北京市中国人民大学附属中学2024届高三下学期5月热身练习数学试题(三模)（原卷版+解析版）

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命题：高三数学组
本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. 240C. 60D.
4 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则不等式的解集为( )．
A. B. C. D.
7. 已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分又不必要条件
9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ）

A. B. C. D.
10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）

A. B.
C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若是纯虚数，则实数a的值为__________.
12. 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________.
13. 使成立一组a，b的值为__________，__________.
14. 已知函数，若是偶函数，则__________；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是__________.
15. 已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离.
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
18. 某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个.
表①：表示加工一个口罩的利润.
（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值.
19. 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.
（1）求椭圆C的方程和短轴长；
（2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.
20. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
21. 给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
（1）若，，，，，求和；
（2）求证：，；
（3）求的最小值.口罩等级
100等级
99等级
95等级
利润/元
2
1
0.5