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第五章《导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）（原卷版+解析版）
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第五章《导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．曲线在点处的切线的斜率为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的定义求得正确答案.【详解】设，故选：C2．已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用幂函数定义解方程并利用单调性可得，再由导数的几何意义即可求得结果.【详解】由于为幂函数，则，解得或，又在上单调递减，得，即，故，则，可得，，则，故曲线在处的切线方程为，即，故选：C．3．若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，由分析可得有解，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由，可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在既有极大值也有极小值，则有解，所以，解得或.故选：B4．函数的部分图象可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据、在的单调性可判断出答案.【详解】由，排除B，C；由可得，当时，，即，故在上单调递减，排除D，故选：A．5．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据条件判断的奇偶性与单调性，进而比较的大小关系.【详解】根据题意，设，因为为奇函数，则，即函数为偶函数.当时，，则函数在上为减函数.，，，且，则有.故选：B．6．若，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把恒成立问题转化为求解的最小值问题，求导，求出函数的单调区间，即可求出最值.【详解】因为，恒成立，所以在上恒成立，令，，则，所以，令，，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为，所以.故选：A7．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围.【详解】当时，，当时，单调递减；当时，单调递增.当时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.当时，.画出函数的图象如图所示：因为函数有3个零点，所以与的图象有3个交点，由图知：.所以的取值范围为.故选：B8．已知函数，给出以下三个结论：①如果有两个不同的根，则；②当时，恒成立；③如果有两个根，，则.其中正确的结论个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】对于①，将有两个不同的根转化为有两个根.设，导数法判断单调性作出图象，数形结合得出的范围；对于②，先得出函数≤0，再利用放缩法证明当时，恒成立；对于③，需要将已知条件转化，构造新函数（）并求出新函数的最值，完成本题的判断.【详解】①正确，如果有两个不同的根，即有两个根.设，，易知在上是减函数，且，所以当时，，即，此时为增函数；当时，，即，此时为减函数，所以由图象可知，即；②正确，设，则，所以当时，此时为增函数；当时，，此时为减函数，所以时，取得最大值，最大值为0，即，所以，当时，恒成立；③正确，由于有两个根，，令，即，即，要证明成立，只需证明，即，故只需证明，即证明，设，则，则上式化为.设，，即在上为减函数，当时，，由于，则，即成立，故命题成立.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用切线不等式放缩；二是把转化为.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（ ）A．若，则B．若为偶函数，则为奇函数C．若是周期为的函数，则也是周期为的函数D．已知且，则【答案】AD【分析】对于A，等式两边对进行求导即可得出，对于B，列举反例，，对于C，列举反例，对于D，等式两边对进行求导，分别令和即可求出.【详解】对于A，等式两边对进行求导，则，所以，选项A正确，对于B，列举反例，若，所以，此时为偶函数，但，并不是奇函数，所以选项B错误，对于C，若，则，此时是以为周期的函数，但并不是周期函数，所以选项C错误，对于D，因为，等式两边对进行求导，即，令则，所以，又因为，等式两边对进行求导，则，令则，所以，所以，所以选项D正确.故选：AD10．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可.【详解】A选项：因为，可知在上单调递增，且，则，所以，A正确；B选项：因为，且，则，即，因为在上单调递增，所以，B正确；C选项：令，则，可知在上单调递增，因为，所以，即，又因为，则，可得，所以，C正确；D选项：由C可知，且，则，取，此时，，所以，D错误．故选：ABC.11．已知函数，则（ ）A．在上的极大值和最大值相等B．直线和函数的图象相切C．若在区间上单调递减，则D．【答案】BCD【分析】选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断.【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误．选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确．选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确．选项D：易知，所以，故D正确．故选：BCD12．已知为函数的零点，且，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C．若，则 D．【答案】AC【分析】根据零点的存在性定理求出的范围，即可判断AB；由题意可得，两边同时取对数，结合，即可判断C；当时，函数有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实数根，分离参数可得方程在上有两个不同的实数根，令，利用导数作出函数的图象，结合函数图象即可判断D.【详解】令，则，对于A，当时，因为函数都是增函数，所以函数在上单调递增，又，所以函数在上有唯一零点，且，当时，，所以，所以函数在上没有零点，所以，故A正确；对于B，由A选项知，，，所以，故B错误；对于C，由A选项可知，因为为函数的零点，所以，两边同时取对数得，因为，所以，即，所以，联立，消得，则，解得，又，所以，所以，故C正确；对于D，由题意，当时，函数有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，且，如图，作出函数的图象， 由图可知，所以，故D错误.故选：AC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ．【答案】【分析】由，设，并设出切点，并结合题意过点可作曲线三条切线得出关于的方程式有三个不同实根，从而求解.