福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题（Word版附答案）

这是一份福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知A={x|2x>1}，B={x|x2+x−2≤0}，则A∪B=
A．{x|x>−2}B．{x|x≥−2}C．{x|02．已知m≠0，向量a=m,n，b=−2,m，若a+b=a−b，则实数n=
A．±2B．2C．−2D．2
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3+a5=20，a2⋅a6=64，则S5=
A．30B．31C．62D．63
4．将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为
A．54B．45C．36D．27
5．已知函数fx是偶函数，当x>0时，fx=x​3+2x，则曲线y=fx在x=−1处的切线方程为
A．y=−5x−2B．y=−5x−8C．y=5x+2D．y=5x+8
6．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，且该圆锥的母线是底面半径的2倍，若△SAB的面积为515，则该圆锥的表面积为
A．402πB．40+402πC．802πD．40+802π
7．当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800mg药品A和500mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477）
A．0.57hB．1.36hC．2.58hD．3.26h
8．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，点M为边BC的中点，若AM=AC，cs2B=csA+C，则sin∠BAC=（ ）
A．33B．63C．217D．277
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的命题是
A．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
B．已知随机变量ξ服从正态分布N2,δ2，Pξ<4=0.84，则P2<ξ<4=0.34
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx，若b=2，x=1，y=3，则a=1
D．若样本数据x1,x2,⋯,x10的方差为2，则数据2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的方差为4
10．已知F1，F2为椭圆Γ:x2a2+y2=1a>1的左、右焦点，P为平面上一点，若PF1⋅PF2=0，则
A．当P为Γ上一点时，△PF1F2的面积为1
B．当P为Γ上一点时，1PF1+1PF2的值可以为1
C．当满足条件的点P均在Γ内部时，则Γ的离心率小于22
D．当点P在Γ的外部时，在Γ上必存在点M，使得MF1⋅MF2=0
11．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则
A．存在点Q，使PQ//平面MBN
B．存在点Q，点Q到直线BP的距离等于23
C．过A，M，B，N四点的球的体积为9π2
D．过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为六边形
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数z满足z3−4i=1+i2（i是虚数单位），则z= .
13．能说明“若fx14．设集合A为含有n个元素的有限集.若集合A的m个子集A1,A2,⋯,Am满足以下3个条件：①A1,A2,⋯,Am均非空；②A1,A2,⋯,Am中任意两个集合交集为空集；③A1∪A2∪⋯∪Am=A.则称A1,A2,⋯,Am为集合A的一个m阶分拆.
若A={1,2,3,⋯,2024}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，则P−Q的最小值等于 ，最大值等于 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知数列{an}中，a1=12，an+1=2an−3csnπ3−π6.
（1）证明：数列{an−csnπ3}为常数列；
（2）求数列{nan}的前2024项和.
16．（15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，PC=2，E，F分别为PD，BE的中点.
（1）证明：P，A，C，F四点共面；
（2）求直线DF与平面PAC所成角的正弦值.
17．（15分）
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
用频率估计概率，回答以下问题.
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4，
（ⅰ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ⅱ）若新入职的甲，乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.
18．（17分）
已知双曲线C:y​2−x​23=1的上、下顶点分别为A，B.
（1）若直线l:y=kx+2与C交于M，N两点，记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；
（2）过C上一点D作抛物线x​2=23y的切线l1和l2，切点分别为P，Q，证明：直线PQ与圆x​2+y​2=1相切.
19．（17分）
已知函数fx=e​x，gx=sinx+csx，其中e为自然对数的底数.
（1）证明：x≥0时，fx−1≥x≥sinx；
（2）求函数ℎx=fx−gx在−54π,+∞内的零点个数；
（3）若fx+gx≥ax+2，求a的取值范围.
【参考答案】
2024年福州一中高三模拟考试
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．BC 10．ACD 11．AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．25
13．fx=−sinx，fx=5,x=0x,x∈(0,2]等
14．0； 1012
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） 解：证明：an+1−csn+1π3=2an−3csnπ3−π6−csn+1π3
=2an−3csnπ3csπ6+sinnπ3sinπ6−csnπ3csπ3−sinnπ3sinπ3
=2an−2csnπ3=2an−csnπ3，
又a1−csπ3=0，所以an−csnπ3=0，
所以数列{an−csnπ3}为常数列.
