苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线综合训练题

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考点一：抛物线的简单几何性质
考点二：直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
考点三：直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【题型归纳】
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点、范围）
1．（2021·江苏·高二专题）下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.
2．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设，则满足，
则
即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，
故选：B.
3．（2021·江苏·高二专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案.
【详解】解：如图，
可得圆心也是抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得
故的周长，
由可得，.
的取值范围为
的周长的取值范围为
故选：.
题型二：抛物线的对称性
4．（2023·高二课时练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.
【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
5．（2023秋·高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出.
【详解】如图，

∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
6．（2020秋·江苏南通·高二如皋市第一中学校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，那么中，利用勾股定理求解.
【详解】由题意可知通径，所以圆的半径是，
在中，，，解得：，
所以抛物线方程：
故选：B
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2022·江苏·高二专题练习）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及方程得出，再由面积公式求解即可.
【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，
由及抛物线的定义可得，解得，
代入抛物线方程得，
所以，
故选：C
8．（2023·高二课时练习）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．
【详解】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
9．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
【答案】A
【分析】由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【详解】因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，
则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
11．（2022·江苏·高二专题练习）已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．32B．48C．64D．72
【答案】C
【分析】设直线的方程为，可以先利用方程联立，利用弦长公式，借助韦达定理求出，由于直线，求时只需要将k换成即可，然后利用基本不等式求最值即得．
【详解】抛物线的焦点，因为，所以直线，斜率存在，且均不为0．
设直线的方程为，
联立，化简得．
则，所以．
因为，故的斜率为，同理可得，
所以，
当且仅当，即是取等号，
故的最小值是64，
故选：C
12．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若，则（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【解析】设点为第一象限内的点，设点、，利用抛物线的定义可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理可求得点的横坐标，进而可求得.
【详解】设点为第一象限内的点，设点、，则，，
则由题意可得：点，，则，由，得，
所以，直线方程为，
将直线的方程代入化简得，所以，所以，
故选：D．
题型五：抛物线中的参数范围
13．（2023·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理，再根据为锐角得到恒成立，转化为坐标运算，即可得到的范围.
【详解】由题意知，设直线的方程为，由，
得．设，，
则，，所以，．
因为为锐角，所以恒成立，即，
整理得，所以，
而，所以对于任意恒成立，所以．
由，解得，所以的取值范围为．
故选:A．
14．（2022·江苏·高二假期作业）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
即直线是抛物线的准线.
抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和，也即是到直线与焦点的距离之和，
最小值为到直线的距离，即.
故选：A
15．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cs∠MFO＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.
【详解】
由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，
∴d1+d2＝|MF|+|MN|，
当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，
∵抛物线C：y2＝4x，
∴焦点F（1，0），
∴|FN|＝d＝，
设直线l'与x轴的交点为D，
令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，
在Rt△DNF中，cs∠MFO＝cs∠NFD＝．
故选：A．
题型六：抛物线的定值、定点问题
16．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，得到直线l方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p，即得答案；
（2）求得a的值，设直线的方程为，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用，得到或，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.
【详解】（1）设，
由题意知，则直线l方程为，
代入，得，，
∴，
由抛物线定义，知，，
∴，∴，
∴抛物线的方程为.
（2）证明：在抛物线上，，
由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
设，
由，得 ，
则，且，
又，
，
由题意，可知, ,
故，
故，
整理得 ，即，
或，即或．
若，则 ，
此时直线过定点，不合题意；
若，则，
此时直线过定点，符合题意，
综上，直线过异于P点的定点．
【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.
17．（2023·江苏·高二专题练习）设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．
(1)求抛物线的方程；
(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，使得为定值．
【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；
（2）由已知可得，直线经过点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到，，表示出，整理完成得到，可知当所有的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T的坐标和该定值.
【详解】（1）设抛物线焦点为F，，根据抛物线的定义有，
则，
即，所以（舍去负值），
则抛物线的方程为．
（2）∵，∴K、A、B三点共线．
∴设直线AB方程为，
设，，，
联立得，
，则或.
，，，，
且有，
而
，
因为，的任意性，要使该值为定值，需满足
，可得，此时.
18．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由题意，作图，根据圆切线的性质，结合抛物线的定义，可得答案；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，代入，可得答案.
【详解】（1）设点，圆与直线的切点为，
因为动圆过点，且与直线相切，则，
所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线，
则动圆的圆心轨迹的方程为．
（2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线的方程为
，消去可得：，
则，
因为为抛物线上一点，所以，解得，
，
解得，代入，
解得或，
结合点均不与点重合，则，则，解得，
故且或，
所以直线即
所以直线恒过定点.
【双基达标】
单选题
19．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理和抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的方程为，则其焦点，
设直线的方程为，
由，可得：，
，，
根据抛物线定义，，
因为，所以，
所以
即，解得：.
故选：B.
20．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解
【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为，
又，，则点为抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，
设，则，故，
由抛物线的定义可得，
，
又，则设故，
则，
当时，取得最小值为，则，，
将代入抛物线可得，所以
故选：A
21．（2022·江苏·高二期末）已知抛物线：的焦点为，过点作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足，则的值为（ ）
A．4B．1C．2D．8
【答案】C
【分析】由可得点在准线上，则可得，由此可求.
【详解】由题意可知可知点在抛物线上，与轴垂直，所以与抛物线的准线垂直，
因为，所以点在准线上，
又因为准线方程为，所以，即，
故选：C.
22．（2022·江苏·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为F，Q为上一点，M为的准线上一点且轴.若为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧，，，，则准线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及已知的几何关系，判断出为等边三角形，再运用焦半径公式求出边长，进而解得的取值，求出准线方程.
【详解】由题意得，如图，
点在焦点的右边，且，，
由抛物线的定义知，∵，∴，
又，轴，
∴为等边三角形，
∴点的横坐标为，∴，
又，∴，解得，
∴准线的方程为，
故选：C.
23．（2022·江苏·高二假期作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解
【详解】，设，，
，则，得，
由抛物线定义得
故选：D
24．（2022·江苏·高二专题练习）过点的直线与抛物线：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的2倍，则（ ）
A．B．C．10D．17
【答案】C
【分析】设出直线方程，与抛物线联立得到两根之和，两根之积，利用面积之比得到线段之比，进而得到关系式，结合韦达定理求出，从而求出.
【详解】由题意得：，设直线：，与抛物线联立得：，则，，抛物线准线方程为：，则，所以，由可得：，即，又，故，所以，由可得：，整理得：，解得：，.
故选：C
25．（2022·江苏·高二专题练习）抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，由，可得，故A选项不正确；
对于B，设A，B两点的坐标分别为，，
根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，
联立方程，消去x后整理为，则，，
，，
，故B选项不正确；
对于C，，
故C选项正确；
对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，
根据B项可得N点坐标为，
则，
由为等边三角形可得，
则，
则，
由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为，
故D选项不正确．
故选：C.
26．（2023秋·高二课时练习）已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
【答案】(1)2
(2)32
【分析】（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案.
【详解】（1）设，
由，可得，
易得，所以，
则，
即，因为，所以.
（2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为.
联立，化简可得，则，

