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专题强化四：数列求和常考方法和不等式交汇题型归纳 （原卷版+解析版）
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专题强化四：数列求和常考方法和不等式交汇题型归纳【考点梳理】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).②eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).⑤logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 【题型精练】题型一、分组（并项）法求和1．（2023下·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前项和为，则（ ）A．1012 B． C．2023 D．【答案】D【分析】根据数列的通项公式，可求得，依此类推，即可求解.【详解】∵，故故.故选：D.2．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的性质和求和公式计算；（2）利用分组求和的方法计算.【详解】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，，所以，即．（2）因为，所以，所以．3．（2023上·上海·高二校考期中）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定的递推公式，结合求解即得.（2）按为奇数、偶数，结合等差数列、等比数列前n项和公式及分组求和法求解即得.【详解】（1）数列中，，，当时，，两式相减得，而，即对任意，，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，当为偶数时，；当为奇数时，，所以的前n项和.题型二、倒序相加法求和4．（2023·全国·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）A．2022 B．4044 C．2023 D．4046【答案】D【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以，又∵函数，∴，令，则，∴，∴.故选：D.5．（2022上·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（ ）A．230 B．115 C．110 D．100【答案】B【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和.【详解】，①，②两式相加，又因为故，所以所以的前20项的和为 故选：B6．（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；（2）根据倒序相加法，可得答案.【详解】（1）由题知，即，整理得，解得 ；（2）由题知，，且，则，又，故，即.题型三、错位相减法求和7．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）利用等比数列的定义，结合的条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）证明：因为，所以.又，所以，所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.（2）解：由（1）知，即，则.，，则，所以.8．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用和与项的关系，结合等比数列的定义即可求解，进而可求解；（2）利用错位相减法即可求解，进而可证明.【详解】（1）当时，，所以，时，①，②，①-②得，即，，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以；（2），即③，④，④-③，得，因为，，所以.9．（2023上·甘肃甘南·高二校考期中）已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系，即可得到，数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出通项公式.（2）由（1）得出，利用错位相减法即可求得.【详解】（1）由题知，，则，整理得，即，令，，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）由（1）得，则，，相减得，所以.题型四、裂项相消法求和10．（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的相关公式求解公差和首项，写出等差数列通项公式即可；（2）表示出数列，利用裂项相消法，求和即可.【详解】（1）因为是等差数列，可设首项为，公差为，由题意得：，，联立解得：，，是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为.（2）由上问可知，数列是公差为2的等差数列，通项公式.所以,从而可得,从而可得,.11．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式求得，再根据等差数列的通项公式求得；（2）根据对数运算求出，再根据裂项相消法求和得出结果.【详解】（1）由条件知，，，所以数列是公比为2的等比数列，又由得，由得，联立以上两个方程解得.（2）由（1）知，则，12．（2023上·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）运用裂项相消法，结合构造新数列，利用作差比较法判断新数列的单调性，进而利用新数列的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为数列的前项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）可知：，所以 ，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，则，所以实数的取值范围是．题型五：数列求和的其他方法13．（2023上·湖北·高二校联考期末）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前n项的和．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据求解即可；(2)由于时，，当时，，所以分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）因为数列的前项和为，所以当时，，当时，，显然，当时，满足，所以.（2）由（1）知，因为时，，当时，，所以当时，，当时，①，②，所以①②得，因为，所以，所以14．（2022上·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知数列是首项为4的单调递增数列，满足(1)求证：；(2)设数列满足，数列前㑔和，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）通过两次配方可得，再由数列可两边开放得证；（2）由配方整理得，则数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求出，即，则由平方差公式可转化为等差数列求和，则可求得【详解】（1）证明：由题意得，，即，即，∵数列是首项为4的单调递增数列，，∴（2）由（1）得，即，即，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，故，则， ∴15．