（2） 由（1）知，数列an−csnπ3=0，an=csnπ3，设bn=nan=ncsnπ3，则当k∈N时，b6k+1=6k+1cs6k+1π3=6k+12，b6k+2=6k+2cs6k+2π3=−6k+22，b6k+3=6k+3cs6k+3π3=−6k+3，b6k+4=6k+4cs6k+4π3=−6k+42，b6k+5=6k+5cs6k+5π3=6k+52，b6k+6=6k+6cs6k+6π3=6k+6，
所以b6k+1+b6k+2+b6k+3+b6k+4+b6k+5+b6k+6=3，
又2024=6×337+2，所以b1+b2+b3+…+b2024=b1+b2+…+b6+b7+b8+…+b12+…+b2017+b2018+…+b2022+b2023+b2024
=3×337+2023cs2023π3+2024cs2024π3=20212.
16．（1） 解：取AD的中点O，连PO，CO；
∵△PAD为等腰直角三角形，
∴PO⊥AD，PO=12AD=1；
又梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD，BA⊥AD，
∴四边形ABCF为矩形且CO⊥AD，CO=1；
又PC=2，∴PO​2+CO​2=PC​2，即PO⊥CO；
∴PO，CO，AD两两垂直；
以O为原点，OC，OD，OP所在直线为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图；
∴A0,−1,0，B1,−1,0，C1,0,0，D0,1,0，P0,0,1；
16．（1） 证明：当E、F为PD，BE中点时，E0,12,12，F12,−14,14，
∴AF=12,34,14，AC=1,1,0，AP=0,1,1，
设AF=λAC+μAP，则12,34,14=λ,λ+μ,μ；
∴λ=12，μ=14；
∴AF=12AC+14AP；
∴P,A,C,F四点共面.
（2） ∵AC=1,1,0，AP=0,1,1，DF=12,−54,14，
设面PAC的一个法向量n=x0,y0,z0；
则n→⊥AC→n→⊥AP→⇒n→⋅AC→=x0+y0=0n→⋅AP→=y0+z0=0；
令y0=−1，则x0=z0=1，∴n=1,−1,1，∴cs⟨DF,n⟩=OF⋅nOF⋅n=23⋅304=41015，
设直线DF与平面PAC所成角为θ，则sinθ=cs⟨DF,n⟩=41015，
所以直线DF与平面PAC所成角的正弦值为41015.
17．（1） （ⅰ） 解：设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N，则PM=0.6，PM=0.4，
结合频率分布直方图知，PN|M=0.3，PN|M=0.2，
所以PN=PMPN|M+PMPN|M=0.6×0.3+0.4×0.2=0.26，
因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26.
（ⅱ） 设X为选择区域A的骑手人数，则X∼B3,0.6，
PX≥2=PX=2+PX=3=C32×0.62×0.4+0.63=0.648.
（2） 设Y1为区域A骑手日工资，则随机变量Y1分布列为
EY1=100×0.05+150×0.1+200×0.25+250×0.3+350×0.2+400×0.1=255.
设Y2为区域B骑手日工资，则随机变量Y2分布列为
EY2=150×0.25+190×0.25+270×0.3+400×0.15+480×0.05=250.
因为EY1>EY2，所以新聘骑手应选择区域A.
18．（1） 解：由已知，A0,1，B0,−1，设Mx1,y1，Nx2,y2，
联立y=kx+2y​2−x​23=1得3k​2−1x​2+12kx+9=0，所以x1+x2=−12k3k2−1①x1x2=93k2−1②，②①得kx1x2=−34x1+x2，
又因为k1=kAN=y1−1x1，k2=kBN=y2+1x2，
所以k1k2=y1−1x2y2+1x1=kx1+1x2kx2+3x1=kx1x2+x2kx1x2+3x1=−34x1+x2+x2−34x1+x2+3x1=−34x1+14x294x1−34x2=−13.
（2） 法一：设切点Px3,y3，Qx4,y4，设直线PQ方程为y=nx+m，
联立y=nx+mx​2=23y得x2−23nx−23m=0，所以x3+x4=23n，x3x4=−23m
对抛物线y=x​223求导得y​′=x3，
所以抛物线x​2=23y在点Px3,y3处切线的斜率为k=x33
所以切线DP的方程为y−y3=x33x−x3
又因为x3​2=23y3
所以切线DP的方程为y=3x33x−3x3​26
同理，切线DQ的方程为y=3x43x−3x426
联立y=3x33x−3x3​26y=3x43x−3x46得Dx3+x42,x3x423
所以D3n,−m，
又因为D3n,−m在双曲线y​2−x​23=1上，
所以m​2−n​2=1，所以m2=n2+1①，所以圆x​2+y​2=1的圆心O0,0到直线y=nx+m的距离d=mn​2+1=1
所以直线PQ与圆x​2+y​2=1相切.
