07，广东省佛山市顺德区广东顺德德胜学校2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

这是一份07，广东省佛山市顺德区广东顺德德胜学校2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【详解】解：A．是整式，不符合题意；
B．是分式，符合题意；
C．是整式，不符合题意；
D．是整式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题关键．
2. 若，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．不等式的性质①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．
【详解】解：A、，，故本选项不符合题意，
B、，，故本选项不符合题意，
C、，，故本选项符合题意，
D、，，故本选项不符合题意，
故选：C．
3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）试卷源自 期末大优惠，全站资源一元不到！即将回复原价。A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，可得答案．
【详解】解：A、，属于整式乘法；
B、，属于因式分解；
C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不属于因式分解；
D、，等式左边不是多项式，不属于因式分解；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
5. 把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的9倍B. 扩大为原来的3倍
C. 不变D. 缩小为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，正确掌握分式的计算法则是解题的关键．
将m和n都扩大3倍进行计算，与原分式比较即可．
【详解】解：由题意得，，
∴分式的值扩大为原来的3倍．
故选：B．
6. 已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状．
本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【详解】，
∵a，b，c为三边
∴
∴
∴是等腰三角形．
故选：C．
7. 已知x＝2是方程的解，则k的值为（ ）
A. ﹣2B. 2C. 1D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】将x=2代入方程，求出k的值即可．
【详解】解：∵x＝2是方程的解
∴，
解得k=﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程解的概念是解题的关键．
8. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
故选：D．
9. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间．
【详解】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：．
故选：B．
【点睛】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
10. 已知，且，求的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形法则，
利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
12. 若分式的值为0，则=______．
【答案】1
【解析】
【分析】分式的值为0，即是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：1
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件．
13. 若＝，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由＝，可设a=5k，则b=2k，将它们代入，就是即可求出其值．
【详解】解：由＝，
设a＝5k，b＝2k，
把a＝5k，b＝2k代入得，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质及代数式求值，根据比例的基本性质设出a=5k，b=13k，可使计算简便．
14. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据分式方程增根的定义可以得解．
【详解】解：原方程两边同时乘以（x-5）得：
x-3（x-5）=a，
由题意，x=5，
∴a=5，
故答案为：5 ．
【点睛】本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程增根的意义及产生根源是解题关键．
15. 如图，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A1P1B，连接PP1.若BP＝2，则线段PP1的长为________．
【答案】2
【解析】
【详解】分析：由△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A1P1B1，根据旋转的性质得到BP=BP1，∠PBP1=90°，即△BPP1为等腰直角三角形，得到PP1=BP，由此得到PP1的长．
详解：∵△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A1P1B1，∴BP=BP1，∠PBP1=90°，∴△BPP1为等腰直角三角形，∴PP1=BP=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
16. 如图，在直角三角形中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 __________
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
17. 如图，在中，，，以为边作正方形，求最大值______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识，
过点A作且，连接，，根据题意证明出，得到，得到当取得最大值时，取得最大值，当点F，C，B三点共线时，有最大值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点A作且，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∵，
∴，
∴当点F，C，B三点共线时，有最大值，即的长度，
∵，，
∴，
∴，
∴的最大值为，即的最大值．
故答案为：．
三、解答题（一）（18题6分，19-21每题8分，共30分）．
18. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解应用，解题的关键是将分解为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
19. （1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，其中x值为（1）中方程的值．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，分式化简求值，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）
∵
∴原式．
20. 北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，已知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．
（1）求棉衣的单价；
（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉衣．
【答案】（1）棉衣的单价为250元
（2）最多可以购买40件棉衣
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设棉衣的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可．
（2）设可以购买件棉衣，根据题意，列出一元一次不等式求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：设棉衣单价为元，
根据题意，得,
解得，
经检验：是原分式方程的解
答：棉衣单价为250元；
【小问2详解】
设可以购买件棉衣，根据题意，得
解得
答：最多可以购买40件棉衣．
21. 如图，已知E，F是平行四边形对角线上的点，．

（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，与的关系，根据补角的性质，可得与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得与的大小关系，根据平行线的性质，与的位置关系，可得根据平行四边形的判定，可得答案．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，
．
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，（1）利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四、解答题（二）（22、23题10分，24题12分，共32分）．
22. 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图所示：

【基础回顾】
（1）在图中，若，；（直接写出答案）
【操作探究】
（2）改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由；
（3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______；
【拓展延伸】
（4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值．
【答案】（1）；
（2）等腰 ，理由见解析；
（3）或；
（4）．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，再根据平角求出的度数，最后根据平行线的性质即可求解；
（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出；
（3）利用当的面积最小值为时，，则可证明，，从而即可求出；
（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合；
情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为两种情况讨论求解．
【小问1详解】
如图，

由折叠性质可知，，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
等 腰，理由：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵将纸片沿折叠，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
【小问3详解】
如图2，当的面积最小值为 时，，

∴，
∵，，
∴
同理：
故答案为：或；
【小问4详解】
分两种情况：情况一：如图，将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合，设，则，

由勾股定理得，
解得．
∴，
∴．
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为，设，则，

同理可得：，
∵，
∴．
综上：的面积最大值为．
【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意分类思想的运用．
23. 阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______；
（2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______；
（3）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】（1）3，6；
（2），4；
（3）当时，分式取到最大值，最大值为．
【解析】
【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
【小问2详解】
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：，4；
【小问3详解】
解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
24. 如图，长方形与长方形全等点B，C，D和点C，G，F分别在同一条直线上，其中，．连接对角线，．
（1）在图①中，连接，直接判断形状是______；直接写出的值______；
（2）如图②，将图①中的长方形绕点C逆时针旋转，当平分时，求此时点E到直线的距离．
（3）如图③，将图①中的长方形绕点C逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点M，取的中点N，连接，直接写出长的最小值______；
【答案】（1）等腰直角三角形，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形与矩形全等得，然后证明出，再由勾股定理得，；
（2）由平分结合等腰三角形“三线合一”得：，，再由等面积法得点到直线的距离为；
（3）过点作的平行线交的延长线于，连接，先证明得，再由中位线定理得，再由在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：得的最小值为，故的最小值为．
【小问1详解】
矩形与矩形全等，
，，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
；
【小问2详解】
当平分时，
，由等腰三角形“三线合一”得：，，
设点到直线的距离为，
则由等面积法：，
，
此时点到直线的距离为；
【小问3详解】
如图，过点作的平行线交的延长线于，连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
的中点为，
，，
在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：，
，
的最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题是矩形旋转变换综合题，主要考查了矩形的性质、旋转的性质、矩形全等的性质、全等三角形的判定与性质、等面积法求高、中位线定理，过点E作的平行线交的延长线于H、构造是本题的关键．