人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义11 《方程 等式的性质》+同步练习 (原卷版+教师版)

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1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6； ④2m-3n＝0；
⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3； ⑦ SKIPIF 1 < 0 ； ⑧ SKIPIF 1 < 0 ．
举一反三：
【变式】下列四个式子中，是方程的是（ ）
A. 3+2=5 B. x=1 C. 2x﹣3＜0 D. a2+2ab+b2
2．下列方程中，以x=2为解的方程是（ ）
A. 4x﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1
C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x﹣1）
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是( )
A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D． SKIPIF 1 < 0
类型二、一元一次方程的相关概念
3．已知方程① SKIPIF 1 < 0 ；②0.4x＝11；③ SKIPIF 1 < 0 ；④y2-4y＝3；⑤t＝0；⑥x+2y＝1．其中是一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．
①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④ SKIPIF 1 < 0 ．
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．
(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ________；
(2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；
(3)如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ＝________．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.
B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得 SKIPIF 1 < 0 .
C．在等式 SKIPIF 1 < 0 两边都除以a，可得b＝c.
D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？
举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x的5倍比x的相反数大10；
(2)某数的 SKIPIF 1 < 0 比它的倒数小4；
(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
《一元一次方程》课时练习
一、选择题
下列方程中，一元一次方程的有( )个。
①2x－3y=6 ②x2－5x+6=0 ③3(x－2)=1－2x ④3x－2(6－x)
A.1 B.2 C.3 D.4
若(m﹣2)x|m|﹣1=5是一元一次方程，则m的值为( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.4
下列式子：
①x=0；②3+2=5；③ QUOTE eq \f(1,x)=4；④x2=9；⑤2x=3x；⑥6-4x；⑦2(x+1)=2；⑧x+2y=0.
其中方程的个数是( )
A.5 B.4 C.6 D.7
若方程(a+3)x |a| - 2－7=0是一个一元一次方程，则a等于 ( )
A.-3 B.3 C.±3 D.0
下列各式中，方程有( )
①2+1=1+2；②4－x=1；③y2-1=-3y+1；④x-2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
下列方程中，不是一元一次方程的是( )
A.4x=2－2x C.x＋3=y－5 D.5x－2x=6x
下列等式是一元一次方程的是( )
A.x2+3x=6 B.2x=4 C.﹣eq \f(1,2)x﹣y=0 D.x+12=x﹣4
下列方程是一元一次方程的是( )
A.x－2=3 B.1＋5=6 C.x2＋x=1 D.x－3y=0
若(m-2)x|2m-3|=6是一元一次方程，则x等于( ).
A.1 B.2 C.1或2 D.任何数
方程2x-3y=7用含x的代数式表示y为( )
A. B. C. D.
方程2x﹣1=3x+2的解为( )
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=3 D.x=﹣3
有下列四种说法：
(1)由5m=6m＋2可得m=2；
(2)方程的解就是方程中未知数所取的值；
(3)方程2x-1=3的解是x=2；
(4)方程x=-x没有解.
其中错误说法的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
当m= 时，关于x的方程x2﹣m+1=0是一元一次方程.
已知(m－3)x|m|－2=18是关于x的一元一次方程，则m=_______.
若2x|m|-1 =5是一元一次方程，则m的值为 .
若关于x的方程(|a|﹣3)x2+ax﹣3x+4=0是一元一次方程，则a= .
已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为 .
请构造一个一元一次方程，使得方程的解为x=3：_______________.
三、解答题
设某数为x,根据下列条件列方程.
(1)某数与8的差等于某数的eq \f(1,3)与4的和；
(2)某数的eq \f(1,2)与某数的eq \f(1,3)的和等于3.
一项工程,甲单独做要20小时,乙单独做要12小时.现在先由甲单独做5小时,然后乙加入进来一起做.完成整项工程一共需要多少小时?(只列方程,不必求解)
已知方程(3m－4)x2－(5－3m)x－4m=－2m是关于x的一元一次方程.
(1)求m和x的值；
(2)若n满足关系式|2n＋m|=1，求n的值.
