2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件为必然事件的是( )
A. 中秋节晚上一定能看到月亮
B. 明天的气温一定会比今天的高
C. 某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定会中奖
D. 地球上，上抛的篮球一定会下落
3.抛物线y=2(x+3)2+1的对称轴是( )
A. 直线x=3B. 直线x=−3C. 直线x=−1D. 直线x=1
4.一元二次方程x2−4x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的直径AB为( )
A. 5cm
B. 4cm
C. 6cm
D. 8cm
6.若关于x的一元二次方程ax2+bx−4=0的一个根是x=1，则代数式2027−a−b的值为( )
A. −2023B. 2023C. −2024D. 2024
7.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80∘，得到△OCD.若∠A=2∠D=100∘，则∠α的度数是( )
A. 50∘B. 60∘C. 40∘D. 30∘
8.已知二次函数y=(x+1)2−2的图象上有三点A(1,y1)，B(2,y2)，C(−2,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y3>y2>y1
9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122∘，则∠DCE的度数为( )
A. 64∘
B. 61∘
C. 62∘
D. 60∘
10.已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程x2−13x+42=0的根，则这个三角形的周长为( )
A. 17或18B. 17C. 18D. 不能确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是_________.
12.抛物线y=−3(x−2)2+2的顶点坐标为______.
13.为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼__________条．
14.已知a是关于x的方程x2−2x−1=0的一个根，则−a2+2a=______.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为______.
16.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE//AB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A.
(1)求证：△BDC∽△ABC；
(2)若BC=4，AC=8，求CD的长．
18.(本小题8分)
求反比函数解析式；
在第一限，当一次函数y−x5的值于反比例函y=kx(k≠0)的值时，变x的取值范围．
19.(本小题10分)
一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间t(单位：h)与行驶速度v(单位：km/h)满足函数关系式：t=kv，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(80,2)，B(m,1).
(1)求k与m的值；
(2)受天气影响，若行驶速度不得超过120km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？
20.(本小题12分)
如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
(2)求证：CD⋅BE=AD⋅DE.
21.(本小题14分)
如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(0(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C.
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
B、可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
C、可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
D、是一定会发生的事件，是必然事件，符合题意；
故选：D.
必然事件的就是一定会发生的事件，即发生概率是1的事件，依据定义即可作出判断．
关键是理解必然事件是一定会发生的事件．
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质， 掌握抛物线的顶点式y=a(x−h)2 +k的对称轴为x=h是解题的关键；根据顶点式可以直接求得对称轴方程，可得出答案．
【解答】
解：抛物线y=2(x+3)2+1的对称轴是直线x=−3.
故选B.
4.【答案】B
【解析】解：∵Δ=(−4)2−4×1×3=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B.
先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接OD、OC，
∵BC=CD=DA=4cm，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60∘.
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4cm，
∴⊙O的直径AB为8cm.
故选：D.
如图，连接OD、OC.根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为4cm，求出直径即可．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，解题的关键是利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
6.【答案】B
【解析】解：将x=1代入ax2+bx−4=0，得a+b−4=0，
∴a+b=4，
∴2027−a−b=2027−(a+b)=2027−4=2023，
故选：B.
根据方程的解的定义，求出a+b=4，可得结论．
本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将x=1代入ax2+bx−4=0，求出a+b的值，再代入2027−a−b即可．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80∘，则可以利用三角形内角和度数为180∘列出式子进行求解．
【解答】
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80∘，
∴∠A=∠C，∠AOC=80∘，
∴∠DOC=80∘−α，
∵∠A=2∠D=100∘，
∴∠D=50∘，
∵∠C+∠D+∠DOC=180∘，
∴100∘+50∘+80∘−α=180∘，解得α=50∘，
故选：A.
8.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(x+1)2−2，
∴a=1>0，开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x<−1时，y随x的增大而减小，当x>−1时，y随x的增大而增大，
∵1<2，
∴y2>y1，
∵1−(−1)=2，−1−(−2)=1，2>1，
∴y1>y3，
∴y2>y1>y3，
故选：B.
根据二次函数解析式得出a=1>0，开口向上，对称轴为直线x=−1，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠BOD的度数为122∘，
∴∠A=12∠BOD=61∘，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180∘−∠A=119∘，
∴∠DCE=180∘−∠BCD=61∘，
故选：B.
根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD，根据邻补角的概念求出∠DCE即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵三角形的两条边分别是3和8，设第三边为a，
∴8−3即5解方程x2−13x+42=0，得：x1=6，x2=7，
∴该方程的两个根都在a的取值范围内，
∴当x=6时，该三角形的周长为：3+8+6=17，
当x=7时，该三角形的周长为：3+8+7=18.
故选：A.
首先设第三边为a，根据三角形三边之间的关系得5此题主要考查了三角形三边之间的关系，解一元二次方程，三角形的周长等，理解三角形三边之间的关系，熟练掌握解一元二次方程是解决问题的关键．
11.【答案】(3,−2)
【解析】解：根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
∴点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是(3,−2)，
故答案为(3,−2).