（2022·河南·汝州市第一高级中学校联考模拟预测）在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）依题意可得，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出的通项公式；（2）由（1）可得，对分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.（2）解：由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，题型六：数列和不等式问题16．（2023上·甘肃庆阳·高二校考期中）已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上.(1)求数列，的通项和；(2)令，求数列的前项和；(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法分析求解；（3）由（1）可得：，根据数列的单调性可得的最大值为，结合题意可得恒成立，利用基本不等式运算求解.【详解】（1）因为，当时，则，可得；当时，则，可得，整理得，即，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；数列满足，点在直线上，则，可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由（1）可得，则，①，②①②得，整理得.（3）由（1）可得：，则，可知数列为单调递减数列，所以，即的最大值为.因为对所有的正整数都有都成立，则，又因为，可得恒成立，只需满足即可.且，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以的取值范围为.17．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）设为数列的前项和，(1)求的通项公式；(2)若数列的最小项为第项，求；(3)设数的前项和为，证明：【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）当时，由求出，再验证符合；（2）将，代入，结合基本不等式，即可得出答案；（3）当求出，对进行放缩，由裂项相消法即可证明.【详解】（1）由题意知，当时， 当时，符合上式，所以；（2）由（1）知，，，所以，当且仅当即时，等号成立.所以数列的最小项为第一项，故；（3）由（1）知时， 记，设为数列的前项和，则时，时，，因为所以综上，18．（2023上·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． 给出以下条件：①是与的等差中项；②，，成等比数列；③，，成等比数列．从中任选一个，补充在上面的横线上，再解答．(1)求的通项公式；(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围． （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)．【分析】（1）把条件都转化为和的形式运算，求出通项公式；（2）先用错位相减法求出，再进行参分转化为恒成立问题，最后应用数列单调性的判断求出最大值.【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，则有，化简得，即，解得，则；选②，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，即，解得，则；选③，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，则，所以，所以的通项公式为，（2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，得，由（1）知，即有，则，于是得，两式相减得：，因此，又，所以不等式，等价于，又，所以等价于恒成立，令，则，则时，，即数列递增，当时，，即数列递减，所以当时，，则，所以实数的取值范围是．专题训练二、解答题19．（2024上·贵州·高三统考开学考试）已知为数列的前n项和，且满足，．(1)求的值；(2)若，记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)14(2)证明见解析【分析】（1）利用化简可得答案；（2）求出，利用裂项相消求和求出，根据的单调性可得答案．【详解】（1）因为，①所以当时，，②由①②，得，化简得，所以；（2）由及（1），知，得，所以，所以，又，且，所以数列是递增数列，．综上可知，．20．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)1409【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.（2）利用分组求和法求得.【详解】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，解得：，所以．（2）因为，所以，所以 .21．（2023上·山东青岛·高二统考期中）记为数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件求出的值，当时，求出，由结合可得出数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法求出，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）解：由已知得，当时，，，于是，也满足，综上，的通项公式为.（2）证明：由（1）知，，记，所以，，所以，，故.22．（2023上·福建·高二统考期中）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若对于任意的，都有恒成立，求满足条件的最小正整数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，可得，当时，可得，即，可得数列为等差数列，进而可得通项公式；（2）利用裂项相消法可得，可得，解不等式即可.【详解】（1）当时，，解得，当时，，可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；（2）由（1）得，所以，又对于任意的，都有恒成立，则，即，解得或，所以满足条件的最小正整数的值为.23．（2023上·重庆·高二统考期末）已知数列满足，，______，．从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分）．(1)写出，；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)求数列的前2n项和．【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)【分析】（1）由数列的前几项，结合所选的条件写出，；（2）结合所选的条件和数列的递推，定义法证明为等比数列，利用首项和公比求数列的通项公式；（3）结合所选的条件和数列的通项公式，求出数列的通项公式，使用并项求和法求前2n项和．【详解】（1）数列满足，，，，，，选择①，，；选择②，，.（2）选择①，证明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比数列，首项，公比，∴.选择②证明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比数列，首项，公比，∴.（3）选择①，由（2）可得，∴∴，∴令∴选择②，由（2）可得，由累加法可得，，∴，∴，∴，令，∴.24．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式.
