2024届安徽省阜阳市重点中学中考一模数学试题含参考答案

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2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，解题关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2. 如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看和从上面看得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：该几何体的主视图和俯视图为：
故选B．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意存在看不见的用虚线表示．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂除法运算法则以及合并同类项法则，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，故计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，故计算错误，不符合题意；
D. 与不是同类项，不能合并．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法运算、积的乘方运算、同底数幂除法运算以及合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．
5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 与轴无交点
C. 当时，随的增大而增大D. 对称轴是直线
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次项的系数与开口方向的关系，判别式与图象和x轴交点的关系，函数的增减性，对称轴的性质，是解决问题的关键．
根据二次项的系数，判别式，函数的增减性，对称轴，逐项判断即得．
【详解】A．开口向上，
∵中，，
∴图象开口向下，
∴此选项不正确；
B．与轴无交点，
∵，
∴图象与x轴无交点，
∴此选项正确；
C．当时，随的增大而增大，
∵，
∴对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
∴此选项不正确；
D．对称轴是直线，
∵，
∴对称轴为．
∴此选项不正确．
故选：B．
6. 如图，已知内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．先求出，，得出，然后再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
故选：C．
7. 如图，小明有一个边长为正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据飞镖落在阴影区域的概率为阴影区域的面积与总面积的比即可解答．
【详解】解：∵正方形的面积为，
阴影部分的面积为，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：D．
8. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可．
【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，
所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键．
10. 如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线，将求线段的长的最小值转化为求的最小值是解题关键．取的中点，连接，根据旋转和等边三角形的性质，证明，得到，即当时，最短，利用含30度角的直角三角形，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，则．
线段绕点逆时针旋转得到，
，．
是等边三角形，
，，
，
．
是边上的高，
，
．
在和中，
，
．
根据垂线段最短知，当时，点到直线的距离最短，即最短．
，，
，
，
线段的长的最小值是．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可求解．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 年月日，安徽省交通运输工作会议召开，记者从会上获悉，年全省完成交通固定资产投资亿元，同比增长．将数据亿用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
13. 如图，在中，，，点在上，且，点是边上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长为______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，连接，和，由题意可得，，和，则有和，进一步有，可得，继而得，则有，可判定，有即可．
【详解】解：连接，和，如图，

在中，，，
，
点分别是和的中点，
，，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
是直角三角形，且，
，
，
在和中，
，
，
．
14. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点，．请解决下列问题：
（1）线段的长为______；
（2）若菱形的边轴，另一边在直线上，且点是的中点，点在反比例函数的图象上，则______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）分别求出直线与轴交于点，与轴交于点，从而得出，，再由勾股定理计算即可得出答案；
（2）延长交轴于点，由菱形的性质得出，证明，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意，得当时，，
直线与轴交于点．
当时，，
直线与轴交于点，
，．
在中，，
故答案为：；
（2）如图，延长交轴于点．
，
点是的中点，
．
四边形是菱形，
．
轴，
，，
，
，，
，，
．
点在反比例函数的图象上，
，
故答案：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
【详解】解：．
16. 某公司组织优秀员工进行团建活动，如果单独租用45座的型客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座的型客车，则可少租1辆，并且剩余15个座位．求该公司参加团建活动的优秀员工有多少人．
【答案】225人
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设租用45座的型客车辆，则租用60座的型客车辆．
根据题意，得，
解得，
（人）．
答：该公司参加团建活动的优秀员工有225人．
四、（本大题共2小题、每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．
（1）画出线段关于轴对称的线段；（点A与点，点与点分别对应）
（2）以点A为旋转中心，画出线段按逆时针方向旋转得到的线段，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查画旋转图形和轴对称图形，解答关键是根据旋转和轴对称的性质得到对应点的位置．
（1）先作出点A、B关于x轴的对称点、即可得出答案；
（2）先作出点B绕点A逆时针方向旋转后的对应点即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求．
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
．
18. 【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】（1），；（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案；
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．
【详解】（1）由题意知第n个三角形数为，
第n个正方形数为；
故答案为：，．
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，
则
，
所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 星期天，数学兴趣小组的同学带着测角仪、标杆和皮尺去网红打卡地——合肥骆岗中央公园测量一雕塑的高度（雕塑底部不可到达）．如图，当兴趣小组的同学把标杆竖直立在点处时，雕塑顶端与标杆顶端及地面上的点在同一直线上，且，此时将测角仪竖直放在点处时，测得雕塑顶端的仰角．已知标杆，测角仪的高，点，，在同一条直线上，，，．求该雕塑的高度．（参考数据：，，）

