已知点 是圆心在原点， 半径为 的圆上的点， 且 ，若点 的坐标为 ， 则 的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可判断AC的中点为原点，从而，然后用坐标表示出所求，利用点B在圆上化简可得.【详解】因为，所以AC为单位圆的直径，O为AC的中点.设，则，所以所以因为，所以故选：B5．（已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标.【详解】圆C：①的圆心为，半径为2，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆，其中的中点为该圆心，为直径，设，则的中点为，，故过的圆的方程为，变形得到②，由①②相减可得直线的方程，即，整理得，令，解得，故直线过定点坐标.故选：D6．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由对称性可知反射光线过且又在该圆上，即可得为切点，再由斜率乘积为即可求出答案.【详解】易知关于轴的对称点为，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，将圆化简后可得，所以圆心，易知在该圆上，所以即为切点，因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为，即，解得故选：C．7．已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键.【详解】依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆，求的最小值相当于先求的最小值，即求圆上一点到直线的距离d的最小值，所以，即的最小值为1．故选：A．8．已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先求得定点A的坐标，再去求点关于直线的对称点的坐标，再去求点到圆上一点N距离的最小值即为的最小值.【详解】圆的圆心，半径直线可化为，令，解得，所以定点A的坐标为.设点关于直线的对称点为，由，解得，所以点B坐标为.由线段垂直平分线的性质可知，，所以（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），所以的最小值为6.故选：A多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段，弧长之比为2∶1，则圆C的方程为（ ）A．x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝【答案】CD【分析】由题意，设C (a,0)，结合被y轴分成两段的弧长比有|a|＝，根据弦长、半径、弦心距的几何关系求参数a，即可写出圆的方程.【详解】由圆C关于x轴对称，可设圆心C (a,0)，又圆C被y轴分成的两段弧长之比为2∶1，∴|a|＝，则()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，∴圆C的方程为2＋y2＝.故选：CD．10．设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）A．可能将的周长平分B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为【答案】BC【分析】根据圆心在直线上判断A，根据直线与圆的位置关系判断B，根据三角形面积公式判断C，根据几何法求出点M的轨迹方程即可判断D.【详解】对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，错误；对于B，若圆上存在两个点到直线的距离为1，则到直线的距离满足，所以，解得或，B正确；对于C，，当时，的面积有最大值2，C正确；对于，易知直线经过定点，所以，所以点的轨迹以为直径的圆，其方程为，又因为点在圆内，由，解得，所以点的轨迹方程为，D错误.故选：BC.11．已知圆O：和圆M：相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为，则下列说法正确的是（ ）A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为C．线段AB的长为D．的最大值为6【答案】BCD【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A的正误；联立两圆的方程求得的方程可判断选项B的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得的长判断选项C的正误，利用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D的正误.【详解】选项A，因为圆M的标准方程为，所以圆心为圆心为，半径为1，故选项A错误；选项B，因为圆O：和圆M：相交于A，B两点，两圆相减得到，即，故选B正确；选项C，由选项B知，圆心到直线的距离为，所以，故选项C正确；选项D，因为,，所以，又圆的半径为1，故的最大值为，故选项D正确.故选项：BCD.12．已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线为切点，则（ ）A．点与曲线上点的最小距离为B．线段长度的最小值为C．的最小值为D．存在点，使得的面积为【答案】CD【分析】设点，由，求得，由圆的性质，取得点与曲线上点的最小距离为，可判定A不正确；由，求得的最小值为，可判定B错误；设，在直角三角形中，求得，得到，结合函数的单调性，可判定C正确.结合C选项求出面积的最小值可判断D.【详解】对于A，因为，设，则，可得曲线的轨迹为圆.方程为直线： ，圆心到直线的距离为，则点与曲线上点的最小距离为，故A错误；对于B，由图可知，在直角三角形中，，要使得线段的长度最小，则取最小值，由选项A可知，长度的最小值为，故B错误；对于C，设，则，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函数在区间上单调递增，所以，即的最小值为3，故C正确；对于D，由切线长定理知，直线垂直平分线段，得，当且仅当与直线垂直时取等号，即弦长度的最小值为.此时，设的中点为，则，所以，所以的面积的最小值为，又，，的面积所以存在点，使得的面积为3，故D正确.故选：CD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ．【答案】【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：14．已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 .【答案】【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程.【详解】由题意，直线的方程化为，由得∴直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得.故答案为：.15．