数学苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用课后练习题

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考点一：函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
考点二：函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
考点三：函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
考点四：求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
【题型归纳】
题型一：求函数的极值
1．（2022下·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）

A．函数在上单调递增B．函数在上单调递增
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
【答案】B
【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，，
所以函数在上单调递减，A错误；
当时，
所以函数在上单调递增，B正确，C错误；
函数在处取得极小值，D错误．
故选：B
2．（2022·全国·高二专题练习）求下列函数的极值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)极小值为，无极大值
(3)极小值为0，无极大值
【分析】（1）（2）求导，得到，再判断出在这一点两侧的单调性，得到函数的极值情况
（3）根据函数极值的定义，只要函数在某点附近的区域上是连续的，且在这一点两侧的单调性相反，这一点就是函数的极值点．
【详解】（1）．令，解得．
因为当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数在处有极小值，且极小值为，无极大值．
（2）．
令，解得，．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以当时，函数取得极小值，且极小值为，无极大值．
（3）．显然函数在处不可导．
当时，，函数在内单调递增；
当时，，函数在内单调递减．
故当时，函数取得极小值，且极小值为0，无极大值．
3．（2023上·高二课时练习）求下列函数的单调区间、极值点和极值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】先利用导数与函数单调性的关系求得所求函数的单调区间，从而可求得其极值点和极值，由此得解.
【详解】（1）因为，所以，
令，得；令，得；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
则的极小值点为，极小值为，
没有极大值点和极大值.
（2）因为，所以，
令，得或；令，得或；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
则的极小值点为，极小值为，
极大值点为，极大值为.
（3）因为，所以，
令，得或；令，得；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
则的极小值点为，极小值为，
极大值点为，极大值为.
（4）因为，所以，
令，得；令，得或；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
则的极小值点为，极小值为，
极大值点为，极大值为.
题型二：由极值求参数
4．（2023下·江西上饶·高二统考期末）若函数在处有极值10，则（ ）
A．B．0C．7D．0或7
【答案】C
【分析】利用导数结合已知，求出a，b并验证作答.
【详解】函数，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，，当时，，时，，
于是是函数的极值点，符合题意，所以.
故选：C
5．（2023下·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】B
【分析】对函数进行求导，通过两个极值点可得到，然后分和两种情况进行讨论即可
【详解】由可知，
因为函数的两个极值点分别为和2，所以和2是的零点，
故和2是的实数根，，，．
当，即时，
当，当，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时极大值为，，；
当，即时，
当，当，
函数在上单调递增，在上单调递减，
此时极大值为，，，
只要，无论a取何值，始终成立，
故选：B．
6．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数在处取到极小值．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极小值列出方程组即可得解；
（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可.
【详解】（1）因为，
则，
即，
当时，，时，，
时，，故在处取到极小值，
所以满足题意.
（2）由（1）知，，
则，
故切线方程为：，
即.
题型三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系
7．（2023下·广东梅州·高二统考期末）设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．有两个极值点B．
C．为的极小值D．有一个极大值
【答案】D
【分析】根据给定的图象，求出和的解集，再逐项判断作答.
【详解】令的图象与x轴最右边交点横坐标为，
观察图象知，由，得或，由，得或，
函数有3个极值点，A错误；
函数在上单调递增，，B错误；
显然2不是函数的极值点，则不为的极小值，C错误；
显然1是函数的极大值点，则有一个极大值，D正确.
故选：D
8．（2023下·北京东城·高二北京二中校考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．在区间上有个极值点
B．在处取得极小值
C．在区间上单调递减
D．在处取得极大值
【答案】C
【分析】由导函数图象可得的取值情况，即可判断.
【详解】根据的图象可得，在上，，且仅有，
∴在上单调递减，
∴在区间上没有极值点，故A、B、D错误，C正确；
故选：C.
9．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ）

