辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷原卷版docx、辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试题满分：150分
命题人：高一数学组 校对人：高一数学组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知事件A与事件B相互独立且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率公式、独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式即可求得.
【详解】因，则，
因事件A与事件B相互独立，故,
于是.
故选：B.
2. 若随机变量X的分布列为
其中，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用两点分布的期望和方差的公式即可求解.
【详解】依题意，可知服从两点分布，
又，则，
所以，.
故选：D.
3. 恩格尔系数(Engel’sCefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】通过对2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图的分析，了解两者间的相关性而作出判断.
【详解】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，结论①正确；
恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；
家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.
故选：C
4. 设数列的前项和为，设甲：是等比数列；乙：存在常数，使是等比数列．已知两个数列的公比都不等于1，则（ ）．
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的定义及前项和公式，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若是等比数列，设公比为，
则，
当，则，
所以存在常数使是等比数列，故甲是乙的充分条件；
若，则是等比数列，
则，故，
所以此时不是等比数列，故甲不是乙的必要条件．
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A．
5. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按0”，令，其中，且，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分别列出同意1号同学当选和2号同学当选的同学，则同时同意1号与2号当选的人数为它们对应相乘再相加即可.
【详解】由题意可知
全班名同学同意1号同学当选的情况为，
名同学同意2号同学当选的情况为，
同时同意1号与2号同学当选的情况为，
所以同时同意第1号与2号同学当选的人数为.
故选：C.
6. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A. -1B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先通过数列的通项公式求出，进而确定其周期，根据周期以及数列的公差可取满足题意的，进而可得答案.
【详解】由已知，
又函数的最小正周期为，
要使集合中有且仅有两个元素，
则数列中连续3项中有两项的正弦值相同，即这两项对应的角的终边关于轴对称，又他们之间相差，
不妨取，则，
此时，
所以，
则.
故选：B.
7. 已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（ ）
A. 50B. 55C. 59D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又，
所以，则，
设，
则，
所以，所以.
，
所以，所以.
所以以使得最大的值作为的估计值，则为.
故选：C.
8. 设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用可证明得数列和都是公差为2的等差数列，再可求得，有了这些信息，就可以从的取值分析并求解出结果.
【详解】因为，
所以，
假设，解得或（舍去），
由存在，，所以有或，
由可得，，两式相减得：，
当时，有，即，
根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，
所以，解得，
当时，有，即，
根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，
所以，解得，
由已知得，所以.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（ ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．）
A. 与B. 与
C. 与D. q与
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：根据与可知为唯一定值；对于B：根据题意可得，结合一元二次方程分析判断；对于CD：结合等比数列的通项公式分析判断.
【详解】对于选项A：已知与，则，
可知为唯一定值，即与为基本量，故A正确；
对于选项B：已知与，则，
整理得，令，解得或，
当且仅当或，关于的方程有唯一解，
可知与不为基本量，故B错误；
对于选项C：已知与：因为，
虽然已知，也不能确定唯一的值，
例如，可知，所以与不为基本量，故C错误；
对于选项D：已知与：则，则唯一确定，所以与为基本量，故D正确；
故选：AD.
10. 下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心
B. ，
C. 若，，，则
D. 在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用线性回归方程过样点本，随机变量满足线性关系的期望和方差公式，以及全概率公式和卡方公式就可以对选项进行判断.
【详解】选项A，根据线性回归方程的性质可知，由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心，故选项A正确的；
选项B，根据具有线性关系的期望和方差的性质可知，是正确的，是错误的，
应该是，故选项B是错误的；
选项C，由全概率公式可知：，
代入，，，
可得：，解得，故选项C是正确的；
选项D，在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，
则
，可得也变成原来的2倍，故选项D是正确的；
故选：ACD.
11. 已知集合，，，集合，将集合D中所有元素从小到大依次排列为数列，为数列的前n项和．集合，将集合E的所有元素从小到大依次排列为数列．则（ ）
A.
B 或2
C.
D. 若存在，使，则n的最小值为26
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二项式定理结合交集的概念可判定A，根据数的特征及并集的概念可判定B，利用等差数列的通项及等比数列求和公式、分组求和法计算可判定C，根据中项的特征结合C的结论可判定D.
【详解】对于A项，易知，
显然当且仅当取奇数时，可整除3，即此时，故A正确；
对于B项，显然A为所有正奇数组成的集合，B中元素必为偶数，
所以中相邻项为相邻的奇偶数或者相邻的奇数，即或2，故B正确；
对于C项，易知中有个奇数，的首项，
若的尾项为，则此时中共有项，
所以前项中含有个连续正奇数，个连续以为底的正整数指数幂，
所以，
故C正确；
对于D项，结合C项推理易知
，
，
，
显然，故D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：对于连续奇数与以为底的指数幂组合数列问题，从相邻两个指数幂之间有多少个奇数考虑，从而确定数列各项的规律，再根据等差、等比数列的性质及求和公式计算即可判定C、D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记等差数列等比数列的前项和分别为、，若，，，则公比______．
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列和等比数列及其前项和的定义和性质即可求解.