【详解】由题意得：，设点坐标为，设切点为，所以：，即：，所以即得关于的此方程式存在三个不同实根，令：，则：，当时，，在上单调递增，不符合题意；当，时，，在区间上单调递增，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增，故得：，即，解得：，当时，时，，在区间上单调递增，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增，故得：，即，解得：，综上：的取值范围是．故答案为：.14．已知函数，则使得成立的的取值范围是 .【答案】【分析】构造函数，分析得的性质，结合与的关系，将题设不等式转化为关于的不等式，从而得解.【详解】令，则的定义域为，又，则是偶函数；当时，，，当时，显然，当时，，，所以，综上，在上单调递增，因为，所以由，得，即，所以，即，解得.故答案为：.15．对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求a-b= 【答案】/1.5【分析】由函数在处取极值得，求出a的值并检验，再由函数为奇函数，利用奇函数定义求出b的值，即可求出的值.【详解】由题，因为函数在处取极值，所以，所以.检验：当时，的根为或当时，，当时，；当时，，所以函数在处取极值，成立.故.又该函数为奇函数，所以对定义域内任意都成立，即对任意都成立所以，故.故答案为：.16．设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】根据题意，把不等式转化为，令，求得，令，得到，结合，得到存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合的值和题设条件，得出，即可求解.【详解】由函数，若不等式，即，因为，可化为，令，可得，令，可得，所以在R上单调递增，又由，所以存在唯一的使得，当时，，可得，所以单调递减，当时，，可得，所以单调递增，且，又因为，所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数(1)当时，求的极值；(2)讨论的单调性；【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)答案见解析.【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；【详解】（1）当时，定义域为R，且，当或时，，当时，，所以在处取得极大值，在处取得极小值，即极大值为，极小值为.（2）函数定义域为R，则，令，解得或，当时，则当或时，，当时，，所以的单调增区间为，，单调减区间为；当时，恒成立，所以在R上单调递增；当时，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，综上，当时，的单调增区间为，，单调减区间为；当时，在R上单调递增；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；18．已知函数.(1)若在处的切线垂直于直线，求的方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m的值，即可求得答案；（2）求出函数导数，分类讨论m的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.【详解】（1）由题意得；因为在处的切线垂直于直线，所以，即，解之得；又，所以的方程为，即.（2）的定义域为，由（1）得；所以当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.19．已知函数 (1)讨论的单调性；(2)当，时，证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，（2）根据函数的单调性求解端点值以及极值即可求证.【详解】（1），当时，，，单调递增；，，单调递减．当时，当或，，单调递增；当，，单调递减，当时，，所以在R上单调递增．当时，当或，，单调递增； ，，单调递减．（2），由可得，或，，单调递增；，，单调递减．又因为，，所以恒成立．20．设函数.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)设有两个极值点，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由恒成立，分离参数得恒成立，构造函数利用导数判断单调性，求出函数的最大值即可；（2）由，可知有两个不等的实数根，结合韦达定理化简，构造函数利用导数判断单调性，求出最值即可.【详解】（1）的定义域为，由，得，令，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，所以，所以实数的取值范围为.（2）由题意知，故，令，则，当，即时，，此时在上单调递增，不存在极值点.当，即或时，若，则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值点.若，则方程的两根为，则或时，，此时在上均单调递增；时，，此时在上单调递减，此时函数存在两个极值点；又，，则，故，令，则，，则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，则，故.21．已知函数(1)若时，求函数的单调区间；(2)当时，求证：．【答案】(1)增区间是，减区间是(2)证明见解析【分析】（1）求导分析单调性即可；（2）求导分析函数单调性可得的最大值为，代入所证不等式可得需转证，进而构造证明即可.【详解】（1）定义域，又，令有，令有.即的增区间是，减区间是（2）因为，且，令可得，令可得.故在递增，递减，最大值为，故，转证：即证：设，为减函数，则，即，成立22．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，函数.（i）证明：在区间上存在极值点；（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为.证明：.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）根据多次求导及导数的符号判断得出函数的单调区间；（2）（i）利用多次求导判定函数的导函数在区间上存在异号零点即可；（ii）结合（i）的结论得，判定在区间上的零点为和0，再结合几个常用的函数放缩多次分段构造函数证明即可.【详解】（1）因为，所以.令，所以，因为，所以，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，；当时，，即当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）（i）因为，所以，令，则，令，则，显然在区间上，即即在上单调递增，所以，所以即在区间上单调递增，又，由零点存在性定理可得：在区间上存在唯一零点，且在该零点左右两侧的值符号相反，故在区间上存在极值点.（ii）由（i）得在上小于0，在上大于0，又当时，，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，即，使，又，所以.令，则，所以在上单调递增，，所以，由，得，.令，则，所以在上单调递增，即，所以.令，则，所以在上单调递增，即，所以，所以，又在上单调递增，所以，即.
