高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线课时训练

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考点一：双曲线的性质
考点二：等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq \r(2).
考点三:直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．
考点四：弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).
重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
【题型归纳】
题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）
1．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知双曲线，则当实数变化时，这些双曲线有（ ）
A．相同的焦点B．相同的实轴长C．相同的离心率D．相同的渐近线
【答案】D
【分析】分别求与时双曲线的的值，由此判断各选项的对错.
【详解】当时，方程可化为，
∴ ，，，
焦点坐标在x轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，
当时，方程可化为，
∴ ，，，
焦点坐标在y轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，
所以这些双曲线有相同的渐近线.
故选：D.
2．（2023·高二课时练习）双曲线：与双曲线：的（ ）
A．实轴长相等B．焦点坐标相同
C．焦距相等D．离心率相等
【答案】C
【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定.
【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为.
由双曲线的方程可得：,.
双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；
因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；
因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；
因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.
故选：C.
3．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）关于双曲线（，），有下列四个结论：
①虚轴长为4：
②离心率为2；
③焦距为8；
④渐近线方程为．
若其中有且只有一个错误结论，则该错误结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】任取双曲线的四个结论中的两个求解.
【详解】当①虚轴长为4，②离心率为2时，
则，
所以
故③④错误，不符合题意；
当①虚轴长为4，③焦距为8时，
则 ，
所以 ，
故，
故②错④正确，符合题意；
当①虚轴长为4，④渐近线方程为时，
则，
所以 ，
故②错③正确，符合题意；
当③焦距为8，④渐近线方程为时，
则，
所以 ，
故②错①正确，符合题意；
故选：B
题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）
4．（2021秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由和可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解
【详解】由题意，
由双曲线定义可知，
又
又
又
故双曲线的实轴长为
故选：B
5．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）设双曲线的实轴长为8，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可判断出，；根据双曲线的实轴长为8可求出的值，从而可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意，知，，
因为双曲线的实轴长为8，所以，即，
所以，所以(舍)，所以，即，
所以该双曲线的离心率为.
故选：C.
6．（2022秋·江苏南通·高二阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知，进而结合题意设，再结合，计算即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为圆与双曲线交于两点，
所以，根据对称性可设，
所以，，
所以，
因为，即，
所以
故选：B
题型三：等轴双曲线
7．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）已知等轴双曲线C的中心为O，焦点为、，若双曲线C上一点P满足：，，则＝ .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义求出a、b、c，求出、，设P为(x，y)，根据，解出P点坐标，根据两点间距离公式即可求﹒
【详解】，∴，，
，，
设P(x，y)，则①，②，
由①②解得，，
.
故答案为：.
8．（2021秋·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为 ．
【答案】
【详解】设等轴双曲线方程为，由题意可得抛物线的准线为，由，得，所以不妨设点，因为点在等轴双曲线上，所以，所以等轴双曲线的方程为，即，从而实轴长,
故答案为4.
考点：双曲线、抛物线的有关概念和基本性质.
9．（2022·江苏·高二专题练习）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C 的虚轴长为
【答案】
【分析】由抛物线求出准线方程，根据，得到的坐标，设出等轴双曲线C的方程，代入的坐标，结合虚轴的定义可求出结果.
【详解】由得，所以抛物线的准线为，
因为，所以，，
设等轴双曲线C的方程为，
则，所以，，
所以C 的虚轴长为.
故答案为：.
题型四：双曲线的渐近线问题
10．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出双曲线与双曲线的渐近线，从而得到，再结合双曲线的方程即可求得其离心率.
【详解】对于双曲线，其渐近线为，即，
对于双曲线，其渐近线为，即，
因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以，即双曲线，
设双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，半焦距为，
则，，，即，，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设双曲线的方程为,根据已知条件列方程,确定双曲线的方程,在利用计算即可.
【详解】设双曲线的方程为,
根据已知条件得:,
解得:,
双曲线的方程为,
则,
.
故选:C.
12．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.
【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；
由圆的方程知：圆心为，半径；
与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，
两条渐近线截圆所得弦长相等，
不妨取，即，则圆心到直线距离，
弦长为，解得：，
双曲线离心率.
故选：C.
题型五：双曲线的的离心率问题
13．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
连接、，设，
由对称性可知，为的中点，，
因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，
故为的中点，
又因为，且、互相垂直且平分，
所以，四边形为正方形，则，所以，，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：A.
14．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】联立解得A、B纵坐标，再由对称关系得AB长，后余弦定理计算即可.
【详解】联立圆O与双曲线C方程得，
又由圆与双曲线的对称性可得，
设圆的半径为，则，因为圆心为，则，
在中，由余弦定理得，
因为双曲线斜率大于1，所有化简得，
故选：D
15．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知点F为双曲线的右焦点，A，B两点在双曲线上，且关于原点对称，M、N分别为的中点，当时，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【分析】记双曲线的左焦点为，由此可得四边形为平行四边形，由条件证明四边形为矩形，由此可得四边形为矩形，再求，结合双曲线定义求离心率.
【详解】记双曲线的左焦点为，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
因为M、N分别为的中点，点为线段的中点，
所以，又，
所以四边形为矩形，故，
所以四边形为矩形，故为直角三角形，斜边为，
所以，
因为直线AB的斜率为，
所以，所以，，
由双曲线定义可得，
所以曲线的离心率.
故选：C.