根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标特点，熟记关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题关键.
12.【答案】(2,2)
【解析】解：∵抛物线y=−3(x−2)2+2，
∴抛物线y=−3(x−2)2+2的顶点坐标为(2,2).
故答案为：(2,2).
根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
13.【答案】2000
【解析】【分析】
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
将原做有标记的鱼的数量除以抽取样本中标记的鱼的数量所占比例即可．
【解答】
解：估计池塘里有鱼100÷15300=2000(条)，
故答案为：2000.
14.【答案】−1
【解析】解：∵a是关于x的方程x2−2x−1=0的一个根，
∴a2−2a−1=0，
∴a2−2a=1，
∴−a2+2a=−1；
故答案为：−1.
将x=a代入方程中，再对得到的等式进行变形即可求得．
本题主要考查一元二次方程根的定义，解决本题的关键是能够根据要求的问题对得到的等式进行变形．
15.【答案】1
【解析】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，
∴AB=AB′=5，AB=CD=5，
∵∠D=90∘，
∴B′D= B′A2−AD2= 25−9=4，
∴B′C=CD−B′D=1，
故答案为：1.
由旋转的性质可得AB=AB′=5，AB=CD=5，由勾股定理可求B′D的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
16.【答案】 22
【解析】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，
过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠CAB=45∘，
∵CE//AB，
∴∠FAB=90∘，
∴∠FAC=45∘，
∴△AFC为等腰直角三角形，
设AF=x，则CF=x，
∴AC= AF2+CF2= 2x，
∴AB= AC2+BC2= 2AC=2x，
∵AE、AB均为⊙的半径，
∴AE=2x，
∴EF= AE2−AF2= 3x，
∴CE=( 3−1)x，
∵∠F=∠FAB=∠AGE=90∘，
∴四边形FAGE为矩形，
∴AF=EG=x，EF=AG= 3x，
∴BG=AB−AG=(2− 3)x，
∴BE= EG2+BG2=( 6− 2)x，
∴CEBE= 3−1 6− 2= 22.
故答案为： 22.
通过点A作CE的垂线交EC延长线于F，连AE，由AC=BC，∠ACB=90∘，得∠CAB=45∘，设AF=x，则CF=x，求出AB=AE，在Rt△AFE中用勾股定理求出EF，得CE=( 3−1)x，再证四边形FAGE为矩形，得AF=EG=x，EF=AG= 3x，在Rt△BEG中用勾股定理求出BE=( 6− 2)x，即得CEBE= 22.
本题是圆综合性题，考查了平行线的性质、勾股定理、矩形的判定，通过作垂线将所求线段转化成直角三角形的边或边的一部分是本题关键．
17.【答案】解：(1)∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
(2)∵△BDC∽△ABC，
∴BCAC=DCBC，
∵BC=4，AC=8，
∴48=DC4
∴CD=2.
【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
(1)根据相似三角形的判定即可求出答案．
(2)根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．
18.【答案】解：∵一次y=−x5的图象过点A(1,)，
即点B的坐标41)，
联立y−x+5y=4x，
解得x=1y=4或x=4y=1，
∴反比例函数的解式为=4x；
∴n=1+5，
∴n4，
若一次函=−x+的值大于反比函数y=kx(≠0)的值，
则1x<4.
【解析】首求出点A的坐标，进可求出反比例数系数的值；
联立反比例函数和一次解析式，求出点B的坐标，结合图形即求出x取．
本主要考查了反比例数与函数的交点问题，解答本题的关键是求出A和点坐此难度不大．
19.【答案】解：(1)把A(80,2)代入t=kv，
即2=k80，
解得k=160，
则反比例函数的解析式是t=160v，
把(m,1)代入得m=160，
∴k的值为160，m的值为160；
(2)把v=120代入解析式t=160v，
解得t=43，
∴汽车通过该路段最少需要43h.
【解析】(1)把A代入解析式，利用待定系数法求得函数解析式，然后把(m,1)代入解析式求得m的值；
(2)求得当v=80时t的值，根据图象即可作出解答．
本题考查了反比例函数的实际应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
20.【答案】证明：(1)连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线.
(2)连接BD.
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BDE=90∘，
∵CD⊥AC，
∴∠C=∠BDE=90∘，
∵∠CAD=∠BAE=∠DBE，
∴△ACD∽△BDE，
∴CDDE=ADBE，
∴CD⋅BE=AD⋅DE.
【解析】(1)连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
(2)连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90∘，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵直线y=2x+6经过点A(1,m)，
∴m=2×1+6=8，
∴A(1,8).
∵反比例函数经过点A(1,8)，
∴8=k1，
∴k=8；
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)由题意，点M，N的坐标为M(8n,n)，N(n−62,n)，
∵0∴n−62<0，
∴S△BMN=12×(|n−62|+|8n|)×n
=12×(−n−62+8n)×n
=−14n−32+254
∴n=3时，△BMN的面积最大.
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
(1)求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
(2)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.