第五章《导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．曲线在点处的切线的斜率为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的定义求得正确答案.【详解】设，故选：C2．已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用幂函数定义解方程并利用单调性可得，再由导数的几何意义即可求得结果.【详解】由于为幂函数，则，解得或，又在上单调递减，得，即，故，则，可得，，则，故曲线在处的切线方程为，即，故选：C．3．若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，由分析可得有解，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由，可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在既有极大值也有极小值，则有解，所以，解得或.故选：B4．函数的部分图象可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据、在的单调性可判断出答案.【详解】由，排除B，C；由可得，当时，，即，故在上单调递减，排除D，故选：A．5．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据条件判断的奇偶性与单调性，进而比较的大小关系.【详解】根据题意，设，因为为奇函数，则，即函数为偶函数.当时，，则函数在上为减函数.，，，且，则有.故选：B．6．若，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把恒成立问题转化为求解的最小值问题，求导，求出函数的单调区间，即可求出最值.【详解】因为，恒成立，所以在上恒成立，令，，则，所以，令，，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为，所以.故选：A7．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围.【详解】当时，，当时，单调递减；当时，单调递增.当时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.当时，.画出函数的图象如图所示：因为函数有3个零点，所以与的图象有3个交点，由图知：.所以的取值范围为.故选：B8．已知函数，给出以下三个结论：①如果有两个不同的根，则；②当时，恒成立；③如果有两个根，，则.其中正确的结论个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】对于①，将有两个不同的根转化为有两个根.设，导数法判断单调性作出图象，数形结合得出的范围；对于②，先得出函数≤0，再利用放缩法证明当时，恒成立；对于③，需要将已知条件转化，构造新函数（）并求出新函数的最值，完成本题的判断.【详解】①正确，如果有两个不同的根，即有两个根.设，，易知在上是减函数，且，所以当时，，即，此时为增函数；当时，，即，此时为减函数，所以由图象可知，即；②正确，设，则，所以当时，此时为增函数；当时，，此时为减函数，所以时，取得最大值，最大值为0，即，所以，当时，恒成立；③正确，由于有两个根，，令，即，即，要证明成立，只需证明，即，故只需证明，即证明，设，则，则上式化为.设，，即在上为减函数，当时，，由于，则，即成立，故命题成立.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用切线不等式放缩；二是把转化为.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（ ）A．若，则B．若为偶函数，则为奇函数C．若是周期为的函数，则也是周期为的函数D．已知且，则【答案】AD【分析】对于A，等式两边对进行求导即可得出，对于B，列举反例，，对于C，列举反例，对于D，等式两边对进行求导，分别令和即可求出.【详解】对于A，等式两边对进行求导，则，所以，选项A正确，对于B，列举反例，若，所以，此时为偶函数，但，并不是奇函数，所以选项B错误，对于C，若，则，此时是以为周期的函数，但并不是周期函数，所以选项C错误，对于D，因为，等式两边对进行求导，即，令则，所以，又因为，等式两边对进行求导，则，令则，所以，所以，所以选项D正确.故选：AD10．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可.【详解】A选项：因为，可知在上单调递增，且，则，所以，A正确；B选项：因为，且，则，即，因为在上单调递增，所以，B正确；C选项：令，则，可知在上单调递增，因为，所以，即，又因为，则，可得，所以，C正确；D选项：由C可知，且，则，取，此时，，所以，D错误．故选：ABC.11．已知函数，则（ ）A．在上的极大值和最大值相等B．直线和函数的图象相切C．若在区间上单调递减，则D．【答案】BCD【分析】选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断.【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误．选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确．选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确．选项D：易知，所以，故D正确．故选：BCD12．已知为函数的零点，且，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C．若，则 D．【答案】AC【分析】根据零点的存在性定理求出的范围，即可判断AB；由题意可得，两边同时取对数，结合，即可判断C；当时，函数有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实数根，分离参数可得方程在上有两个不同的实数根，令，利用导数作出函数的图象，结合函数图象即可判断D.【详解】令，则，对于A，当时，因为函数都是增函数，所以函数在上单调递增，又，所以函数在上有唯一零点，且，当时，，所以，所以函数在上没有零点，所以，故A正确；对于B，由A选项知，，，所以，故B错误；对于C，由A选项可知，因为为函数的零点，所以，两边同时取对数得，因为，所以，即，所以，联立，消得，则，解得，又，所以，所以，故C正确；对于D，由题意，当时，函数有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，且，如图，作出函数的图象， 由图可知，所以，故D错误.故选：AC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ．【答案】【分析】由，设，并设出切点，并结合题意过点可作曲线三条切线得出关于的方程式有三个不同实根，从而求解.