设，则，
则，
因为，所以.
27．（2023春·江苏盐城·高二校考期中）已知点在抛物线：上.
(1)求抛物线C的准线方程；
(2)设直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)64
【分析】（1）将点代入抛物线方程，得出抛物线C的准线方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，由结合韦达定理得出面积的最小值.
【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以，抛物线的方程为，
则抛物线准线方程为：，
（2）设，，易知直线的斜率存在，直线的方程为.
联立直线与抛物线的方程，消去整理得，
则，由韦达定理可得.
又，所以，即，即，
代入可得，解得或（不符合题意，舍去），
此时恒成立.
所以，
所以，当时，面积有最小值64.
【高分突破】
一、单选题
28．（2023·高二课时练习）已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】设直线MN的方程，与抛物线联立切线两根之和，进而求出MN的中点Q的坐标，再由抛物线的性质可得弦长|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一个定值，求出定值m．
【详解】由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线的方程为：x，
由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为：x＝ty，设t＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理可得：，
所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（t1+y2）+p＝2pt2+p，
所以MN的中点Q（pt2，pt），
由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p（1+t2），
|QF|pt，
由直线MN的方程可得tan∠QFP，所以cs∠QFP，
由题意在Rt△QFP中，|PF|p（1+t2），
所以为定值，
所以m的值为，
故选：A．
29．（2021·高二单元测试）设抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，若、分别垂直准线于、，四边形的周长为40，则（ ）
A．B．或C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，代入抛物线方程化简得，根据四边形为直角梯形，结合四边形的周长为40，列方程求解即可.
【详解】设，，由已知得，
代入抛物线方程化简得，
，，
又四边形的周长为40，易知四边形为直角梯形，
所以，所以，
所以，
解得或由，得到，故舍去，
故选：A．
30．（2022·江苏·高二专题练习）是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，结合题意可得①，设直线AB：并联立抛物线，应用韦达定理及①求参数b关于的关系式，并将直线化为，利用其过定点求x、y，即可确定坐标.
【详解】设，则，相减得，
，同理得：，
为常数，，
，整理有，①
设直线AB：，代入抛物线方程得：，
，则，
代入①，得：，有，
代入AB的直线方程，得：，
，
，
直线过定点，则，解得：，即，
直线AB所过定点 .
故选：C.
31．（2022·江苏·高二专题练习）已知点是抛物线：（）上的动点，若的最小值为1，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件结合点到直线的距离公式探求的几何意义，再列式计算即可作答.
【详解】因为点到直线：的距离，
则，而抛物线的焦点为，
由抛物线的定义得，则有，
因此，表示抛物线E上的动点N到直线的距离与到焦点F的距离的和的2倍减去p的差，
显然，抛物线E上的动点N到直线的距离与到焦点F的距离的和不小于焦点F到直线的距离，
因点到直线：的距离，
于是得的最小值是，解得，
当且仅当点N在过点F向直线所作垂线段上时取到最小值，
当时，点，过F垂直于的直线为：，
由解得：，即过点F向直线所作垂线段的垂足是，
抛物线：，由解得：或，
显然，点在线段FM上，
即当点的坐标为时，点N到直线的距离与到焦点F的距离的和等于焦点F到直线的距离，
所以抛物线的准线方程为.
故选：B
【点睛】关键点睛：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线中，灵活运用抛物线上一点
到焦点的距离或是解决相关问题的关键．
二、多选题
32．（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p