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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.1 数列习题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.1 数列习题，文件包含41数列原卷版docx、41数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
考点二：数列的分类
考点三：函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
考点四：数列的单调性
考点五：通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
考点六：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点七 数列的前n项和Sn与an的关系
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
重难点大规律归纳
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．
【题型归纳】
题型一:数列的有关概念和分类
1．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校）下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为
D．数列0，2，4，6，可记为
2．（2022·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2021·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7与数集{1，3，5，7}是一样的
B．数列1，2，3与数列3，2，1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
题型二：判断或者写出数列的项
4．（2022上·福建莆田·高二莆田一中校考期中）数列，则该数列的第n项为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022下·江苏镇江·高二统考开学考试）数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
6．（2021上·江苏苏州·高二统考期中）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第12项B．第13项C．第24项D．第25项
题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数
7．（2021·高二课时练习）已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项B．第3项、第4项C．第4项D．第2项、第3项
8．（2021下·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若为常数），且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020上·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列满足，则数列的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：由递推公式求数列的指定项
10．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河北·统考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32C．3或8D．7或32
12．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）已知数列满足，若，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
题型五：由递推公式求通项公式
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，则的通项公式是 .
14．（2021·高二单元测试）已知数列满足，，，则 .
15．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则an＝ ．
题型六：利用Sn与an的关系求通项公式
16．（2021上·北京·高二东直门中学校考期中）已知数列的前n项和为，若，则 ．
17．（2022上·天津河西·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则 ．
18．（2016上·江苏连云港·高二阶段练习）数列满足，则数列的通项公式是 ．
【双基达标】
单选题
19．（2023下·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校）已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．31B．32C．35D．36
20．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）数列满足，，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．－1
21．（2022上·山西晋城·高二晋城市第二中学校校考阶段练习）数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．4B．7C．16D．31
23．（2021下·高二课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列，，，与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列，可记为
24．（2023·全国·高三专题练习）在数列中， ，，则（ ）
A．数列单调递减B．数列单调递增
C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减
25．（2023上·高二课时练习）根据下列条件，写出各数列的前项，并归纳猜想数列的通项公式．
(1)，；
(2)，.
26．（2023上·高二课时练习）根据规律写出数列的通项
(1)；(2)；(3)(4)；(5)
【高分突破】
一、单选题
27．（2022上·江苏南通·高二统考期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2022上·安徽·高三校联考阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1C．D．2
30．（2022上·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）数列的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022·四川南充·高三统考期中）在数列中，，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、多选题
32．（2023下·辽宁·高二校联考期中）如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2022上·福建漳州·高二校联考期中）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
35．（2022上·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）若数列对任意满足，若，则可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
36．（2022上·广东深圳·高三校联考阶段练习）Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（ ）
A．数列都有奇数个项B．6级Farey数列中，中间项为
C．6级Farey数列共有11项D．6级Farey数列各项的和为
三、填空题
37．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是 ．
38．（2023·上海徐汇·统考一模）在数列中，，且，则 .
39．（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）数列满足，，则 ．
40．（2022上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
41．（2023下·高二课时练习）已知数列满足，且，．
(1)求的值；
(2)127是数列的第几项？
42．（2022上·贵州黔东南·高二校联考期中）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
考点二：数列的分类
考点三：函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
考点四：数列的单调性
考点五：通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
考点六：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点七 数列的前n项和Sn与an的关系
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
重难点大规律归纳
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．
【题型归纳】
题型一:数列的有关概念和分类
1．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校）下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为
D．数列0，2，4，6，可记为
2．（2022·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2021·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7与数集{1，3，5，7}是一样的
B．数列1，2，3与数列3，2，1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
题型二：判断或者写出数列的项
4．（2022上·福建莆田·高二莆田一中校考期中）数列，则该数列的第n项为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022下·江苏镇江·高二统考开学考试）数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
6．（2021上·江苏苏州·高二统考期中）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第12项B．第13项C．第24项D．第25项
题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数
7．（2021·高二课时练习）已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项B．第3项、第4项C．第4项D．第2项、第3项
8．（2021下·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若为常数），且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020上·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列满足，则数列的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：由递推公式求数列的指定项
10．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河北·统考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32C．3或8D．7或32
12．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）已知数列满足，若，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
题型五：由递推公式求通项公式
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，则的通项公式是 .
14．（2021·高二单元测试）已知数列满足，，，则 .
15．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则an＝ ．
题型六：利用Sn与an的关系求通项公式
16．（2021上·北京·高二东直门中学校考期中）已知数列的前n项和为，若，则 ．
17．（2022上·天津河西·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则 ．
18．（2016上·江苏连云港·高二阶段练习）数列满足，则数列的通项公式是 ．
【双基达标】
单选题
19．（2023下·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校）已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．31B．32C．35D．36
20．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）数列满足，，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．－1
21．（2022上·山西晋城·高二晋城市第二中学校校考阶段练习）数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．4B．7C．16D．31
23．（2021下·高二课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列，，，与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列，可记为
24．（2023·全国·高三专题练习）在数列中， ，，则（ ）
A．数列单调递减B．数列单调递增
C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减
25．（2023上·高二课时练习）根据下列条件，写出各数列的前项，并归纳猜想数列的通项公式．
(1)，；
(2)，.
26．（2023上·高二课时练习）根据规律写出数列的通项
(1)；(2)；(3)(4)；(5)
【高分突破】
一、单选题
27．（2022上·江苏南通·高二统考期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2022上·安徽·高三校联考阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1C．D．2
30．（2022上·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）数列的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022·四川南充·高三统考期中）在数列中，，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、多选题
32．（2023下·辽宁·高二校联考期中）如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2022上·福建漳州·高二校联考期中）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
35．（2022上·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）若数列对任意满足，若，则可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
36．（2022上·广东深圳·高三校联考阶段练习）Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（ ）
A．数列都有奇数个项B．6级Farey数列中，中间项为
C．6级Farey数列共有11项D．6级Farey数列各项的和为
三、填空题
37．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是 ．
38．（2023·上海徐汇·统考一模）在数列中，，且，则 .
39．（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）数列满足，，则 ．
40．（2022上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
41．（2023下·高二课时练习）已知数列满足，且，．
(1)求的值；
(2)127是数列的第几项？
42．（2022上·贵州黔东南·高二校联考期中）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
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