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为 .【答案】【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标【详解】设点，则∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，∴，∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径所以圆心坐标为，半径长为 ∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：化为一般方程为：即与联立，求得AB所在直线方程为：①其中，代入①中，得：所以 解得：直线AB恒过定点的坐标为 故答案为：16．已知圆，若圆上存在两点使得为等边三角形，则的取值范围为 .【答案】【分析】作图分析，讨论和，设D为的中点，推出三点共线，从而可得；利用点到直线的距离公式得到等量关系，结合方程知识，利用判别式可得不等式即可求得答案.【详解】由题意知为等边三角形，设D为的中点，连接，则，因为在圆上，故，故三点共线，当时，，满足圆上存在两点使得为等边三角形；时，直线OA的斜率为，则斜率为，设方程为，A到 的距离为，，而，故，即，令，则，即，由于，故，解得，即，则或，综合可得，故的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求a为何值时，两圆和．(1)外切；(2)内切．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据两圆方程写出圆心、半径，由外切得圆心距，列方程求参数；（2）由内切得圆心距，列方程求参数；【详解】（1）由，即圆心为，半径为3；由，即圆心为，半径为2；所以圆心距，若两圆外切，则，即，所以或. （2）若两圆内切，则，即，所以或.18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆心为的圆的一般方程；(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.【详解】（1）∵，，∴,∴弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线：联立，解得：，圆心坐标为，∴圆的半径，则圆的方程为.∴圆的一般方程为； （2）由（1）知圆的方程为，所以,∴在圆外，的最大值为，最小值为.19．已知：关于直线对称，且圆心在y轴上.(1)求的标准方程；(2)已知动点M在直线上，过点M引的两条切线､，切点分别为A，B.证明：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由圆心在直线上，且圆心在y轴上得出关系式求出即可；（2）设出M点坐标，得出M，A，C，B四点共圆，此圆以为直径，化简得出圆的方程为，由是圆C和圆的公共弦，两圆方程相减求出的直线方程得出结论即可.【详解】（1）由题意知，圆心在直线上，即，又因为圆心C在y轴上，所以，由以上两式得，，∴，故圆C的标准方程为（2）证明：设点M的坐标为，∵，∴M，A，C，B四点共圆，且，其圆心为线段MC的中点，，设M，A，C，B四点所在的圆为圆，∴圆的方程为，化简得.∵是圆C和圆的公共弦，∴，两式相减得，故的方程为，当时，，∴直线恒过定点.20．已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点．(1)求实数的值；(2)证明：轴平分．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意判断两圆的位置关系，列式即可求得答案；（2）联立直线和圆的方程，求得交点坐标，即可求得，即可证明结论.【详解】（1）化圆为，则圆心坐标为，半径为2．由题意圆与圆恰好有三条公切线，则两圆外切，则，解得；（2）证明：联立，得，解得或．不妨设，，∴，∴直线，的倾斜角互补，从而， 故轴平分．21．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为.（1）当时，求直线被圆截得的弦长；（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围.【答案】(1) .（2）.（3）．【详解】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时，取最大值，圆心到直线的距离，令，，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，可得点横坐标的取值范围为．试题解析：（）圆的方程为，圆心，半径．当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，弦长．（）∵圆心到直线的距离，设弦长为，则，当所截弦长最短时，取最大值，∴，令，．令，当时，取到最小值．此时，取最大值，弦长取最小值，直线上方程为．（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，由题意，圆与圆C有两个交点时符合题意，∴点横坐标的取值范围为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.(1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；(2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意设圆的方程为，再根据直线l：与圆M交于C，D两点，且，由求解；（2）由题意设，又，得到，设，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理，消去m得到，再设直线GH的方程为：，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解.【详解】（1）解：因为圆心在曲线上，所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：，设圆的方程为，又直线l：与圆M交于C，D两点，且,所以，则，解得，当时，圆的方程为，此时，圆心到直线的距离，符合题意；当时，圆的方程为：，此时，圆心到直线的距离，不符合题意；（2）如图所示： 由题意设，又，则，则，设，则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得：，，由韦达定理得，即，设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得：，，由韦达定理得，即，所以，，消去m得，设直线GH的方程为：，代入圆的方程消去y得：，，由韦达定理得，，则，即，解得或，当时，，直线GH的方程为，过定点；当时，，解得，直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意，故直线GH过定点.
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