题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题
16．（2023·高二课时练习）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】设，分别求出和，即可求出.
【详解】设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
17．（2022·江苏·高二专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和 的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，
所以，
所以，得，
所以双曲线方程为 ，
故选：C
18．（2023秋·高二课时练习）设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知弦是双曲线的通径，由双曲线的性质并结合题意可知，由此即可求出，进而求出结果.
【详解】因为轴，且经过双曲线的焦点，
所以弦是双曲线的通径，故，
又弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
题型七：双曲线中的定值、定点问题
19．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线、的斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程，可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式可求得的值.
【详解】（1）解：将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，
所以，双曲线的方程为.
（2）证明：由题意，设直线的方程为，设、，

联立可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
.
可得直线、的斜率之和为.
20．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，．
(1)求的值；
(2)求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线方程，联立方程组，结合韦达定理与斜率公式化简求值；
（2）设直线方程，联立方程组，结合第一问结论可得直线过定点.
【详解】（1）由已知得，
设直线方程为，，，
由，得，，
则 ，，
；
（2）设直线，，
由，得，
，，
由（1）：，
化简得：，
即，
得或
直线或
直线过定点或（舍）.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21．（2022·江苏·高二期中）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
【双基达标】
一、单选题
22．（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校）双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知可得出，.然后根据的关系解出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
且，所以.
又，所以，，
所以，.
故选：C.
23．（2023秋·高二课前预习）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
24．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意，设，则，
且，
而，
，，
所以.
故选：A
25．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）已知两点A，M在双曲的右支上，点A与点B关于原点对称，交y轴于点N，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设为AB的中点，设，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得a，b的关系，从而可求双曲线离心率.
【详解】
如图，不妨设A在第一象限，取BM的中点，连接OQ，
因为为AB的中点，故，
，，，，
B，M在双曲线上，则，两式相减可得，，
即，而，，
故，即，
又因为，则，即，
所以，即，所以，
又，则,
即，故，
所以，而，故,
故，则双曲线的离心率为，
根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得，
当A在双曲线的顶点时，由于，此时AM与双曲线相切，不合题意，
故双曲线的离心率为，
故选：D.
26．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线关系可求得，由此可得双曲线方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得的值.
【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为，
焦点到渐近线的距离，
又离心率，，解得：，
双曲线的方程为：.
（2）由得：，
则，解得：且，
设，则，，
，
即，解得：或，均满足且，
或.
27．（2023秋·高二课前预习）已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线的方程为（，），（），
根据条件得到椭圆焦点为，椭圆的离心率为，从而得到双曲线的离心率为2，
结合双曲线与椭圆有公共焦点，求出双曲线的，最后写出双曲线的标准方程；
（2）根据（1）结合双曲线和椭圆的定义求出,，，再利用余弦定理，即可求.
【详解】（1）由题意设双曲线的方程为（，），（），
由椭圆得到焦点为，椭圆的离心率为.
因为双曲线与椭圆有公共焦点，则，
因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，
则，即，所以，
故双曲线的方程是.
（2）由（1）结合双曲线和椭圆的定义得：
，，
解得：或，又，
所以在由余弦定理得：，
故的值为.
【高分突破】
一、单选题
28．（2023·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，由题可知.则由题有：.又因为点A，P在双曲线上，则，两式相减整理后可得答案.
【详解】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，
所以，所以，所以，所以．
故选：D
29．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知分别为椭圆的左､右顶点，点在直线上，直线与的另外一个交点为为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题，设，可得直线PA方程为：，将其与椭圆方程联立，后利用韦达定理可表示出Q坐标，后利用可得答案.
【详解】由题，设，因A，则直线PA方程为：.
将其与椭圆方程联立：，消去y并化简得：
，由韦达定理有：.又， 则.
代入，可得，
则.又，
则.
则.
故选：C
30．（2023秋·江苏宿迁·高二统考开学考试）体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，即可得出所求双曲线的标准方程.
【详解】解：设双曲线的标准方程为，
因为该双曲线的渐近线方程为，则，
又因为该双曲线的上焦点坐标为，则，
所以，，，因此，该双曲线的方程为.
故选：B.
31．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．7
【答案】A
【分析】根据题意得，，，，由余弦定理解决即可.
【详解】由双曲线定义知，，
因为，
所以，，
因为，，
所以在中，由余弦定理得，
即，化简得，
所以，
故选：A
32．（2022秋·江苏泰州·高二统考期中）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为：，即，
到渐近线的距离为，
，则直角三角形的内切圆的半径，
如图，设三角形的内切圆与切于，则，，可得，
，
即，则，
所以，
由，，
，.
故选：A.
33．（2022秋·江苏扬州·高二扬州市第一中学校考期中）已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为 的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】方法1：连接，由已知可得△为直角三角形，可用c的代数式表示三边，再代入即可得结果.
方法2：过P作PE⊥x轴于点E，由已知可得点P的坐标，因为点P在双曲线上，所以点P的坐标适合双曲线的方程，代入可得关于a、c的齐次式方程，即可求得结果.
【详解】方法1：
连接 ，因为P在双曲线的右支上，则
∵双曲线 的左焦点 ，
∵△为等腰三角形，
∴ ，
∴
又∵，
∴△为等边三角形，即：，
∴
∴在直角△中，， 则标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)