根据下列条件列出方程，并检验x=4是不是所列方程的解.
(1)某数与1的差是这个数的2倍；
(2)某数与2的差的一半比该数的2倍与4的差的一半小1.
已知a是非零整数，关于x的方程ax|a|-bx2+x-2=0是一元一次方程，求a+b的值与方程的解.
《等式的性质》课时练习
一、选择题
若a=b，则下列式子不正确的是( )
A.a＋1=b＋1 B.a＋5=b-5 C.-a=-b D.a-b=0
下列等式变形中，结果不正确的是( )
A.如果a=b,那么a＋2b=3b
B.如果a=b，那么a－m=b－m
C.如果a=b，那么ac2=bc2
D.如果3x=6y－1,那么x=2y－1
将3x－7＝2x变形正确的是( )
A.3x＋2x＝7 B.3x－2x＝－7 C.3x＋2x＝－7 D.3x－2x＝7
下列变形不正确的是( )
A.若2x－1=3，则2x=4 B.若3x=－6，则x=2
C.若x＋3=2，则x=－1 D.若－eq \f(1,2)x=3，则x=－6
已知a=b，有下列各式：a－3=b－3，a＋5=b＋5，a－8=b＋8，2a=a＋b.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
由0.3y=6得到y=20，这是由于( )
A.等式两边都加上0.3 B.等式两边都减去0.3
C.等式两边都乘以0.3 D.等式两边都除以0.3
方程2x-3y=7，用含x的代数式表示y为( )
A.y=eq \f(1,3)(7-2x) B.y=eq \f(1,3)(2x-7) C.x=eq \f(1,2)(7+3y) D.x=eq \f(1,2)(7-3y)
把方程eq \f(1,2)x=1变形为x=2，其依据是( )
A.等式的性质1 B.等式的性质2
C.分式的基本性质 D.不等式的性质1
下列说法中，正确的个数是( )
①若mx=my，则mx－my=0；
②若mx=my，则x=y；
③若mx=my，则mx＋my=2my；
④若x=y，则mx=my.
A.1 B.2 C.3 D.4
下列变形中，正确的是( )
A.若5x﹣6=7，则5x﹣7=﹣6 B.若﹣13x=1，则x=﹣3
C.若x-12=1，则x﹣1=1 D.若﹣3x=5，则x=-35
依据“x的3倍与-5的绝对值的差等于8”的数量关系，可列出的等式为（ ）
A.3x-|-5|=8 B.|3x-(-5)|=8 C.3(x-|-5|)=8 D.|3x-5|=8
已知m+a=n+b，根据等式性质变形为m=n，那么a，b必须符合的条件是（ ）
A.a=﹣b B.﹣a=b C.a=b D.a，b可以是任意有理数或整式
二、填空题
在方程3a-5=2a+6的两边同时减去一个多项式可以得到方程的解为a=11，则这个多项式是________.
如果x+17=y+6，那么x+11=y+ ，根据是 .
若-m=3，则m= .
若a-5=b-5，则a=b，这是根据 .
等式eq \f(s,2)=eq \f(t,5)，两边都乘以10得到的等式为____________.
用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并在括号内说明是根据等式的哪一条性质变形的：
(1)如果x＋8=10，那么x=____________(____________)；
(2)如果4x=3x＋15，那么4x____________=15(____________)；
(3)如果－3x=7，那么x=____________(____________)；
(4)如果eq \f(1,2)x=－2，那么x=____________(____________).
三、解答题
利用等式的性质解下列方程:
(1)7x-6=-5x； (2)-x-1=4;
利用等式性质解方程，并写出检验过程.
(1)8x=6＋7x； (2)x=eq \f(1,3)x－2. (3)3－6x=17＋x.
解方程5(x＋2)=2(x＋2).
解：两边同除以(x＋2)得5=2，而5≠2，你知道问题出在哪儿吗？你能求出x的值吗？
解：问题出在两边同除以(x＋2)刚好为0，0不能作除数.
解：5x＋10=2x＋4两边同减去10，得5x=2x－6.
两边同减去2x，得3x=－6，
两边同除以3，得x=－2.