苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.2 等差数列同步练习题

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考点二：等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
考点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
大重难点规律总结：
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．
(3)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找．
②运用二次函数求最值．
【题型归纳】
题型一：等差数列前n项和的基本量计算
1．（2023上·江苏镇江·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．78B．100C．116D．120
2．（2023上·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知为等差数列，若，则=（ ）
A．73B．120C．121D．122
3．（2023上·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．
题型二：等差数列片段和的性质
4．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·内蒙古·高二校联考期末）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6B．12C．15D．21
6．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．0B． C． D．
题型三：等差数列前n项和与n的比值问题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
8．（2022·贵州毕节·统考模拟预测）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
9．（2021上·河北邯郸·高三校考开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型四：两个等差数列前n项和的比值问题
10．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）
13．（2022·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
14．（2022下·北京·高二北京八中校考期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，（ ）
A．7B．8C．6或7D．7或8
15．（2022·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
16．（2022上·上海徐汇·高二位育中学校考期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023下·河南·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和，若，则（ ）
A．578B．579
C．580D．581
18．（2021·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68B．67C．65D．56
题型七：等差数列的简单应用
19．（2023上·福建三明·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
20．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（ ）
A．2023年11月12日B．2023年11月13日
C．2023年11月14日D．2023年11月15日
21．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A．10.5尺B．11尺C．11.5尺D．12尺
题型八:等差数列求和的综合
22．（2023上·安徽马鞍山·高二统考期中）已知等差数列，前项和为，又．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
23．（2023上·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求及其最小值．
24．（2023下·河南·高二河南大学附属中学校考期中）设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若＝，数列的前n项和为，求证：.
【双基达标】
一、单选题
25．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
26．（2023上·山东青岛·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
27．（2023上·甘肃武威·高二校考期中）等差数列中，，则（ ）
A．12B．18C．24D．30
28．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．4C．D．
29．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
30．（2023上·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)求的最大值.
【高分突破】
一、单选题
31．（2023上·福建·高二统考期中）我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（ ）
A．41B．369C．1476D．3321
32．（2023上·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A．100B．105C．90D．95
33．（2023下·河南周口·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
34．（2023下·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
35．（2023上·云南昆明·高二校考期末）《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺
A．1B．1.25C．1.5D．2
36．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）数列的前项和为，，数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．30B．39C．51D．66
二、多选题
37．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）设数列满足：，，则下列说法中，正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等差数列
C．D．当时，
38．（2023上·福建三明·高二校联考期中）已知数列的前项和，则（ ）
A．不是等差数列B．
C．数列是等差数列D．
39．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．4是数列中的项B．当最大时，的值只能取5
C．数列是等差数列D．当时，的最大值为11
40．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）设是公差为的等差数列，其前项和存在最大值，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．集合中元素的个数为2015
41．（2023上·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）若为等差数列，为其前项的和，则下列说法中一定成立的是（ ）
A．B．存在，使得
C．若，则D．是等差数列
三、填空题
42．（2023上·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考期中）已知等差数列的前项和为，若，，则 ．
43．（2023上·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 .
44．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第 项．
45．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ．
46．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和满足，那么以下4个结论中正确的有 .（填所有正确结论的序号
（1）公差 （2）不等式的最小正整数解为13
（3） （4）满足的n的个数为11个
四、解答题
47．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）设等差数列的前项和为.已知，.
(1)求；
(2)当为何值时，最小？并求此最小值.
48．（2023上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期中）设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．
(1)求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求时，n的最小值．
49．（2023上·江苏苏州·高三统考期中）已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
50．（2023上·甘肃临夏·高二校联考期中）已知是数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
4
9
2
3
5
7
8
1
6