专题强化四：数列求和常考方法和不等式交汇题型归纳【考点梳理】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).②eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).⑤logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 【题型精练】题型一、分组（并项）法求和1．（2023下·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前项和为，则（ ）A．1012 B． C．2023 D．【答案】D【分析】根据数列的通项公式，可求得，依此类推，即可求解.【详解】∵，故故.故选：D.2．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的性质和求和公式计算；（2）利用分组求和的方法计算.【详解】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，，所以，即．（2）因为，所以，所以．3．（2023上·上海·高二校考期中）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定的递推公式，结合求解即得.（2）按为奇数、偶数，结合等差数列、等比数列前n项和公式及分组求和法求解即得.【详解】（1）数列中，，，当时，，两式相减得，而，即对任意，，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，当为偶数时，；当为奇数时，，所以的前n项和.题型二、倒序相加法求和4．（2023·全国·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）A．2022 B．4044 C．2023 D．4046【答案】D【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以，又∵函数，∴，令，则，∴，∴.故选：D.5．（2022上·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（ ）A．230 B．115 C．110 D．100【答案】B【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和.【详解】，①，②两式相加，又因为故，所以所以的前20项的和为 故选：B6．（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；（2）根据倒序相加法，可得答案.【详解】（1）由题知，即，整理得，解得 ；（2）由题知，，且，则，又，故，即.题型三、错位相减法求和7．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）利用等比数列的定义，结合的条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）证明：因为，所以.又，所以，所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.（2）解：由（1）知，即，则.，，则，所以.8．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用和与项的关系，结合等比数列的定义即可求解，进而可求解；（2）利用错位相减法即可求解，进而可证明.【详解】（1）当时，，所以，时，①，②，①-②得，即，，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以；（2），即③，④，④-③，得，因为，，所以.9．（2023上·甘肃甘南·高二校考期中）已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系，即可得到，数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出通项公式.（2）由（1）得出，利用错位相减法即可求得.【详解】（1）由题知，，则，整理得，即，令，，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）由（1）得，则，，相减得，所以.题型四、裂项相消法求和10．（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的相关公式求解公差和首项，写出等差数列通项公式即可；（2）表示出数列，利用裂项相消法，求和即可.【详解】（1）因为是等差数列，可设首项为，公差为，由题意得：，，联立解得：，，是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为.（2）由上问可知，数列是公差为2的等差数列，通项公式.所以,从而可得,从而可得,.11．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式求得，再根据等差数列的通项公式求得；（2）根据对数运算求出，再根据裂项相消法求和得出结果.【详解】（1）由条件知，，，所以数列是公比为2的等比数列，又由得，由得，联立以上两个方程解得.（2）由（1）知，则，12．（2023上·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）运用裂项相消法，结合构造新数列，利用作差比较法判断新数列的单调性，进而利用新数列的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为数列的前项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）可知：，所以 ，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，则，所以实数的取值范围是．题型五：数列求和的其他方法13．（2023上·湖北·高二校联考期末）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前n项的和．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据求解即可；(2)由于时，，当时，，所以分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）因为数列的前项和为，所以当时，，当时，，显然，当时，满足，所以.（2）由（1）知，因为时，，当时，，所以当时，，当时，①，②，所以①②得，因为，所以，所以14．（2022上·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知数列是首项为4的单调递增数列，满足(1)求证：；(2)设数列满足，数列前㑔和，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）通过两次配方可得，再由数列可两边开放得证；（2）由配方整理得，则数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求出，即，则由平方差公式可转化为等差数列求和，则可求得【详解】（1）证明：由题意得，，即，即，∵数列是首项为4的单调递增数列，，∴（2）由（1）得，即，即，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，故，则， ∴15．