法二：设切点Px3,y3，Qx4,y4，
对抛物线y=x​223求导得y​′=x3，
所以抛物线x​2=23y在点Px3,y3处切线的斜率为k=x33
所以切线DP的方程为y−y3=x33x−x3
又因为x3​2=23y3
所以切线DP的方程为y=3x33x−3x3​26
同理，切线DQ的方程为y=3x43x−3x4​26
联立y=3x33x−3x3​26y=3x43x−3x46得Dx3+x42,x2x423
又因为Dx3+x42,x3x423在双曲线y​2−x​23=1上，
所以x3x4212−x3+x4212=1，所以x3+x4​2=x3x4​2−12①，
由已知，直线PQ斜率存在，kPQ=y3−y4x3−x4=x3223−x4223x3−x4=x3+x423，
所以直线PQ方程为y−y3=x3+x423x−x3，即23y−23y3=x3+x4x−x3x4−x3​2，
又因为x3​2=23y3，
所以直线PQ方程为x3+x4x=23y+x3x4，
所以圆x​2+y​2=1的圆心O0,0到直线PQ的距离d=x3x4x3+x4​2+12②，①代入②得d=∣x3x4∣x3+x42+12=1，
所以直线PQ与圆x​2+y​2=1相切.
19．（1） 解：证明：令f1x=ex−1−x,x≥0，则f1′x=ex−1≥0，
所以f1x在[0,+∞)单调递增，所以f1x=f10=0，所以x≥0时，fx−1≥x；
再令f2x=x−sinx，则f2​′x=1−csx≥0，
所以f2x在[0,+∞)单调递增，所以f2x=f20=0，所以x≥0时，x≥sinx.
综上所述，x≥0时，fx−1≥x≥sinx.
（2） ℎx=fx−gx=ex−sinx−csx，ℎ​′x=e​x−csx+sinx=e​x+2sinx−π4，
①x>0时，由（1）知，ℎx=ex−sinx−csx>x+1−sinx−csx=x−sinx+1−csx≥0
ℎx在0,+∞没有零点；
②x=0时，ℎ0=0，所以x=0是函数ℎx的零点；
③当x∈−π4,0时，ℎ′x=ex−csx+sinx，ℎ′0=0，
ℎ​′′x=e​x+sinx+csx=e​x+2sinx+π4>0，
则函数ℎ′x在−π4,0上单调递增，则ℎ​′x<ℎ​′0=0，
则函数ℎx在−π4,0上单调递减，则ℎx>ℎ0=0；ℎx在−π4,0没有零点；
④当x∈[−5π4,−π4]，ℎx=e​x−2sinx+π4>0，没有零点；
综上所述，当x∈−54π,+∞时，函数ℎx的零点个数为1.
（3） 由（2）知，当x>−54π时，ℎx=ex−sinx−csx≥0，
令φx=fx+gx−ax−2=ex+sinx+csx−ax−2，
则φ′x=ex+csx−sinx−a，φ′′x=ex−sinx−csx≥0，故φ​′x单调递增，（ⅰ）当a>2时，
φ′0=2−a<0，φ′lna+2=2−2sin[lna+2−π4]>0，
∃x1∈(0,lna+2)使得φ​′x1=0，
当0（ⅱ）当a<2时，φ​′0>0，
若x∈−5π4,0时，总有φ′x≥0（不恒为零），则ℎx在−5π4,+∞上为增函数，
但φ0=0，故当x∈−5π4,0时，φx<0，不合题意.
故在x∈−5π4,0上，φ​′x<0有解，故∃x2∈−5π4,0，使得φ​′x2=0，
又φ​′x在x∈−5π4,0时单调递增，所以当x20，φx单调递增，
故当x∈x2,0时，φx<φ0=0，不符合题意，故a<2不符合题意；
（ⅲ）当a=2时，φ​′x=e​x+csx−sinx−2，
由于φ​′x单调递增，φ​′0=0，故−54πx>0时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，此时ℎx≥ℎ0=0；
当x≤−5π4时，ℎx=ex+sinx+csx−2x−2≥0−2+52π−2>0，
综上可得，a=2.Y1
100
150
200
250
350
400
P
0.05
0.1
0.25
0.3
0.2
0.1
Y2
150
190
270
400
480
P
0.25
0.25
0.3
0.15
0.05