【详解】设，，
化简为，
即，
所以，
所以.
故答案为：
13. 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球；则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用全概率公式及数列的递推关系、等比数列的通项公式求通项即可.
【详解】由题意可知，
所以，
又，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即.
故答案为：.
14. 将正方形分割成个全等的小正方形（图1、图2分别给出了的情形），在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列.若顶点处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为，则有，______，…，______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】先根据题意可确定正方形各顶点对应数依次成等差数列，每一行对应数之和仍成等差数列，利用等差数列的性质及求和公式计算即可.
【详解】不妨设为第横行的数之和，为最多行数，点处的四个数分别为，
根据题意可知成等差数列，
则对于第一空：时，，，
所以；
对于第二空：，，
所以.
故答案为：4；.
【点睛】思路点睛：根据题意确定每一行数成等差数列，从而每一行数的和仍成等差数列，根据等差数列求和公式及其性质计算即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主
创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：
（Ⅰ）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）：
（Ⅱ）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由
附：相关系数公式
参考数据：．
【答案】（Ⅰ），可用线性线性回归模型拟合；（Ⅱ）①；②希望顾客参加抽奖，理由见解析．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据已知计算相关系数，然后比较即可得到答案；（Ⅱ）①顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A．利用独立事件同时发生的概率公式计算得到概率； ②设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，利用二项分布列及其期望公式计算，然后根据结果做出论断即可.
【详解】（Ⅰ）由题可知：
则
故与线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合．
（Ⅱ）顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A．

设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则,
所以 ,
由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为,
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽奖.
【点睛】本题考查相关系数的计算与应用，考查二项分布，期望及其应用，属中档题.
16. （1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．
【答案】（1）或；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可；
（2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可.
【详解】（1）∵是等比数列，
∴，
将代入上式，得
，
即，
整理得：．
解得：或；
（2）设，的公比分别为p，q，，，
为证不是等比数列，只需证：．
事实上，，
．
由于，，
又，不为零，则，
因此，，故不是等比数列．
17. 某校有，两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从餐厅随机抽取了67人，从餐厅随机抽取了69人，其中在，餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.
（1）根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？
（2）学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了餐厅，那么本次到，餐厅的概率分别为，；如果前一次去了餐厅，那么本次到，餐厅的概率均为.求任意一名学生第3次用餐到餐厅的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.
（2）
【解析】
【分析】(1)提出零假设，列出列联表，计算，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
(2)先利用全概率公式求出该学生第二次在餐厅就餐的概率，再由对立事件概率公式求第二次在餐厅就餐的概率，再由全概率公式求第三次在. 餐厅就餐的概率.
【小问1详解】
零假设为：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.
【小问2详解】
设事件“第次在餐厅用餐”，事件“第次在餐厅用餐”，其中，
由题意与互斥，且，，；，，
由全概率公式得，
，又，，
由全概率公式得.
18. 如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为.
（1）求；
（2）①求证：数列是等比数列；
②求.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可；
（2）根据题意先得出递推关系，再化简变形证明即可得第一小问；结合第一小问求通项，利用错位相减法与分组求和法计算即可得第二小问.
【小问1详解】
依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面.
所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，
在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，
又因为，所以.
【小问2详解】
①证明：因，
所以.
又因为，所以，
所以数列是等比数列.
②因为，
所以，所以.
设，
则，
则，
所以，
所以，
所以.
又因为，
所以.
19. 已知数列满足且．
（1）用数学归纳法证明：；
（2）已知不等式对成立，求证：．
（3）已知不等式对成立，证明：，其中无理数．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用数学归纳法证明即可；
（2）根据对成立，令得：，
通过证明证明不等式；
（3）利用已知条件以及（2）的结论，结合放缩证明不等式，方法一：对，两边取对数得证明不等式；方法二：利用对成立，得，，构造数列，有，两边取对数证明不等式.
【小问1详解】
因为，，
所以，
（ⅰ）当时，，不等式成立．
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，
，
因为，，所以
这就是说，当时，不等式成立，
根据（ⅰ）（ⅱ）可知对所有成立．
【小问2详解】
，
由已知不等式对成立．
令得：；
（ⅰ）当时，原式化为，显然成立；
（ⅱ）当时，；
而
，
所以有
又因为，
所以
，
可得
综上：
【小问3详解】
证法一：由递推公式及（2）的结论有
，
两边取对数并利用已知不等式得：
故．
上式从到求和可得：
又因为，所以，
即，故．
证法二：由数学归纳法易证对成立，
时，成立，
时，成立，
假设时，成立，
当时，由有，
又，
因为，所以，所以，
即，
所以时，，
所以对成立
所以，又，
故，．
令，则
取对数并利用已知不等式得：．
上式从2到n求和得：
因，故，．
故，，又显然，，
故对一切成立．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用数学归纳法，以及适当放缩证明不等式.
X
1
0
P
p
q
1
2
3
4
5
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
2.706
3841
5.024
6.635
7.879
不满意
满意
合计
餐厅
15
52
67
餐厅
6
63
69
合计
21
115
136