（2022·河南·汝州市第一高级中学校联考模拟预测）在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）依题意可得，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出的通项公式；（2）由（1）可得，对分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.（2）解：由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，题型六：数列和不等式问题16．（2023上·甘肃庆阳·高二校考期中）已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上.(1)求数列，的通项和；(2)令，求数列的前项和；(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法分析求解；（3）由（1）可得：，根据数列的单调性可得的最大值为，结合题意可得恒成立，利用基本不等式运算求解.【详解】（1）因为，当时，则，可得；当时，则，可得，整理得，即，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；数列满足，点在直线上，则，可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由（1）可得，则，①，②①②得，整理得.（3）由（1）可得：，则，可知数列为单调递减数列，所以，即的最大值为.因为对所有的正整数都有都成立，则，又因为，可得恒成立，只需满足即可.且，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以的取值范围为.17．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）设为数列的前项和，(1)求的通项公式；(2)若数列的最小项为第项，求；(3)设数的前项和为，证明：【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）当时，由求出，再验证符合；（2）将，代入，结合基本不等式，即可得出答案；（3）当求出，对进行放缩，由裂项相消法即可证明.【详解】（1）由题意知，当时， 当时，符合上式，所以；（2）由（1）知，，，所以，当且仅当即时，等号成立.所以数列的最小项为第一项，故；（3）由（1）知时， 记，设为数列的前项和，则时，时，，因为所以综上，18．（2023上·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． 给出以下条件：①是与的等差中项；②，，成等比数列；③，，成等比数列．从中任选一个，补充在上面的横线上，再解答．(1)求的通项公式；(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围． （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)．【分析】（1）把条件都转化为和的形式运算，求出通项公式；（2）先用错位相减法求出，再进行参分转化为恒成立问题，最后应用数列单调性的判断求出最大值.【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，则有，化简得，即，解得，则；选②，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，即，解得，则；选③，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，则，所以，所以的通项公式为，（2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，得，由（1）知，即有，则，于是得，两式相减得：，因此，又，所以不等式，等价于，又，所以等价于恒成立，令，则，则时，，即数列递增，当时，，即数列递减，所以当时，，则，所以实数的取值范围是．专题训练二、解答题19．（2024上·贵州·高三统考开学考试）已知为数列的前n项和，且满足，．(1)求的值；(2)若，记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)14(2)证明见解析【分析】（1）利用化简可得答案；（2）求出，利用裂项相消求和求出，根据的单调性可得答案．【详解】（1）因为，①所以当时，，②由①②，得，化简得，所以；（2）由及（1），知，得，所以，所以，又，且，所以数列是递增数列，．综上可知，．20．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)1409【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.（2）利用分组求和法求得.【详解】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，解得：，所以．（2）因为，所以，所以 .21．（2023上·山东青岛·高二统考期中）记为数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件求出的值，当时，求出，由结合可得出数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法求出，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）解：由已知得，当时，，，于是，也满足，综上，的通项公式为.（2）证明：由（1）知，，记，所以，，所以，，故.22．（2023上·福建·高二统考期中）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若对于任意的，都有恒成立，求满足条件的最小正整数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，可得，当时，可得，即，可得数列为等差数列，进而可得通项公式；（2）利用裂项相消法可得，可得，解不等式即可.【详解】（1）当时，，解得，当时，，可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；（2）由（1）得，所以，又对于任意的，都有恒成立，则，即，解得或，所以满足条件的最小正整数的值为.23．（2023上·重庆·高二统考期末）已知数列满足，，______，．从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分）．(1)写出，；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)求数列的前2n项和．【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)【分析】（1）由数列的前几项，结合所选的条件写出，；（2）结合所选的条件和数列的递推，定义法证明为等比数列，利用首项和公比求数列的通项公式；（3）结合所选的条件和数列的通项公式，求出数列的通项公式，使用并项求和法求前2n项和．【详解】（1）数列满足，，，，，，选择①，，；选择②，，.（2）选择①，证明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比数列，首项，公比，∴.选择②证明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比数列，首项，公比，∴.（3）选择①，由（2）可得，∴∴，∴令∴选择②，由（2）可得，由累加法可得，，∴，∴，∴，令，∴.24．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式.
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