A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．为极值点
D．为极值点
【答案】D
【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.
【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确；
B，因时，，则在上单调递增，故B正确；
C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确；
D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误.
故选：D
题型四：函数的最值与极值的关系
10．（2023·高二课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（ ）．
A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值
B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值
C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间上不存在极大值和最大值
【答案】B
【分析】设，，求出其最大值和极大值可判断A和D；若函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减时，在上单调递增时，可以出现极大值小于这个函数的极小值，说明B正确；根据极小值一定不是端点值，最小值可能是端点值，可判断C.
【详解】对于A，设，，，当时，，
当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在时取得极大值，也是最大值，故A不正确；
对于B，若函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减时，在上单调递增，此时函数在时取得极大值，在时取得极小值，这里可以小于，故B正确；
对于C，函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值，而极小值一定不是端点值，故C不正确；
对于D，由A可知，函数在开区间上存在极大值和最大值.故D不正确；
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
12．（2019上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）设，在上，以下结论正确的是 （ ）
A．的极值点一定是最值点B．的最值点一定是极值点
C．在上可能没有极值点D．在上可能没有最值点
【答案】C
【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.
【详解】由已知，，由，得或时；由，
得时，所以在上单调递增，在，上单调递减.
对于选项A，取 ，易知的极值点为，
且，而，所以不是最小值点，故A错误；
对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但
不是极值点，故B错误，C正确；
对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.
故选：C
题型五：不含参函数的最值问题
13．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】C
【分析】利用导数得函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
【详解】，
，
令，解得，
令，解得或，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
而，
故在上的最小值是0.
故选：C．
14．（2024·四川成都·成都七中校考一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
故，．
15．（2023上·辽宁鞍山·高三校联考阶段练习）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)在，单调递增，在单调递减
(2)最小值为，最大值为．
【分析】（1）求出函数的导数，分析导数的符号即可得解；
（2）利用函数单调性，确定函数的极大值可得最大值，比较端点即可得最小值.
【详解】（1）定义域为．
当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间．
（2）令，得或．
因为，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为．
又，
因为，
所以在上的最小值为．
题型六：由函数的最值求参数问题
16．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出的单调性，结合即可求解.
【详解】，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，所以函数在区间上的最小值为2e，
必有，即.
故选：B
17．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）根据给定条件，求出函数的导数，分类讨论求解最小值即可作答.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数在点处切线方程为，即.
（2）函数，求导得，，
当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾，
当时，由，得，函数递减，由，得，函数递增，
因此，解得，从而，
当时，，函数在上单调递减，，解得，矛盾，
所以.
18．（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.
(1)若，求在定义域内的极值；
(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）当时，可得出，利用导数分析函数在定义域上的单调性，即可求得函数的极值；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件可求得实数的值.
【详解】（1）解：当时，，的定义域是，且，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在有极小值，无极大值.
（2）解：因为，则，因为，
①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减，
所以，所以（舍去）；
②当时，即当时，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
综上，.
题型七：含参函数的最值问题
19．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值.
【详解】因为，所以的定义域为，，
当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意；
当时，令得，此时单调递减，
令得，此时单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
，
令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即.
故选：A.
20．（2023下·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求极值：
(2)当时，求函数在上的最大值．
【答案】(1)的极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值情况；
（2）求导，得到导函数的两个零点，分和两种情况，求出函数的最大值.
【详解】（1）当时，，，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
综上，的极大值为，极小值为；
（2），，
故，，
令得或，
因为，当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
因为，
，
所以，所以；
当，即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
，
所以；
综上：
21．（2023下·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数．
(1)若，，求函数斜率为的切线方程；
(2)若，讨论在的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，对函数进行求导，设切点为，切线斜率为1，得到切线坐标，再代入切线方程中即可求解；
（2）若，则，对函数进行求导，分别讨论当、、、这四种情况，求出函数在区间上的最大值．
【详解】（1）已知，函数定义域为，
当，时，函数，
可得，
不妨设切点为，此时，
因为切线斜率为1，
所以，解得，
所以，
此时切点坐标为，
则曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）若，即，
此时，函数定义域为，
可得，令，解得，
当，即时，，
此时函数在定义域上单调递增，
则；
当，即时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
又，，
当，即时，可得，
所以当时，；
当，即时，可得，
所以当时，；
当，即时，，此时函数在定义域上单调递减，
则，
综上，当时，函数的最大值为0；
当时，函数的最大值为．
题型八：函数的单调性、极值和最值的综合问题
22．（2023下·山东菏泽·高二统考期末）已知函数（），则下列结论正确的是（ ）
A．函数一定有极值
B．当时，函数在上为增函数
C．当时，函数的极小值为
D．当时，函数的极小值的最大值大于0
【答案】C
【分析】求出函数的导数，举反例可判断A；根据导数与函数单调性的关系可判断B；求得函数极值判断C；根据函数极小值的表达式构造函数，利用导数求得其最小值判断D.
【详解】由得，
当时，，在上单调递减，无极值，A错误；
当时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，B错误；
由B的分析可知，时，函数取极小值，极小值为，C正确；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增减，
故，即当时，函数的极小值的最大值小于等于0，D错误；
故选：C
23．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知曲线在点处切线的斜率为2e，且.
(1)求a，b的值；
(2)令，当时，恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数几何意义，联立已知，解方程组可得；
（2）由恒成立取特值先探求必要条件，再证明其也是充分条件，通过放缩，将问题转化为证明，再分别证明与指、对两个不等式恒成立即可.
【详解】（1）由曲线在点处切线的斜率为2e，
则，且，解得，
代入，解得.
故.
（2）由（1）知，
得，
由恒成立，，解得.
即是恒成立的必要条件，下面证明也是恒成立的充分条件.
由，得，
则，
令，则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，即①.
令，则，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，即②.
由①②可得，恒成立.
故也是恒成立的充分条件.
综上所述，当时，恒成立， m的取值范围为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数取值范围问题，除一般的分类讨论思路外，有时可适当考虑区间端点值或区间内的特殊函数值的范围限定，先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，这是一种必要条件探路，再证充分性的方法.若在端点处进行的范围限定，此方法也叫端点效应.
24．（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若，讨论的单调性.
(2)当时，都有成立，求整数的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到的单调性；
（2）变形得到，令，，只需，求导，结合隐零点得到的单调性和极值，最值情况，得到，从而求出整数的最大值.
【详解】（1），定义域为R，
且，
当时，恒成立，故在R上单调递增，
当时，令得，，此时单调递增，
令得，，此时单调递减，
综上：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意得，在上恒成立，
因为，所以，故，
令，，只需，
，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，
故存在，使得，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，
所以，故整数的最大值为1.
【双基达标】
一、单选题
25．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①是函数的极值点；
②是函数的最小值；
③在处切线的斜率小于零；
④在区间上单调递增．则正确命题的序号是（ ）

A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义与函数的单调性，极值点的关系结合图象即可判断.
【详解】由题知，
根据，可以确定函数的增区间，
减区间以及切线斜率的正负，
由导函数的图象可得，
当时，，，
-3的左边负右边正，两边互为异号，
所以在上为减函数，
上为增函数，由此可得：
①是函数的极值点；0
（0，1）
1
－
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
无极值
单调递增
0
1
2
0
单调递增
极大值
单调递减