【详解】由题意得：，设点坐标为，设切点为，所以：，即：，所以即得关于的此方程式存在三个不同实根，令：，则：，当时，，在上单调递增，不符合题意；当，时，，在区间上单调递增，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增，故得：，即，解得：，当时，时，，在区间上单调递增，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增，故得：，即，解得：，综上：的取值范围是．故答案为：.14．已知函数，则使得成立的的取值范围是 .【答案】【分析】构造函数，分析得的性质，结合与的关系，将题设不等式转化为关于的不等式，从而得解.【详解】令，则的定义域为，又，则是偶函数；当时，，，当时，显然，当时，，，所以，综上，在上单调递增，因为，所以由，得，即，所以，即，解得.故答案为：.15．对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求a-b= 【答案】/1.5【分析】由函数在处取极值得，求出a的值并检验，再由函数为奇函数，利用奇函数定义求出b的值，即可求出的值.【详解】由题，因为函数在处取极值，所以，所以.检验：当时，的根为或当时，，当时，；当时，，所以函数在处取极值，成立.故.又该函数为奇函数，所以对定义域内任意都成立，即对任意都成立所以，故.故答案为：.16．设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】根据题意，把不等式转化为，令，求得，令，得到，结合，得到存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合的值和题设条件，得出，即可求解.【详解】由函数，若不等式，即，因为，可化为，令，可得，令，可得，所以在R上单调递增，又由，所以存在唯一的使得，当时，，可得，所以单调递减，当时，，可得，所以单调递增，且，又因为，所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数(1)当时，求的极值；(2)讨论的单调性；【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)答案见解析.【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；【详解】（1）当时，定义域为R，且，当或时，，当时，，所以在处取得极大值，在处取得极小值，即极大值为，极小值为.（2）函数定义域为R，则，令，解得或，当时，则当或时，，当时，，所以的单调增区间为，，单调减区间为；当时，恒成立，所以在R上单调递增；当时，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，综上，当时，的单调增区间为，，单调减区间为；当时，在R上单调递增；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；18．已知函数.(1)若在处的切线垂直于直线，求的方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m的值，即可求得答案；（2）求出函数导数，分类讨论m的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.【详解】（1）由题意得；因为在处的切线垂直于直线，所以，即，解之得；又，所以的方程为，即.（2）的定义域为，由（1）得；所以当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.19．已知函数 (1)讨论的单调性；(2)当，时，证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，（2）根据函数的单调性求解端点值以及极值即可求证.【详解】（1），当时，，，单调递增；，，单调递减．当时，当或，，单调递增；当，，单调递减，当时，，所以在R上单调递增．当时，当或，，单调递增； ，，单调递减．（2），由可得，或，，单调递增；，，单调递减．又因为，，所以恒成立．20．设函数.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)设有两个极值点，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由恒成立，分离参数得恒成立，构造函数利用导数判断单调性，求出函数的最大值即可；（2）由，可知有两个不等的实数根，结合韦达定理化简，构造函数利用导数判断单调性，求出最值即可.【详解】（1）的定义域为，由，得，令，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，所以，所以实数的取值范围为.（2）由题意知，故，令，则，当，即时，，此时在上单调递增，不存在极值点.当，即或时，若，则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值点.若，则方程的两根为，则或时，，此时在上均单调递增；时，，此时在上单调递减，此时函数存在两个极值点；又，，则，故，令，则，，则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，则，故.21．已知函数(1)若时，求函数的单调区间；(2)当时，求证：．【答案】(1)增区间是，减区间是(2)证明见解析【分析】（1）求导分析单调性即可；（2）求导分析函数单调性可得的最大值为，代入所证不等式可得需转证，进而构造证明即可.【详解】（1）定义域，又，令有，令有.即的增区间是，减区间是（2）因为，且，令可得，令可得.故在递增，递减，最大值为，故，转证：即证：设，为减函数，则，即，成立22．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，函数.（i）证明：在区间上存在极值点；（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为.证明：.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）根据多次求导及导数的符号判断得出函数的单调区间；（2）（i）利用多次求导判定函数的导函数在区间上存在异号零点即可；（ii）结合（i）的结论得，判定在区间上的零点为和0，再结合几个常用的函数放缩多次分段构造函数证明即可.【详解】（1）因为，所以.令，所以，因为，所以，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，；当时，，即当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）（i）因为，所以，令，则，令，则，显然在区间上，即即在上单调递增，所以，所以即在区间上单调递增，又，由零点存在性定理可得：在区间上存在唯一零点，且在该零点左右两侧的值符号相反，故在区间上存在极值点.（ii）由（i）得在上小于0，在上大于0，又当时，，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，即，使，又，所以.令，则，所以在上单调递增，，所以，由，得，.令，则，所以在上单调递增，即，所以.令，则，所以在上单调递增，即，所以，所以，又在上单调递增，所以，即.
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