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，垂足为．根据题意得和，设．在中求得．进一步得到，则有，可求得关于x的表达式，利用，即可求得x，则有．
【详解】解：如图，过点作于点，垂足为．

根据题意，得，，，，．
设．
在中，，则．
，，
，
，
，解得．
，
，解得，
．
答：该雕塑的高度约为．
20. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，．
（1）求的度数；
（2）求的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，进而可得，在根据切线的性质定理可得，即，然后由可获得答案；
（2）连接，设，首先确定，即，再解得，易得，，然后证明，在中，利用勾股定理解得，即可获得答案．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，设，
∵为的中点，
∴，
∴．
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，解得，
∴，即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
六、（本题满分12分）
21. 近年来，外卖跑腿十分流行，方便了人们的生活．某校八年级学生对“美团”和“饿了么”两家外卖平台各10名外卖员月收入进行了一项抽样调查，外卖员月收入（单位：千元）如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本中，“美团”外卖平台外卖员的平均月收入是______千元，方差为______千元；
（2）样本中，“饿了么”外卖平台外卖员月收入的中位数是______千元，众数是______千元；
（3）若从两家外卖平台中选择一家做外卖员，你会选哪家外卖平台，并说明理由．
【答案】（1）6；
（2）5；4 （3）美团，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了方差、加权平均数、中位数、众数等统计量的求法和意义，熟练掌握各种统计量的计算方法是解题的关键．
（1）利用方差和加权平均数的计算方法计算即可；
（2）把“饿了么”外卖平台外卖员月收入的数据按从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，即可求出中位数，数据4千元出现的次数最多，即可求出众数；
（3）从平均数、中位数、众数、方差等统计量进行分析即可．
【小问1详解】
解：“美团”外卖平台外卖员的平均月收入为
（千元）；
方差为
（千元）．
【小问2详解】
把“饿了么”外卖平台外卖员月收入的数据按从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，即（千元）；
数据4千元出现的次数最多，即众数是4千元．
【小问3详解】
选“美团”外卖平台．理由：两家外卖平台月收入平均数一样，“美团”外卖平台月收入的中位数、众数均大于“饿了么”，且“美团”外卖平台月收入的方差小，月收入更稳定，因此选“美团”外卖平台．（答案不唯一，合理即可）
七、（本题满分12分）
22. 在平行四边形中，点为两对角线的交点，直线过顶点，且绕点按顺时针方向旋转，过点，分别作直线的垂线，垂足为，．
（1）如图1，若直线过点，求证：；
（2）如图2，若，，求的度数；
（3）如图3，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，由于点E，于点F，得，而，即可证明，则
（2）连接设交于点l，由于点于点F，得，由得，则，所以垂直平分，则，因为，所以，则，再证明；
（3）延长交于点G，由，得可证明，得则，作于点，则四边形是矩形，所以，即可作答．
【小问1详解】
证明：点为平行四边形两对角线的交点，
．
于点，于点，
．
和中，
，
．
【小问2详解】
解：如图1，连接，设交于点．
于点，于点，
．
，
，
，
垂直平分，
，
．
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：如图2，延长，交于点．
于点，于点，
，
．
在和中，，
，，
即，．
过点作于点，
则．
，
四边形是矩形，
，，
．
，
．
，，且，
，
解得，即的长是4．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是的中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①9；②或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）①设点的坐标为，则求出直线的解析式，得到，求出，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到，根据勾股定理求出长，由①知，，分两种情况：和，建立方程求出m，得到点D的坐标．
【小问1详解】
将，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的解析式为．
【小问2详解】
①由抛物线的解析式为，得．
设直线的解析式为，将，代入，
得解得
直线的解析式为．
设第一象限内的点的坐标为，则，
，，
．
，
当时，有最大值，为9．
②，，，
，，，，
，，，
，
，
．
轴于点，
，
．
以点，，为顶点的三角形与相似，只需或．
是的中点，，，
，，．
由①知，，
．
当时，，
解得或（舍去），
．
当时，，
解得或（舍去），
．
综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．